Бинарно индексирано стабло: ажурирање опсега и упити опсега
Дат низ арр[0..Н-1]. Потребно је извршити следеће операције.
- ажурирање (л р вал) : Додајте 'вал' свим елементима у низу из [л р].
- гетРангеСум(л р) : Пронађите збир свих елемената у низу из [л р].
У почетку су сви елементи у низу 0. Упити могу бити у било ком редоследу, тј. може бити много ажурирања пре збира опсега.
Пример:
Улаз: Н = 5 // {0 0 0 0 0}
Упити: ажурирање: л = 0 р = 4 вал = 2
ажурирање: л = 3 р = 4 вал = 3
гетРангеСум : л = 2 р = 4Излаз: Збир елемената опсега [2 4] је 12
Објашњење: Низ након првог ажурирања постаје {2 2 2 2 2}
Низ након другог ажурирања постаје {2 2 2 5 5}
Наивни приступ: Да бисте решили проблем, следите следећу идеју:
У претходни пост расправљали смо о ажурирању опсега и решењима за упите тачака користећи БИТ.
рангеУпдате(л р вал) : Додајемо 'вал' елементу на индексу 'л'. Од елемента са индексом 'р+1' одузимамо 'вал'.
гетЕлемент(индек) [или гетСум()]: Враћамо збир елемената од 0 до индекса који се може брзо добити коришћењем БИТ-а.
Можемо да израчунамо рангеСум() користећи гетСум() упите.
рангеСум(л р) = гетСум(р) - гетСум(л-1)Једноставно решење је коришћење решења о којима се говори у претходни пост . Упит за ажурирање опсега је исти. Упит за суму опсега се може постићи извођењем упита гет за све елементе у опсегу.
Ефикасан приступ: Да бисте решили проблем, следите следећу идеју:
Добијамо збир опсега користећи префиксне суме. Како се уверити да је ажурирање обављено на начин да се збир префикса може обавити брзо? Размотрите ситуацију у којој је збир префикса [0 к] (где је 0 <= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.
- Случај 1 : 0 < k < l
- Упит за ажурирање неће утицати на упит за збир.
- Случај 2 : л <= k <= r
- Размотрите пример: Додајте 2 у опсег [2 4] резултујући низ би био: 0 0 2 2 2
Ако је к = 3 Збир из [0 к] = 4Како доћи до овог резултата?
Једноставно додајте вал из л тх индекс на к тх индекс. Збир се повећава за 'вал*(к) - вал*(л-1)' након упита за ажурирање.
- Случај 3 : к > р
- За овај случај морамо додати 'вал' из л тх индекс на р тх индекс. Збир се повећава за 'вал*р – вал*(л-1)' због упита за ажурирање.
запажања:
Случај 1: је једноставно јер би збир остао исти као и пре ажурирања.
Случај 2: Збир је повећан за вал*к - вал*(л-1). Можемо пронаћи 'вал' то је слично проналажењу и тх елемент у ажурирање опсега и чланак о упиту о тачкама . Тако да одржавамо један БИТ за ажурирање опсега и упите о тачкама, овај БИТ ће бити од помоћи у проналажењу вредности на к тх индекс. Сада се израчунава вал * к како се поступа са додатним термином вал*(л-1)?
Да бисмо обрадили овај додатни термин одржавамо још један БИТ (БИТ2). Ажурирајте вал * (л-1) на л тх индекс, тако да када се гетСум упит изврши на БИТ2 ће дати резултат као вал*(л-1).
Случај 3: Збир у случају 3 је увећан за 'вал*р - вал *(л-1)' вредност овог појма се може добити коришћењем БИТ2. Уместо сабирања одузимамо 'вал*(л-1) - вал*р' јер ову вредност можемо добити из БИТ2 додавањем вал*(л-1) као што смо урадили у случају 2 и одузимањем вал*р у свакој операцији ажурирања.
Ажурирај упит
Ажурирање (БИТрее1 л вал)
Ажурирај (БИТрее1 р+1 -вал)
УпдатеБИТ2(БИТрее2 л вал*(л-1))
УпдатеБИТ2(БИТрее2 р+1 -вал*р)Ранг Сум
гетСум(БИТТрее1 к) *к) - гетСум(БИТТрее2 к)
Пратите доле наведене кораке да бисте решили проблем:
- Креирајте два бинарна стабла индекса користећи дату функцију цонструцтБИТрее()
- Да бисте пронашли збир у датом опсегу, позовите функцију рангеСум() са параметрима као датим опсегом и бинарно индексираним стаблима
- Позовите функцију суме која ће вратити збир у опсегу [0 Кс]
- Повратни збир(Р) - збир(Л-1)
- Унутар ове функције позовите функцију гетСум() која ће вратити збир низа из [0 Кс]
- Врати гетСум(дрво1 к) * к - гетСум(трее2 к)
- Унутар функције гетСум() креирајте целобројну суму једнаку нули и повећајте индекс за 1
- Док је индекс већи од нуле, повећајте збир за Трее[индекс]
- Смањите индекс за (индекс & (-индек)) да бисте преместили индекс на родитељски чвор у стаблу
- Повратни збир
- Одштампајте збир у датом опсегу
Испод је имплементација горњег приступа:
C++ // C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include using namespace std ; // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 []) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 []) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } int * constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int * BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver code int main () { int n = 5 ; // Construct two BIT int * BITTree1 * BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 r = 4 ; cout < < 'Sum of elements from [' < < l < < '' < < r < < '] is ' ; cout < < rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) < < ' n ' ; return 0 ; }
Java // Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.* ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ] ; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ] ; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function public static void main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; System . out . print ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); System . out . print ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
Python3 # Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum ( BITree : list index : int ) -> int : summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0 : # Add current element of BITree to sum summ += BITree [ index ] # Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit ( BITTree : list n : int index : int val : int ) -> None : # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n : # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree [ index ] += val # Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ) # Returns the sum of array from [0 x] def summation ( x : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ) def updateRange ( BITTree1 : list BITTree2 : list n : int val : int l : int r : int ) -> None : # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit ( BITTree1 n l val ) updateBit ( BITTree1 n r + 1 - val ) # Update BIT2 updateBit ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )) updateBit ( BITTree2 n r + 1 - val * r ) def rangeSum ( l : int r : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation ( r BITTree1 BITTree2 ) - summation ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ) # Driver Code if __name__ == '__main__' : n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print ( 'Sum of elements from [ %d %d ] is %d ' % ( l r rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ))) # This code is contributed by # sanjeev2552
C# // C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int [] BITree int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int [] BITree int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of // parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int [] BITTree1 int [] BITTree2 int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Code public static void Main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; Console . Write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); Console . Write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
JavaScript < script > // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum ( BITree index ) { let sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT ( BITree n index val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum ( x BITTree1 BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } function updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } function rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } function constructBITree ( n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 let BITree = new Array ( n + 1 ); for ( let i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function let n = 5 ; // Contwo BIT let BITTree1 ; let BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; document . write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); document . write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + '
' ); // This code is contributed by rag2127 < /script>
Излаз
Sum of elements from [14] is 50
Временска сложеност : О(к * лог(Н)) где је к број упита.
Помоћни простор: О(Н)
