Derivat av invers trigonometrisk funktion hänvisar till förändringshastigheten i invers trigonometriska funktioner. Vi vet att derivatan av en funktion är förändringshastigheten i en funktion med avseende på den oberoende variabeln. Innan man lär sig detta bör man känna till formlerna för differentiering av trigonometriska funktioner. För att hitta derivatan av den inversa trigonometriska funktionen kommer vi först att likställa den trigonometriska funktionen med en annan variabel för att hitta dess invers och sedan differentiera den med hjälp av den implicita differentieringsformeln.

I den här artikeln kommer vi att lära oss D erivativ av inversa trigfunktioner, formler för differentiering av inversa trigfunktioner, och lös några exempel utifrån det. Men innan vi går vidare, låt oss fräscha upp konceptet i nversa trigonometriska funktioner och implicit differentiering.

• Omvända trigonometriska funktioner
• Vad är implicit differentiering?
• Vad är derivata av inversa trigonometriska funktioner?
• Bevis på derivata av inversa trigfunktioner
• Inverterad trigderivatformel
• Exempel på omvänd trigderivat

Omvända trigonometriska funktioner

Omvända trigonometriska funktioner är de inversa funktionerna av de trigonometriska förhållandena, dvs sin, cos, tan, cot, sec och cosec. Dessa funktioner används ofta inom områden som fysik, matematik, teknik och andra forskningsområden. Precis som addition och subtraktion är inverserna av varandra, gäller detsamma för inversen av trigonometriska funktioner.

utan θ = x

⇒ i = s i ⁻¹ x .

Representation av omvända trigonometriska funktioner

De representeras genom att lägga till båge i prefix eller genom att lägga till -1 till kraften.

Invers sinus kan skrivas på två sätt:

• utan ^-1 x
• båge x

Detsamma gäller cos and tan.

Notera: Förväxla inte synd ^-1 x med (sin x) ^-1 . De är olika. Att skriva synd ^-1 x är ett sätt att skriva invers sinus medan (sin x) ^-1 betyder 1/sin x.

Domän av inversa trigonometriska funktioner

Vi vet att en funktion är differentierbar endast om den är kontinuerlig vid den punkten och om en funktion är kontinuerlig vid en given punkt är den punkten funktionens domän. Därför bör vi lära oss domänen för de inversa trigonometriska funktionerna för desamma.

Låt oss nu kort lära oss tekniken för implicit differentiering.

Vad är implicit differentiering?

Implicit differentiering är en metod som använder kedjeregeln för att differentiera implicit definierade funktioner. En implicit funktion är den funktion som innehåller två variabler snarare än en variabel. I sådana fall kan vi ibland konvertera funktionen till en variabel explicit men så är det inte alltid. Eftersom det i allmänhet inte är lätt att hitta funktionen explicit och sedan särskilja. Istället kan vi helt differentiera f(x, y) dvs båda variablerna och sedan lösa resten av ekvationen för att hitta värdet på f'(x).

Läs i detalj: Kalkyl i matematik

Vad är derivata av inversa trigonometriska funktioner?

Invers trigonometriska derivator är derivatan av inversa trigonometriska funktioner. Det finns sex trigonometriska funktioner och det finns invers för var och en av dessa trigonometriska funktioner. Dessa är synd ^-1 x, för ^-1 x, alltså ^-1 x, cosec ^-1 x, sek ^-1 x, spjälsäng ^-1 x. Vi kan hitta derivatan av inversa trigonometriska funktioner med den implicita differentieringsmetoden. Låt oss först lära oss vad som är derivator av inversa trigonometriska funktioner.

• Derivat av synd ^-1 x är d(sin ^-1 x)/dx = 1/√(1 – x ² ) för alla x ϵ (-1, 1)
• Derivat av cos ^-1 x är d(cos ^-1 x)/dx = -1/√(1 – x ² ) för alla x ϵ (-1, 1)
• Derivat av solbränna ^-1 x är d(tan ^-1 x)/dx = 1/(1 + x ² ) för alla x ϵ R
• Derivat av cosec ^-1 x är d(cosec ^-1 x)/dx = -1/ för alla x ϵ R – [-1, 1]
• Derivat av sek ^-1 x är d(sek ^-1 x)/dx = 1/x för alla x ϵ R – [-1, 1]
• Derivat av spjälsäng ^-1 x är d(cot ^-1 x)/dx = -1/(1 + x ² ) för alla x ϵ R

Bilden för den omvända trigonometriska derivatan bifogas nedan:

Nu har vi lärt oss vad som är derivatan av alla de sex inversa trigonometriska funktionerna, vi ska nu lära oss hur man hittar derivatan av de sex inversa trigonometriska funktionerna.

Bevis på derivata av inversa trigfunktioner

Vi kan differentiera de inversa trigonometriska funktionerna genom att använda den första principen och även genom att använda implicit differentieringsformel som också involverar användningen av kedjeregel. Att hitta derivatan av inversa trigonometriska funktioner med hjälp av första principen är en lång process. I den här artikeln lär vi oss hur man differentierar inversa trigonometriska funktioner med hjälp av implicit differentiering. Vi kan hitta derivatan (dy/dx) av inversa trigfunktioner genom att använda följande steg

Steg 1: Antag de trigonometriska funktionerna i formen sin y = x

Steg 2: Hitta derivatan av ovanstående funktion med hjälp av implicit differentiering

Steg 3: Beräkna dy/dx

Steg 4: Ersätt värdet på trigonometrisk funktion som finns i steg 3 med hjälp av trigonometriska identiteter.

Derivata av sin invers x

Låt oss anta sin y = x

Differentiera båda sidor med avseende på x

⇒ cos och. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Eftersom vi vet att Synd ² och + Cos ² y = 1

⇒ Cos ² y = 1 – synd ² och

⇒ mysigt = √(1 – synd ² y) = √(1 – x ² ) eftersom vi har sin y = x

Att sätta detta värde på cos y i ekvation (i)

dy/dx = 1/√(1 – x ² ) där y = synd ^-1 x

Derivata av cos invers X

Låt oss anta cos y = x

Differentiera båda sidor med avseende på x

⇒ -utan och. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Eftersom vi vet att Synd ² och + Cos ² y = 1

⇒ utan ² y = 1 – cos ² och

⇒ sin y = √(1 – cos ² y) = √(1 – x ² ) eftersom vi har cos y = x

Att sätta detta värde på sin y i ekvation (i)

dy/dx = -1/√(1 – x ² ) där y = cos ^-1 x

Derivat av tan invers X

Låt oss anta tan y = x

Differentiera båda sidor med avseende på x

⇒ sek ² y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sek ² och →(i)

Eftersom vi vet att sek ² och så ² y = 1

⇒ sek ² y = 1 + brun ² och

⇒ sek ² y = (1 + brun ² y) = (1 + x ² ) eftersom vi har tan y = x

Att sätta detta värde på sek ² y i ekvation (i)

dy/dx = 1/(1 + x ² ) där y = tan ^-1 x

Derivat av spjälsäng invers X

Låt oss anta barnsäng y = x

Differentiera båda sidor med avseende på x

⇒ -cosec ² y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/kossek ² och →(i)

Eftersom vi vet att csec ² och – spjälsäng ² y = 1

⇒ cosec ² y = 1 + barnsäng ² och

⇒ cosec ² y = (1 + barnsäng ² y) = (1 + x ² ) eftersom vi har barnsäng y = x

Att sätta detta värde på cosec ² y i ekvation (i)

dy/dx = -1/(1 + x ² ) där y = spjälsäng ^-1 x

Derivata av sek invers X

Låt oss anta sek y = x

Differentiera båda sidor med avseende på x

⇒ sek y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sek y.tan y →(i)

Eftersom vi vet att sek ² och så ² y = 1

⇒ alltså ² y = sek ² och – 1

⇒ tan y = √(sek ² y – 1) = √(x ² – 1)som vi har sek y = x

Att sätta detta värde på tan y i ekvation (i)

dy/dx = 1/x där sek y = x och y = sek ^-1 x

Derivat av cosec invers X

Låt oss anta cosec y = x

Differentiera båda sidor med avseende på x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Eftersom vi vet att cosec ² och – spjälsäng ² y = 1

⇒ spjälsäng ² y = cosec ² och – 1

⇒ barnsäng y = √(cosec ² y – 1) = √(x ² – 1)som vi har cosec y = x

Att sätta detta värde på tan y i ekvation (i)

dy/dx = -1/x där cosec y = x och y = cosec ^-1 x

Inverterad trigderivatformel

Nu har vi lärt oss hur man särskiljer de inversa trigonometriska funktionerna, därför ska vi nu titta på formlerna för derivatan av de inversa trigonometriska funktionerna som kan användas direkt i problemen. Nedan ges tabellen över derivator av invers trigonometrisk funktionsformel.

Läs mer,

• Derivat i parametrisk form
• Derivatformler
• Tillämpning av derivat
• Derivat av exponentiell funktion

Exempel på omvänd trigderivat

Exempel 1: Differentiera synd ^-1 (x)?

Lösning:

Låta, och = utan ⁻¹ ( x )

Att ta sinus på båda sidor av ekvationen ger,

sin y = sin(sin ^-1 x)

Genom egenskapen hos invers trigonometri vet vi synd (synd ^-1 x) = x

sin y = x

Skiljer nu båda sidor till x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Vi kan förenkla det mer genom att använda följande observation:

utan ² och + cos ² y = 1

x ² + cos ² y = 1 {Som sin y = x}

cos ² y = 1-x ²

cos y = √(1 – x ² )

Ersätter värdet får vi

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x ² )

Exempel 2: Differentiera cos ^-1 (x)?

Lösning:

Låta,

och = cos ⁻¹ ( x )

Att ta cosinus på båda sidor av ekvationen ger,

cos y = cos(cos ^-1 x)

Genom egenskapen för invers trigonometri vet vi cos(cos ^-1 x) = x

cos (y) = x

Skiljer nu båda sidor till x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Vi kan förenkla det mer genom att använda följande observation:

utan ² och + cos ² y = 1

utan ² y + x ² = 1 {Som cos y = x}

utan ² y = 1-x ²

sin y = √(1 – x ² )

Ersätter värdet får vi

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x ² )

Exempel 3: Differentiera solbränna ^-1 (x)?

Lösning:

Låta, och = så ⁻¹ ( x )

Att ta solbränna på båda sidor av ekvationen ger,

tan y = tan(tan ^-1 x)

Genom egenskapen för invers trigonometri vet vi tan(tan ^-1 x) = x

brun y = x

Skiljer nu båda sidor till x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek ² (x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sek ² x

Vi kan förenkla det mer genom att använda följande observation:

sek ² och så ² y = 1

sek ² y–x ² = 1

sek ² y = 1 + x ²

Ersätter värdet får vi

dy/dx = 1/sek ² och

dy/dx = 1/(1 + x ² )

Exempel 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Hitta dy/dx vid x = 1/2?

Lösning:

Metod 1 (med implicit differentiering)

Given, och = cos ⁻¹ (−2 x ² )

⇒ för och = −2 x ²

Att skilja båda sidor åt x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x ² }

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Förenkla

utan ² och + cos ² y = 1

utan ² och + (-2x ² ) ² = 1 {Som cos y = -2x ² }

utan ² y + 4x ⁴ = 1

utan ² y = 1 – 4x ⁴

sin y = √(1 – 4x ⁴ )

Sätta det erhållna värdet vi får,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x ⁴ }

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2) ⁴ }

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Metod 2 (Använder kedjeregeln som vi känner till differentieringen av cos invers x)

Given, och = cos ⁻¹ (−2 x ² )

Att skilja båda sidor åt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Exempel 5: Differentiera egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Lösningar:

Låta,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Att skilja båda sidor åt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Omvända trigderivativa frågor

Testa följande frågor om Inverse Trig Derivative Questions

F1: Differentiera synd ^-1 (3x – 4x ³ ) för x ϵ -1/2