Trigonometrisk substitution är en av substitutionsmetoderna för integration där en funktion eller ett uttryck i den givna integralen ersätts med trigonometriska funktioner som sin, cos, tan, etc. Integration genom substitution är den enklaste substitutionsmetoden.

Det används när vi gör en substitution av en funktion, vars derivata redan ingår i den givna integralfunktionen. Genom detta förenklas funktionen och en enkel integralfunktion erhålls som vi enkelt kan integrera. Det är också känt som u-substitution eller den omvända kedjeregeln. Eller med andra ord, med den här metoden kan vi enkelt utvärdera integraler och antiderivat.

Trigonometrisk substitution

Vad är trigonometrisk substitution?

Trigonometrisk substitution är en process där substitutionen av en trigonometrisk funktion till ett annat uttryck sker. Det används för att utvärdera integraler eller så är det en metod för att hitta antiderivator av funktioner som innehåller kvadratrötter av kvadratiska uttryck eller rationella potenser av formen frac{p}{2} (där p är ett heltal) av kvadratiska uttryck. Exempel på sådana uttryck är

({x^2+4})^frac{3}{2} eller sqrt{25-x^2} eller etc.

Metoden för trigonometrisk substitution kan användas när andra mer vanliga och mer lättanvända integrationsmetoder har misslyckats. Trigonometrisk substitution förutsätter att du är bekant med vanliga trigonometriska identiteter, användningen av differentiell notation, integration med u-substitution och integration av trigonometriska funktioner.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Här kommer vi att diskutera några viktiga formler beroende på vilken funktion vi behöver för att integrera, vi ersätter ett av följande trigonometriska uttryck för att förenkla integrationen:

∫cosx dx = sinx + C

∫sinx dx = −cosx + C

∫sek ² x dx = tanx + C

∫kossek ² x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Läs i detalj: Kalkyl i matematik

När ska man använda trigonometrisk substitution?

Vi använder trigonometrisk substitution i följande fall,

Hur tillämpar man trigonometrisk substitutionsmetod?

Vi kan tillämpa den trigonometriska substitutionsmetoden som diskuteras nedan,

Integral med en ² – x ²

Låt oss överväga ett exempel på integralen som involverar en ² – x ² .

Exempel: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Låt oss säga, x = en sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Alltså jag = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ Jag = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ Jag = int 1. d heta

⇒ I = θ + c

As, x = en sinθ

⇒ θ = sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Jag = sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral med x ² + a ²

Låt oss överväga ett exempel på integralen som involverar x ² + a ² .

Exempel: Hitta integralen old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Lösning:

Låt oss sätta x = en tanθ

⇒ dx = a sek2θ dθ får vi

Alltså jag = int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ Jag = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ Jag = frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ Jag = frac{1}{a} heta + c

As, x = en tanθ

⇒ θ = tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Jag = frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral med en ² + x ² .

Låt oss överväga ett exempel på integralen som involverar en ² + x ² .

Exempel: Hitta integralen av old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Lösning:

Låt oss säga, x = en tanθ

⇒ dx = en sek ² θ dθ

Alltså jag = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ Jag = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ Jag = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ Jag = int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ Jag = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Jag = log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ Jag = log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Jag = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Jag = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ Jag = log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Jag = log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integral med x ² – a ² .

Låt oss överväga ett exempel på integralen som involverar x ² – a ² .

Exempel: Hitta integralen av old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Låt oss säga, x = en sekθ

⇒ dx = a sekθ tanθ dθ

Alltså jag = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ Jag = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ Jag = int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Jag = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Jag = log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ Jag = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ Jag = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ Jag = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ Jag = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Jag = log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Läs mer,

• Integrationsformler
• Integration genom substitution
• Integrering av delar

Exempel på problem med trigonometrisk substitution

Uppgift 1: Hitta integralen av old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Lösning:

Med 5 gemensamma i nämnaren,

⇒ Jag = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Jag = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Enligt sats 1 är a = frac{3}{5}

⇒ Jag = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ Jag = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Uppgift 2: Hitta integralen av old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Lösning:

Med √2 gemensam i nämnaren,

⇒ Jag = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Jag = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Enligt sats 1 är a = 2

⇒ Jag = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ Jag = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Uppgift 3: Hitta integralen av old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Lösning:

Genom att arrangera om får vi

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Här tas a = 3 och x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Genom att ersätta dessa värden,

jag = int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Jag = int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Jag = int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243 inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243 inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Låt oss ta,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Genom att ersätta dessa värden får vi

⇒ I = 243 inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243 inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243 inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243 [frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cos θ och x = 3 sinθ

⇒ cos θ = sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ i = sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ i = (1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Följaktligen är I = -243 [frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Uppgift 4: Hitta integralen av old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Lösning:

Med 9 gemensamma i nämnaren,

jag = frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Jag = frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Enligt sats 2 är a = frac{2}{3}

⇒ Jag = frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ Jag = frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Uppgift 5: Hitta integralen av old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Lösning:

Med 4 gemensamma i nämnaren,

jag = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ Jag = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Enligt sats 3 är a = frac{5}{4}

⇒ Jag = frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ Jag = frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ Jag = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ Jag = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Uppgift 6: Hitta integralen av old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Lösning:

Med 2 gemensamma i nämnaren,

jag = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

jag = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Enligt sats 4 är a = frac{3}{2}

jag = frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

jag = frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

jag = frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

jag = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

jag = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Uppgift 7: Hitta integralen av old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Lösning:

Efter att ha omarrangerat får vi

jag = int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

jag = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

jag = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

jag = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Enligt sats 2 har vi

x = x- frac{1}{2} och en = frac{sqrt{3}}{2}

jag = frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

jag = frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrisk substitution – Vanliga frågor

Vad är trigonometrisk substitution?

Trigonometrisk substitution är en integrationsteknik som används för att lösa integraler som involverar uttryck med radikaler och kvadratrötter som √(x) ² + a ² ), √(a ² + x ² ), och √(x ² – a ² ).

När ska jag använda trigonometrisk substitution?

Trigonometrisk substitution är användbar när du har en integral som involverar ett radikalt uttryck, särskilt när det radikala uttrycket innehåller en kvadratisk term.

Vilka är de tre trigonometriska substitutionerna som vanligtvis används i integraler?

De tre vanligaste trigonometriska substitutionerna är:

• Ersätt x = a sin θ när det radikala uttrycket innehåller en term av formen a ² – x ² .
• Ersätt x = en tan θ när det radikala uttrycket innehåller en term av formen x ² – a ² .
• Ersätt x = a sek θ när det radikala uttrycket innehåller en term av formen x ² + a ² .

Hur väljer någon vilken trigonometrisk substitution som ska användas?

Du bör välja den trigonometriska substitutionen baserat på formen på det radikala uttrycket. Om det radikala uttrycket innehåller en term av formen a^2 – x^2, använd x = a sin θ. Om det radikala uttrycket innehåller en term av formen x^2 – a^2, använd x = a tan θ. Om det radikala uttrycket innehåller en term av formen x^2 + a^2, använd x = a sek θ.