logo

TechCodeview

Математички

Проналажење броја троуглова међу хоризонталним и вертикалним сегментима

Предуслови: БИТ  Дати 'н' сегменти линије сваки од њих је хоризонтални или вертикални. Нађите максималан број троуглова (укључујући троуглове са нултом површином) који се могу формирати спајањем тачака пресека сегмената линија. Не преклапају се два хоризонтална сегмента нити два вертикална сегмента. Права је представљена помоћу две тачке (четири цела броја, прва два су координате к и и за прву тачку, а друге две су координате к и и за другу тачку) Примери: 

 | ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be    4C   3     triangles.

Идеја се заснива на Алгоритам померања линије . Изградња решења у корацима:

  1. Сачувајте обе тачке свих сегмената линије са одговарајућим догађајем (описаним у наставку) у вектор и сортирајте све тачке у неопадајућем редоследу њихових к координата.
  2. Хајде сада да замислимо вертикалну линију коју прелазимо преко свих ових тачака и опишемо 3 догађаја на основу које се тренутно налазимо:
      ин - крајња лева тачка хоризонталног сегмента оут - крајња десна тачка хоризонталног сегмента
    • а вертикална линија
  3. Зовемо регион 'активан' или хоризонталне линије 'активан' који су имали први догађај, али не и други. Имаћемо БИТ (бинарно индексирано стабло) за чување 'и' координата свих активних линија.
  4. Када линија постане неактивна, уклањамо њено 'и' из БИТ-а.
  5. Када се догоди догађај трећег типа, односно када се налазимо на вертикалној линији, постављамо упит за дрво у опсегу његових 'и' координата и додајемо резултат досадашњем броју пресечних тачака.
  6. Коначно ћемо имати број тачака раскрснице м тада ће број троуглова (укључујући нулту површину) бити м Ц 3 .

Напомена: Морамо пажљиво сортирати тачке погледа на цмп() функција у имплементацији ради појашњења. 

CPP 
   // A C++ implementation of the above idea   #include     #define maxy 1000005   #define maxn 10005   using     namespace     std  ;   // structure to store point   struct     point   {      int     x       y  ;      point  (  int     a       int     b  )      {      x     =     a       y     =     b  ;      }   };   // Note: Global arrays are initially zero   // array to store BIT and vector to store   // the points and their corresponding event number   // in the second field of the pair   int     bit  [  maxy  ];   vector  &  lt  ;  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  gt  ;     events  ;   // compare function to sort in order of non-decreasing   // x coordinate and if x coordinates are same then   // order on the basis of events on the points   bool     cmp  (  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  a       pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  b  )   {      if     (     a  .  first  .  x     !=     b  .  first  .  x     )      return     a  .  first  .  x     &  lt  ;     b  .  first  .  x  ;      //if the x coordinates are same      else      {      // both points are of the same vertical line      if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if an 'in' event occurs before 'vertical'      // line event for the same x coordinate      else     if     (  a  .  second     ==     1     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if a 'vertical' line comes before an 'in'      // event for the same x coordinate swap them      else     if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     1  )      {      return     false  ;      }      // if an 'out' event occurs before a 'vertical'      // line event for the same x coordinate swap.      else     if     (  a  .  second     ==     2     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     false  ;      }      //in all other situations      return     true  ;      }   }   // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate   // in an active region while update(y -1) removes it   void     update  (  int     idx       int     val  )   {      while     (  idx     &  lt  ;     maxn  )      {      bit  [  idx  ]     +=     val  ;      idx     +=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }   }   // returns the number of lines in active region whose y   // coordinate is between 1 and idx   int     query  (  int     idx  )   {      int     res     =     0  ;      while     (  idx     &  gt  ;     0  )      {      res     +=     bit  [  idx  ];      idx     -=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }      return     res  ;   }   // inserts a line segment   void     insertLine  (  point     a       point     b  )   {      // if it is a horizontal line      if     (  a  .  y     ==     b  .  y  )      {      int     beg     =     min  (  a  .  x       b  .  x  );      int     end     =     max  (  a  .  x       b  .  x  );      // the second field in the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  beg       a  .  y  )     1  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  end       a  .  y  )     2  ));      }      //if it is a vertical line      else      {      int     up     =     max  (  b  .  y       a  .  y  );      int     low     =     min  (  b  .  y       a  .  y  );      //the second field of the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       up  )     3  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       low  )     3  ));      }   }   // returns the number of intersection points between all   // the lines vertical and horizontal to be run after the   // points have been sorted using the cmp() function   int     findIntersectionPoints  ()   {      int     intersection_pts     =     0  ;      for     (  int     i     =     0     ;     i     &  lt  ;     events  .  size  ()     ;     i  ++  )      {      //if the current point is on an 'in' event      if     (  events  [  i  ].  second     ==     1  )      {      //insert the 'y' coordinate in the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       1  );      }      // if current point is on an 'out' event      else     if     (  events  [  i  ].  second     ==     2  )      {      // remove the 'y' coordinate from the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       -1  );      }      // if the current point is on a 'vertical' line      else      {      // find the range to be queried      int     low     =     events  [  i  ++  ].  first  .  y  ;      int     up     =     events  [  i  ].  first  .  y  ;      intersection_pts     +=     query  (  up  )     -     query  (  low  );      }      }      return     intersection_pts  ;   }   // returns (intersection_pts)C3   int     findNumberOfTriangles  ()   {      int     pts     =     findIntersectionPoints  ();      if     (     pts     &  gt  ;  =     3     )      return     (     pts     *     (  pts     -     1  )     *     (  pts     -     2  )     )     /     6  ;      else      return     0  ;   }   // driver code   int     main  ()   {      insertLine  (  point  (  2       1  )     point  (  2       9  ));      insertLine  (  point  (  1       7  )     point  (  6       7  ));      insertLine  (  point  (  5       2  )     point  (  5       8  ));      insertLine  (  point  (  3       4  )     point  (  6       4  ));      insertLine  (  point  (  4       3  )     point  (  4       5  ));      insertLine  (  point  (  7       6  )     point  (  9       6  ));      insertLine  (  point  (  8       2  )     point  (  8       5  ));      // sort the points based on x coordinate      // and event they are on      sort  (  events  .  begin  ()     events  .  end  ()     cmp  );      cout     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;  Number     of     triangles     are  :     &  quot  ;     &  lt  ;  &  lt  ;      findNumberOfTriangles  ()     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;    n  &  quot  ;;      return     0  ;   }

Излаз: 

Number of triangles are: 4 
Time Complexity:   O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )

Помоћни простор: О(маки) где је маки = 1000005


Дели

Можда Ће Вам Се Свидети

Слике у Маркдовну

Слике у Маркдовну

МиСКЛ Прикажи кориснике/листу свих корисника

МиСКЛ Прикажи кориснике/листу свих корисника

Топ Чланци

Категорија

Блог Јава Цонверсион Математика Јава Цоллецтионс Разликама Јава Стринг

Занимљиви Чланци