Topološko razvrščanje
Topološko razvrščanje za Usmerjeni aciklični graf (DAG) je linearna ureditev oglišč, tako da za vsak usmerjen rob u-v velja oglišče v prihaja prej v pri naročanju.
Opomba: Topološko razvrščanje za graf ni mogoče, če graf ni a DAN .
primer:
Priporočena praksa Rešitev, ki temelji na DFS, za iskanje topološkega razvrščanja že razpravljali.Vnos: Graf:
![]()
Primer
Izhod: 5 4 2 3 1 0
Pojasnilo: Prvo oglišče pri topološkem razvrščanju je vedno oglišče z notranjo stopnjo 0 (oglišče brez vhodnih robov). Topološko razvrščanje naslednjega grafa je 5 4 2 3 1 0. Za graf je lahko več kot eno topološko razvrščanje. Drugo topološko razvrščanje naslednjega grafa je 4 5 2 3 1 0.
Topološki red morda ni edinstven:
Topološko razvrščanje je problem odvisnosti, pri katerem je dokončanje ene naloge odvisno od dokončanja več drugih nalog, katerih vrstni red se lahko spreminja. Razumejmo ta koncept na primeru:
Recimo, da je naša naloga priti do naše šole in da bi prispeli tja, se moramo najprej obleči. Odvisnosti od nošenja oblačil so prikazane v spodnjem grafu odvisnosti. Na primer, ne morete nositi čevljev, preden nosite nogavice.
![]()
Iz zgornje slike bi že ugotovili, da obstaja več načinov, kako se obleči, spodnja slika prikazuje nekatere od teh načinov.
![]()
Lahko našteješ vso možno topološko urejenost oblačenja za zgornji graf odvisnosti?
Algoritem za topološko razvrščanje z uporabo DFS:
Tukaj je algoritem po korakih za topološko razvrščanje z uporabo iskanja najprej v globino (DFS):
- Ustvari graf z n oglišča in m - usmerjeni robovi.
- Inicializirajte sklad in obiskano matriko velikosti n .
- Za vsako neobiskano točko v grafu naredite naslednje:
- Pokličite funkcijo DFS z vozliščem kot parametrom.
- V funkciji DFS označite vozlišče kot obiskano in rekurzivno pokličite funkcijo DFS za vse neobiskane sosede vozlišča.
- Ko so vsi sosedi obiskani, potisnite točko na sklad.
- Konec koncev so bile točke obiskane, izločite elemente iz sklada in jih dodajte na izhodni seznam, dokler sklad ni prazen.
- Nastali seznam je topološko razvrščen vrstni red grafa.
Ilustracija Algoritem topološkega razvrščanja:
Spodnja slika je ilustracija zgornjega pristopa:
Celoten potek dela topološkega razvrščanja
Korak 1:
- DFS zaženemo iz vozlišča 0, ker nima nič dohodnih vozlišč
- Vozlišče 0 potisnemo v sklad in se premaknemo na naslednje vozlišče z minimalnim številom sosednjih vozlišč, tj. vozlišče 1.
![]()
2. korak:
- Ker v tem koraku ni sosednjega vozlišča, potisnite vozlišče 1 v sklad in se premaknite na naslednje vozlišče.
![]()
3. korak:
- V tem koraku smo izbrali vozlišče 2, ker ima najmanjše število sosednjih vozlišč po 0 in 1.
- Pokličemo DFS za vozlišče 2 in potisnemo vsa vozlišča, ki pridejo v prehod iz vozlišča 2, v obratnem vrstnem redu.
- Torej pritisnite 3 in nato pritisnite 2.
![]()
4. korak:
- Zdaj kličemo DFS za vozlišče 4
- Ker sta 0 in 1 že prisotna v skladu, zato samo potisnemo vozlišče 4 v sklad in se vrnemo.
![]()
5. korak:
- V tem koraku, ker so vsa sosednja vozlišča od 5 že v skladu, potisnemo vozlišče 5 v sklad in se vrnemo.
![]()
6. korak: To je zadnji korak topološkega razvrščanja, pri katerem odstranimo vse elemente iz sklada in jih natisnemo v tem vrstnem redu.
Spodaj je izvedba zgornjega pristopa:
C++ #include using namespace std; // Function to perform DFS and topological sorting void topologicalSortUtil(int v, vector >& adj, vektor & obiskal, sklad & Stack) { // Označi trenutno vozlišče kot obiskano visited[v] = true; // Ponavlja se za vse sosednje točke for (int i : adj[v]) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, Stack); } // Potisni trenutno točko v sklad, ki shrani rezultat Stack.push(v); } // Funkcija za izvedbo topološkega razvrščanja void topologicalSort(vector >& adj, int V) { sklad Stack; // Sklad za shranjevanje vektorja rezultata obiskano (V, napačno); // Pokliči rekurzivno pomožno funkcijo za shranjevanje // Topološko razvrščanje, začenši od vseh tock enega po // enega za (int i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, Stack); } // Print contents of stack while (!Stack.empty()) { cout < < Stack.top() < < ' '; Stack.pop(); } } int main() { // Number of nodes int V = 4; // Edges vector > robovi = { { 0, 1 }, { 1, 2 }, { 3, 1 }, { 3, 2 } }; // Graf, predstavljen kot vektor seznama sosednosti > adj(V); za (auto i : robovi) { adj[i[0]].push_back(i[1]); } cout < < 'Topological sorting of the graph: '; topologicalSort(adj, V); return 0; }
Java import java.util.*; public class TopologicalSort { // Function to perform DFS and topological sorting static void topologicalSortUtil(int v, List > adj, boolean [] obiskano, Stack stack) { // Označi trenutno vozlišče kot obiskano visited[v] = true; // Ponavlja se za vse sosednje točke for (int i : adj.get(v)) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Potisni trenutno točko v sklad, ki shrani // rezultat stack.push(v); } // Funkcija za izvedbo topološkega razvrščanja static void topologicalSort(List > adj, int V) { // Sklad za shranjevanje rezultata Sklad stack = new Stack(); logična vrednost [] obiskano = nova logična vrednost [V]; // Pokliči rekurzivno pomočno funkcijo za shranjevanje // Topološko razvrščanje, začenši od vseh tock enega // enega za (int i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack System.out.print( 'Topological sorting of the graph: '); while (!stack.empty()) { System.out.print(stack.pop() + ' '); } } // Driver code public static void main(String[] args) { // Number of nodes int V = 4; // Edges List > robovi = nov ArrayList(); edges.add(Arrays.asList(0, 1)); edges.add(Arrays.asList(1, 2)); edges.add(Arrays.asList(3, 1)); edges.add(Arrays.asList(3, 2)); // Graf, predstavljen kot seznam sosednosti List > adj = nov ArrayList(V); za (int i = 0; i < V; i++) { adj.add(new ArrayList()); } for (List i : robovi) { adj.get(i.get(0)).add(i.get(1)); } topologicalSort(adj, V); } }
Python3 def topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack): # Mark the current node as visited visited[v] = True # Recur for all adjacent vertices for i in adj[v]: if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Push current vertex to stack which stores the result stack.append(v) # Function to perform Topological Sort def topologicalSort(adj, V): # Stack to store the result stack = [] visited = [False] * V # Call the recursive helper function to store # Topological Sort starting from all vertices one by # one for i in range(V): if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Print contents of stack print('Topological sorting of the graph:', end=' ') while stack: print(stack.pop(), end=' ') # Driver code if __name__ == '__main__': # Number of nodes V = 4 # Edges edges = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]] # Graph represented as an adjacency list adj = [[] for _ in range(V)] for i in edges: adj[i[0]].append(i[1]) topologicalSort(adj, V) C# using System; using System.Collections.Generic; class Program { // Function to perform DFS and topological sorting static void TopologicalSortUtil(int v, List > adj, bool[] obiskano, Stack stack) { // Označi trenutno vozlišče kot obiskano visited[v] = true; // Ponavlja se za vsa sosednja vozlišča foreach(int i in adj[v]) { if (!visited[i]) TopologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Potisnite trenutno točko v sklad, ki shrani // rezultatni sklad.Push(v); } // Funkcija za izvedbo topološkega razvrščanja static void TopologicalSort(List > adj, int V) { // Sklad za shranjevanje rezultata Sklad sklad = nov sklad (); bool[] obiskan = nov bool[V]; // Pokliči rekurzivno pomožno funkcijo za shranjevanje // Topološko razvrščanje, začenši z vsemi točkami eno za drugo za (int i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) TopologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack Console.Write('Topological sorting of the graph: '); while (stack.Count>0) { Console.Write(stack.Pop() + ' '); } } // Koda gonilnika static void Main(string[] args) { // Število vozlišč int V = 4; // Seznam robov > robovi = nov seznam >{ nov seznam { 0, 1 }, nov seznam { 1, 2 }, nov seznam { 3, 1 }, nov seznam { 3, 2 } }; // Graf, predstavljen kot seznam sosednosti List > adj = nov seznam >(); za (int i = 0; i < V; i++) { adj.Add(new List ()); } foreach(Seznam i v robovih) { adj[i[0]].Add(i[1]); } Topološka vrsta (adj, V); } }
Javascript // Function to perform DFS and topological sorting function topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack) { // Mark the current node as visited visited[v] = true; // Recur for all adjacent vertices for (let i of adj[v]) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Push current vertex to stack which stores the result stack.push(v); } // Function to perform Topological Sort function topologicalSort(adj, V) { // Stack to store the result let stack = []; let visited = new Array(V).fill(false); // Call the recursive helper function to store // Topological Sort starting from all vertices one by // one for (let i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack console.log('Topological sorting of the graph: '); while (stack.length>0) { console.log(stack.pop() + ' '); } } // Koda gonilnika (() => { // Število vozlišč const V = 4; // Robovi const robovi = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]]; // Graf, predstavljen kot seznam sosednosti const adj = Array.from({ length: V }, () => []); for (let i of edges) { adj[i[0]].push (i[1]); topologicalSort(adj, V); Izhod
Topological sorting of the graph: 3 0 1 2
Časovna zapletenost: O(V+E). Zgornji algoritem je preprosto DFS z dodatnim skladom. Časovna zapletenost je torej enaka DFS
Pomožni prostor: O(V). Za sklad je potreben dodaten prostor
Topološko razvrščanje z BFS:
C++ #include #include #include using namespace std; // Class to represent a graph class Graph { int V; // No. of vertices list * adj; // Kazalec na matriko, ki vsebuje // sezname sosednosti public: Graph(int V); // Konstruktor void addEdge(int v, int w); // Funkcija za dodajanje roba grafu void topologicalSort(); // natisne topološko sortiranje // celotnega grafa }; Graf::Graf(int V) { this->V = V; adj = nov seznam [V]; } void Graph::addEdge(int v, int w) { adj[v].push_back(w); // Dodaj w na v-jev seznam. } // Funkcija za izvedbo topološkega razvrščanja void Graph::topologicalSort() { // Ustvari vektor za shranjevanje vektorja v stopinjah vseh vozlišč v_stopnji (V, 0); // Preleti sezname sosednosti, da zapolni in_degree // tock za (int v = 0; v < V; ++v) { for (auto const& w : adj[v]) in_degree[w]++; } // Create a queue and enqueue all vertices with // in-degree 0 queue q; za (int i = 0; i < V; ++i) { if (in_degree[i] == 0) q.push(i); } // Initialize count of visited vertices int count = 0; // Create a vector to store topological order vector top_order; // Eno po eno odstrani točko iz čakalne vrste in postavi v čakalno vrsto // sosednjo točko, če stopnja sosednjega postane 0, medtem ko (!q.empty()) { // Ekstrahiraj sprednjo stran čakalne vrste (ali izvedi odstranitev iz čakalne vrste) // in jo dodaj v topološki red int u = q.front(); q.pop(); top_order.push_back(u); // Iteracija skozi vsa sosednja vozlišča // vozlišča u, ki je izločeno iz čakalne vrste, in zmanjšanje njihove stopnje // za 1 seznam ::iterator itr; for (itr = adj[u].begin(); itr != adj[u].end(); ++itr) // Če in-degree postane nič, ga dodajte v čakalno vrsto if (--in_degree[*itr) ] == 0) q.push(*itr); štetje++; } // Preverite, ali je prišlo do cikla if (count != V) { cout < < 'Graph contains cycle
'; return; } // Print topological order for (int i : top_order) cout < < i < < ' '; } // Driver code int main() { // Create a graph given in the above diagram Graph g(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); cout < < 'Following is a Topological Sort of the given ' 'graph
'; g.topologicalSort(); return 0; } Java import java.util.ArrayList; import java.util.LinkedList; import java.util.Queue; // Class to represent a graph class Graph { private int V; // No. of vertices private ArrayList [] adj; // Seznam sosednosti // predstavitev // grafa // Konstruktor Graph(int V) { this.V = V; adj = nov ArrayList[V]; za (int i = 0; i < V; ++i) adj[i] = new ArrayList(); } // Function to add an edge to the graph void addEdge(int v, int w) { adj[v].add(w); // Add w to v’s list. } // Function to perform Topological Sort void topologicalSort() { // Create an array to store in-degree of all // vertices int[] inDegree = new int[V]; // Calculate in-degree of each vertex for (int v = 0; v < V; ++v) { for (int w : adj[v]) { inDegree[w]++; } } // Create a queue and enqueue all vertices with // in-degree 0 Queue q = nov LinkedList(); za (int i = 0; i < V; ++i) { if (inDegree[i] == 0) q.add(i); } // Initialize count of visited vertices int count = 0; // Create an ArrayList to store topological order ArrayList topOrder = nov ArrayList(); // Eno za drugim odstrani točke iz čakalne vrste in // postavi sosednje točke v čakalno vrsto, če na stopnji // sosednje postane 0 while (!q.isEmpty()) { // Ekstrahiraj sprednjo stran čakalne vrste in jo dodaj v // topološki red int u = q.poll(); topOrder.add(u); štetje++; // Ponovi skozi vsa sosednja vozlišča // vozlišča u, ki je izločeno iz čakalne vrste, in zmanjšaj njihovo stopnjo // za 1 za (int w : adj[u]) { // Če stopnja postane nič, jo dodaj v // čakalno vrsto if (--inDegree[w] == 0) q.add(w); } } // Preveri, ali je bil cikel if (count != V) { System.out.println('Graf vsebuje cikel'); vrnitev; } // Natisni topološki vrstni red za (int i : topOrder) System.out.print(i + ' '); } } // Koda gonilnika public class Main { public static void main(String[] args) { // Ustvari graf, podan v zgornjem diagramu Graph g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); System.out.println( 'Sledi topološka vrsta danega grafa'); g.topologicalSort(); } } Python3 from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self, vertices): # Number of vertices self.V = vertices # Dictionary to store adjacency lists self.adj = defaultdict(list) def addEdge(self, u, v): # Function to add an edge to the graph self.adj[u].append(v) def topologicalSort(self): # Function to perform Topological Sort # Create a list to store in-degree of all vertices in_degree = [0] * self.V # Traverse adjacency lists to fill in_degree of vertices for i in range(self.V): for j in self.adj[i]: in_degree[j] += 1 # Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 q = [] for i in range(self.V): if in_degree[i] == 0: q.append(i) # Initialize count of visited vertices count = 0 # Create a list to store topological order top_order = [] # One by one dequeue vertices from queue and enqueue # adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while q: # Extract front of queue (or perform dequeue) # and add it to topological order u = q.pop(0) top_order.append(u) # Iterate through all its neighbouring nodes # of dequeued node u and decrease their in-degree # by 1 for node in self.adj[u]: # If in-degree becomes zero, add it to queue in_degree[node] -= 1 if in_degree[node] == 0: q.append(node) count += 1 # Check if there was a cycle if count != self.V: print('Graph contains cycle') return # Print topological order print('Topological Sort:', top_order) # Driver code if __name__ == '__main__': # Create a graph given in the above diagram g = Graph(6) g.addEdge(5, 2) g.addEdge(5, 0) g.addEdge(4, 0) g.addEdge(4, 1) g.addEdge(2, 3) g.addEdge(3, 1) print('Following is a Topological Sort of the given graph') g.topologicalSort() JavaScript // Class to represent a graph class Graph { constructor(V) { this.V = V; // No. of vertices this.adj = new Array(V); // Array containing adjacency lists for (let i = 0; i < V; i++) { this.adj[i] = []; } } // Function to add an edge to the graph addEdge(v, w) { this.adj[v].push(w); // Add w to v’s list. } // Function to perform Topological Sort topologicalSort() { // Create a array to store in-degree of all vertices let inDegree = new Array(this.V).fill(0); // Traverse adjacency lists to fill inDegree of vertices for (let v = 0; v < this.V; v++) { for (let w of this.adj[v]) { inDegree[w]++; } } // Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 let queue = []; for (let i = 0; i < this.V; i++) { if (inDegree[i] === 0) { queue.push(i); } } // Initialize count of visited vertices let count = 0; // Create an array to store topological order let topOrder = []; // One by one dequeue vertices from queue and enqueue // adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while (queue.length !== 0) { // Extract front of queue and add it to topological order let u = queue.shift(); topOrder.push(u); // Iterate through all its neighboring nodes // of dequeued node u and decrease their in-degree by 1 for (let w of this.adj[u]) { // If in-degree becomes zero, add it to queue if (--inDegree[w] === 0) { queue.push(w); } } count++; } // Check if there was a cycle if (count !== this.V) { console.log('Graph contains cycle'); return; } // Print topological order console.log('Topological Sort of the given graph:'); console.log(topOrder.join(' ')); } } // Driver code // Create a graph given in the above diagram let g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); console.log('Following is a Topological Sort of the given graph:'); g.topologicalSort(); //This code is contributed by Utkarsh Izhod
Following is a Topological Sort of the given graph 4 5 2 0 3 1
Časovna zapletenost:
Časovna zahtevnost izdelave grafa je O(V + E), kjer je V število oglišč in E število robov.
Časovna zahtevnost za izvedbo topološkega razvrščanja z uporabo BFS je tudi O(V + E), kjer je V število vozlišč in E število robov. To je zato, ker se vsako vozlišče in vsak rob obišče enkrat med prehodom BFS.
Kompleksnost prostora:
Prostorska kompleksnost za shranjevanje grafa z uporabo seznama sosednosti je O(V + E), kjer je V število vozlišč in E število robov.
Dodaten prostor se uporablja za shranjevanje in-stopenj oglišč, kar zahteva O(V) prostora.
Za prehod BFS se uporablja čakalna vrsta, ki lahko vsebuje največ V vozlišč. Tako je kompleksnost prostora za čakalno vrsto O(V).
Na splošno je prostorska kompleksnost algoritma O(V + E) zaradi shranjevanja grafa, matrike v stopinjah in čakalne vrste.
Če povzamemo, je časovna zahtevnost podane izvedbe O(V + E), prostorska pa prav tako O(V + E).
Opomba: Tukaj lahko namesto sklada uporabimo tudi polje. Če je uporabljena matrika, natisnite elemente v obratnem vrstnem redu, da dobite topološko razvrščanje.
Prednosti topološkega razvrščanja:
- Pomaga pri načrtovanju nalog ali dogodkov na podlagi odvisnosti.
- Zazna cikle v usmerjenem grafu.
- Učinkovito za reševanje problemov z omejitvami prednosti.
Slabosti topološkega razvrščanja:
- Uporabno samo za usmerjene aciklične grafe (DAG), ni primerno za ciklične grafe.
- Morda ni edinstven, obstaja lahko več veljavnih topoloških vrstnih redov.
- Neučinkovito za velike grafe s številnimi vozlišči in robovi.
Aplikacije topološkega razvrščanja:
- Načrtovanje nalog in vodenje projektov.
- Reševanje odvisnosti v sistemih za upravljanje paketov.
- Določanje vrstnega reda prevajanja v sistemih za gradnjo programske opreme.
- Zaznavanje zastoja v operacijskih sistemih.
- Razpored tečajev na univerzah.
Povezani članki:
- Kahnov algoritem za topološko razvrščanje
- Vse topološke vrste usmerjenega acikličnega grafa