V matematiki se izrazi eksponenti in potence uporabljajo, ko se število pomnoži samo s seboj za določeno število krat. Na primer, 4 × 4 × 4 = 64. To lahko na kratko zapišemo tudi kot 4 ³ = 64. Tukaj, 4 ³ pomeni, da je število 4 pomnoženo samo s seboj trikrat, v kratki obliki pa 4 ³ je eksponentni izraz. Število 4 je osnovno število, medtem ko je število 3 eksponent, dani eksponentni izraz pa beremo kot 4, dvignjeno na potenco 3. V eksponentnem izrazu je osnova faktor, ki se večkrat pomnoži sam s seboj, medtem ko eksponent je, kolikokrat se faktor pojavi.

Opredelitev eksponentov in potence

Če število pomnožimo s samim seboj n-krat , je nastali izraz znan kot n-ta potenca danega števila. Med eksponentom in potenco je zelo tanka razlika. Eksponent je število, kolikokrat je bilo dano število pomnoženo s samim seboj, medtem ko je potenca vrednost produkta osnovnega števila, dvignjenega na eksponent. S pomočjo eksponentne oblike števil lahko priročneje izrazimo izjemno velika in majhna števila. Na primer, 100000000 je mogoče izraziti kot 1 × 10 ⁸ , 0,0000000000013 pa je mogoče izraziti kot 13 × 10 ^-13 . To omogoča lažje branje številk, pomaga ohranjati njihovo točnost in nam prihrani čas.

Pravila eksponentov in potence

Pravila eksponentov in potence pojasnjujejo, kako seštevati, odštevati, množiti in deliti eksponente ter kako reševati različne vrste matematičnih enačb, ki vključujejo eksponente in potence.

1. pravilo: Produktni zakon eksponentov

Po tem zakonu se pri množenju eksponentov z enakimi osnovami eksponenti seštejejo.

Produktni zakon eksponentov: a ^m × a ⁿ =a ^{(m+ n)}

2. pravilo: pravilo kvocienta eksponentov

Po tem zakonu moramo za delitev dveh eksponentov z enakimi osnovami odšteti eksponente.

Pravilo kvocienta eksponentov: a ^m /a ⁿ =a ^(m–n)

Pravilo 3: Pravilo moči moči

V skladu s tem zakonom, če eksponentno število dvignemo na drugo potenco, se potence pomnožijo.

Pravilo moči moči: (a ^m ) ⁿ =a ^{(m × n)}

Pravilo 4: Pravilo moči izdelka

V skladu s tem zakonom moramo pomnožiti različne baze in dvigniti isti eksponent na produkt baz.

Pravilo moči izdelka: a ^m × b ^m =(a × b) ^m .

5. pravilo: Pravilo moči količnika

V skladu s tem zakonom moramo razdeliti različne baze in dvigniti isti eksponent na količnik baz.

Pravilo moči količnika: a ^m ÷ b ^m =(a/b) ^m

6. pravilo: Pravilo ničelnega eksponenta

Po tem zakonu, če je vrednost osnove, dvignjene na potenco nič, 1.

Pravilo ničelnega eksponenta: a ⁰ =1

Pravilo 7: Pravilo negativnega eksponenta

V skladu s tem zakonom, če je eksponent negativen, potem spremenimo eksponent v pozitivno tako, da vzamemo recipročno vrednost eksponentnega števila.

Pravilo negativnega eksponenta: a ^-m = 1/a ^m

Pravilo 8: Pravilo ulomkov

V skladu s tem zakonom, ko imamo delni eksponent, potem to povzroči radikale.

Pravilo ulomkov eksponenta: a ^(1/n) = ⁿ √a

a ^(m/n) = ⁿ √a ^m

Kaj pomeni 10 na potenco 4?

rešitev:

Izračunajmo vrednost 10 na 4. srednjo vrednost, tj. 10 ⁴

Vemo, da glede na potenčno pravilo eksponentov,

a ^m = a × a × a… m-krat

Zato lahko zapišemo 10 ⁴ kot 10 × 10 × 10 × 10 = 10000

zato

vrednost 10 dvignjena na potenco števila 4, tj. 10 ⁴ je 10000.

Vzorčne težave

1. težava: Poiščite vrednost 3 ⁶ .

rešitev:

Podani izraz je 3 ⁶ .

Osnova danega eksponentnega izraza je 3, medtem ko je eksponent 6, tj. dani izraz se bere tako, da se 3 dvigne na potenco števila 6.

Torej, z razširitvijo 3 ⁶ , dobimo 3 ⁶ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Zato je vrednost 3 ⁶ je 729.

2. naloga: Določite eksponent in potenco za izraz (12) ⁵ .

rešitev:

Podani izraz je 12 ⁵ .

Osnova danega eksponentnega izraza je 12, medtem ko je eksponent 5, tj. dani izraz se bere tako, da se 12 dvigne na potenco števila 5.

Problem 3: Ocenite (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ .

rešitev:

Podano: (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷

To vemo, a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)}

Torej, (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷ = (2/7) ^(-5+7)

= (2/7) ² = 4/49

Zato (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ = 4/49

4. naloga: Poiščite vrednost x v podanem izrazu: 5 ^3x-2 = 625.

rešitev:

Podano, 5 ^3x-2 = 625.

5 ^3x-2 = 5 ⁴

S primerjavo eksponentov podobne baze dobimo

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

Zato je vrednost x 2.

Problem 5: Poiščite vrednost k v podanem izrazu: (-2/3) ⁴ 23) ^{- petnajst} = (23) ^7k+3

rešitev:

podano,

(-23) ⁴ 23) ^{- petnajst} = (23) ^7k+3

23) ⁴ 23) ^{- petnajst} = (23) ^7k+3 {Od (-x) ⁴ = x ⁴ }

To vemo, a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)}

23) ^4-15 = (2/3)7k+3

23) ^-enajst = (23) ^7k+3

S primerjavo eksponentov podobne baze dobimo

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

Zato je vrednost k -2.