logo

TechCodeview

Matematisk

Hitta antalet trianglar mellan horisontella och vertikala linjesegment

Förutsättningar: BIT  Givet 'n' linjesegment vart och ett av dem är antingen horisontellt eller vertikalt, hitta det maximala antalet trianglar (inklusive trianglar med noll area) som kan bildas genom att sammanfoga linjesegmentens skärningspunkter. Inga två horisontella linjesegment överlappar varandra och inte heller två vertikala linjesegment. En linje representeras med två punkter (fyra heltal första två är x- respektive y-koordinaterna för den första punkten och de andra två är x- och y-koordinaterna för den andra punkten) Exempel: 

 | ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be    4C   3     triangles.

Idén bygger på Sweep Line Algoritm . Bygg en lösning i steg:

  1. Lagra båda punkterna i alla linjesegment med motsvarande händelse (beskrivs nedan) i en vektor och sortera alla punkter i icke-minskande ordning av deras x-koordinater.
  2. Låt oss nu föreställa oss en vertikal linje som vi sveper över alla dessa punkter och beskriver 3 händelser baserat på vilken punkt vi för närvarande är:
      i - punkten längst till vänster i ett horisontellt linjesegment ut - punkt längst till höger i ett horisontellt linjesegment
    • a vertikal linje
  3. Vi kallar regionen 'aktiv' eller de horisontella linjerna 'aktiv' som har haft det första evenemanget men inte det andra. Vi kommer att ha en BIT (binärt indexerat träd) för att lagra 'y'-koordinaterna för alla aktiva linjer.
  4. När en rad blir inaktiv tar vi bort dess 'y' från BIT.
  5. När en händelse av tredje typ inträffar, det vill säga när vi är på en vertikal linje, frågar vi trädet inom intervallet för dess 'y'-koordinater och lägger till resultatet till antalet skärningspunkter hittills.
  6. Slutligen får vi säga antalet korsningspunkter m då blir antalet trianglar (inklusive nollarea). m C 3 .

Notera: Vi måste noggrant sortera punkterna titta på cmp() funktion i genomförandet för förtydligande. 

CPP 
   // A C++ implementation of the above idea   #include     #define maxy 1000005   #define maxn 10005   using     namespace     std  ;   // structure to store point   struct     point   {      int     x       y  ;      point  (  int     a       int     b  )      {      x     =     a       y     =     b  ;      }   };   // Note: Global arrays are initially zero   // array to store BIT and vector to store   // the points and their corresponding event number   // in the second field of the pair   int     bit  [  maxy  ];   vector  &  lt  ;  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  gt  ;     events  ;   // compare function to sort in order of non-decreasing   // x coordinate and if x coordinates are same then   // order on the basis of events on the points   bool     cmp  (  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  a       pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  b  )   {      if     (     a  .  first  .  x     !=     b  .  first  .  x     )      return     a  .  first  .  x     &  lt  ;     b  .  first  .  x  ;      //if the x coordinates are same      else      {      // both points are of the same vertical line      if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if an 'in' event occurs before 'vertical'      // line event for the same x coordinate      else     if     (  a  .  second     ==     1     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if a 'vertical' line comes before an 'in'      // event for the same x coordinate swap them      else     if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     1  )      {      return     false  ;      }      // if an 'out' event occurs before a 'vertical'      // line event for the same x coordinate swap.      else     if     (  a  .  second     ==     2     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     false  ;      }      //in all other situations      return     true  ;      }   }   // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate   // in an active region while update(y -1) removes it   void     update  (  int     idx       int     val  )   {      while     (  idx     &  lt  ;     maxn  )      {      bit  [  idx  ]     +=     val  ;      idx     +=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }   }   // returns the number of lines in active region whose y   // coordinate is between 1 and idx   int     query  (  int     idx  )   {      int     res     =     0  ;      while     (  idx     &  gt  ;     0  )      {      res     +=     bit  [  idx  ];      idx     -=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }      return     res  ;   }   // inserts a line segment   void     insertLine  (  point     a       point     b  )   {      // if it is a horizontal line      if     (  a  .  y     ==     b  .  y  )      {      int     beg     =     min  (  a  .  x       b  .  x  );      int     end     =     max  (  a  .  x       b  .  x  );      // the second field in the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  beg       a  .  y  )     1  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  end       a  .  y  )     2  ));      }      //if it is a vertical line      else      {      int     up     =     max  (  b  .  y       a  .  y  );      int     low     =     min  (  b  .  y       a  .  y  );      //the second field of the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       up  )     3  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       low  )     3  ));      }   }   // returns the number of intersection points between all   // the lines vertical and horizontal to be run after the   // points have been sorted using the cmp() function   int     findIntersectionPoints  ()   {      int     intersection_pts     =     0  ;      for     (  int     i     =     0     ;     i     &  lt  ;     events  .  size  ()     ;     i  ++  )      {      //if the current point is on an 'in' event      if     (  events  [  i  ].  second     ==     1  )      {      //insert the 'y' coordinate in the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       1  );      }      // if current point is on an 'out' event      else     if     (  events  [  i  ].  second     ==     2  )      {      // remove the 'y' coordinate from the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       -1  );      }      // if the current point is on a 'vertical' line      else      {      // find the range to be queried      int     low     =     events  [  i  ++  ].  first  .  y  ;      int     up     =     events  [  i  ].  first  .  y  ;      intersection_pts     +=     query  (  up  )     -     query  (  low  );      }      }      return     intersection_pts  ;   }   // returns (intersection_pts)C3   int     findNumberOfTriangles  ()   {      int     pts     =     findIntersectionPoints  ();      if     (     pts     &  gt  ;  =     3     )      return     (     pts     *     (  pts     -     1  )     *     (  pts     -     2  )     )     /     6  ;      else      return     0  ;   }   // driver code   int     main  ()   {      insertLine  (  point  (  2       1  )     point  (  2       9  ));      insertLine  (  point  (  1       7  )     point  (  6       7  ));      insertLine  (  point  (  5       2  )     point  (  5       8  ));      insertLine  (  point  (  3       4  )     point  (  6       4  ));      insertLine  (  point  (  4       3  )     point  (  4       5  ));      insertLine  (  point  (  7       6  )     point  (  9       6  ));      insertLine  (  point  (  8       2  )     point  (  8       5  ));      // sort the points based on x coordinate      // and event they are on      sort  (  events  .  begin  ()     events  .  end  ()     cmp  );      cout     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;  Number     of     triangles     are  :     &  quot  ;     &  lt  ;  &  lt  ;      findNumberOfTriangles  ()     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;    n  &  quot  ;;      return     0  ;   }

Produktion: 

Number of triangles are: 4 
Time Complexity:   O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )

Auxiliary Space: O(maxy) där maxy = 1000005


Dela

Du Kanske Gillar

Vad gör en dator snabb och kraftfull?

Vad gör en dator snabb och kraftfull?

TCP återsändning

TCP återsändning

Top Artiklar

Kategori

Blogg Java-Konvertering Matte Java-Samlingar Skillnader Java-Sträng

Intressanta Artiklar