Formule de sommation
En mathématiques, la sommation est l'addition de base d'une séquence de nombres quelconques, appelée addition ou sommation ; le résultat est leur somme ou leur total. En mathématiques, les nombres, les fonctions, les vecteurs, les matrices, les polynômes et, en général, les éléments de tout objet mathématique peuvent être associés à une opération appelée addition/sommation, notée +.
La sommation d'une séquence explicite est notée comme une succession d'ajouts. Par exemple, la sommation de (1, 3, 4, 7) peut être notée 1 + 3 + 4 + 7, et le résultat de la notation ci-dessus est 15, c'est-à-dire 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Parce que l'opération d'addition est à la fois associative et commutative, il n'y a pas besoin de parenthèses lors de la liste de la série/séquence, et le résultat sera le même quel que soit l'ordre des sommations.
Table des matières
- Qu'est-ce que la formule de sommation ?
- Où utiliser la formule de sommation ?
- Propriétés de la sommation
- Formules de sommation standard
- Exemple de formule de sommation
- FAQ sur la formule de sommation
Qu'est-ce que la formule de sommation ?
La notation sommation ou sigma (∑) est une méthode utilisée pour écrire une longue somme de manière concise. Cette notation peut être attachée à n’importe quelle formule ou fonction.
Par exemple, je = 1 ∑ dix (i) est une notation sigma de l'addition d'une séquence finie 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 où le premier élément est 1 et le dernier élément est 10.
Formules de sommation
Où utiliser la formule de sommation ?
La notation sommative peut être utilisée dans divers domaines mathématiques :
- Séquence en série
- L'intégration
- Probabilité
- Permutation et combinaison
- Statistiques
Note: Une sommation est une forme abrégée d’addition répétitive. On peut aussi remplacer la sommation par une boucle d'addition.
Propriétés de la sommation
Propriété 1
je = 1 ∑ n c = c + c + c + …. + c (n) fois = nc
Par exemple : Trouvez la valeur de je = 1 ∑ 4 c.
En utilisant la propriété 1, nous pouvons calculer directement la valeur de je = 1 ∑ 4 c comme 4×c = 4c.
Propriété 2
c=1 ∑ n kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n)…. (n) fois = k × (1 + … + n) = k c=1 ∑ n c
Par exemple : Trouvez la valeur de je = 1 ∑ 4 5i.
En utilisant les propriétés 2 et 1, nous pouvons calculer directement la valeur de je= 1 ∑ 4 5i comme 5 × je = 1 ∑ 4 je = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.
Propriété 3
c=1 ∑ n (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n)…. (n) fois = (n × k) + (1 + … + n) = nk + c=1 ∑ n c
Par exemple : Trouvez la valeur de je = 1 ∑ 4 (5+je).
En utilisant les propriétés 2 et 3, nous pouvons calculer directement la valeur de je = 1 ∑ 4 (5+i) comme 5×4 + je = 1 ∑ 4 je = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.
Propriété 4
k=1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ n f(k) + k=1 ∑ n g(k)
Par exemple : Rechercher la valeur de je = 1 ∑ 4 (je + je 2 ).
En utilisant la propriété 4, nous pouvons calculer directement la valeur de je = 1 ∑ 4 (je + je 2 ) comme je = 1 ∑ 4 je + je = 1 ∑ 4 je 2 = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.
Formules de sommation standard
Diverses formules de sommation sont,
Somme des n premiers nombres naturels : (1+2+3+…+n) = je = 1 ∑ n (je) = [n ×(n +1)]/2
Somme des carrés des n premiers nombres naturels : (1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 ) = je = 1 ∑ n (je 2 ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6
Somme du cube des n premiers nombres naturels : (1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 ) = je = 1 ∑ n (je 3 ) = [n 2 ×(n+1) 2 )]/4
Somme des n premiers nombres naturels pairs : (2+4+…+2n) = je = 1 ∑ n (2i) = [n ×(n +1)]
Somme des n premiers nombres naturels impairs : (1+3+…+2n-1) = je = 1 ∑ n (2i-1) = n 2
Somme des carrés des n premiers nombres naturels pairs : (2 2 +4 2 +…+(2n) 2 ) = je = 1 ∑ n (2i) 2 = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3
Somme des carrés des n premiers nombres naturels impairs : (1 2 +3 2 +…+(2n-1) 2 ) = je = 1 ∑ n (2i-1) 2 = [n(2n+1)(2n-1)] / 3
Somme du cube des n premiers nombres naturels pairs : (2 3 +4 3 +…+(2n)3) = je = 1 ∑ n (2i) 3 = 2[n(n+1)] 2
Somme du cube des n premiers nombres naturels impairs : (1 3 +3 3 +…+(2n-1) 3 ) = je = 1 ∑ n (2i-1) 3 = n 2 (2n 2 - 1)
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Exemple de formule de sommation
Exemple 1 : Trouvez la somme des 10 premiers nombres naturels à l'aide de la formule de sommation.
Solution:
Utilisation de la formule de sommation pour la somme de n nombre naturel je = 1 ∑ n (je) = [n ×(n +1)]/2
Nous avons la somme des 10 premiers nombres naturels = je = 1 ∑ dix (je) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55
Exemple 2 : Trouvez la somme des 10 premiers nombres naturels supérieurs à 5, en utilisant la formule de sommation.
Solution:
D'après la question :
Somme des 10 premiers nombres naturels supérieurs à 5 = je = 6 ∑ quinze (je)
= je = 1 ∑ quinze (je) - je = 1 ∑ 5 (je)
= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2
= 120 – 15
= 105
Exemple 3 : Trouver la somme d'une séquence finie donnée 1 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 .
Solution:
La séquence donnée est 1 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 , on peut l'écrire comme je = 1 ∑ 8 je 2 en utilisant la propriété/formule de sommation
je = 1 ∑ 8 je 2 = [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6
= 204
Exemple 4 : Simplifier c=1 ∑ n kc.
Solution:
Formule de sommation donnée = c=1 ∑ n kc
= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termes)
= k (1 + 2 + 3 +….. + n)
c=1 ∑ n kc = k c=1 ∑ n c
Exemple 5 : Simplifier et évaluer x =1 ∑ n (4+x).
Solution:
La somme donnée est x=1 ∑ n (4+x)
Comme nous le savons c=1 ∑ n (k+c) = nk + c=1 ∑ n c
La sommation donnée peut être simplifiée comme suit :
4n+ x=1 ∑ n (X)
Exemple 6 : Simplifier x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
Solution:
La somme donnée est x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
comme nous le savons k=1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ n f(k) + k=1 ∑ n g(k)
la somme donnée peut être simplifiée comme suit x=1 ∑ n (2x) + x=1 ∑ n (X 2 ).
FAQ sur la formule de sommation
Qu'est-ce que la formule de sommation des nombres naturels ?
La somme des nombres naturels de 1 à n se trouve à l'aide de la formule n (n + 1) / 2. Par exemple, la somme des 100 premiers nombres naturels est 100 (100 + 1) / 2 = 5050.
Qu'est-ce que la formule de sommation générale ?
Formule de sommation générale utilisée pour trouver la somme d'une séquence {a 1 , un 2 , un 3 ,…,un n } est, ∑a je = un 1 + un 2 + un 3 + … + un n
Comment utilisez-vous ∑ ?
∑ est le symbole de la sommation et est utilisé pour trouver la somme des séries.
Quelle est la formule de n somme ?
La formule pour la somme de n nombres naturels est, la formule de la somme de n nombres est [n(n+1)2]
