Rang matrice je definiran kot dimenzija vektorskega prostora, ki ga tvorijo njegovi stolpci. Rang matrice je zelo pomemben koncept na področju linearne algebre, saj nam pomaga vedeti, ali lahko najdemo rešitev sistema enačb ali ne. Rang matrike nam tudi pomaga spoznati dimenzionalnost njenega vektorskega prostora.

Ta članek podrobno raziskuje koncept ranga matrike, vključno z njegovo definicijo, kako izračunati rang matrike, pa tudi ničnost in njeno razmerje z rangom. Naučili se bomo tudi reševanja nekaterih problemov na podlagi ranga matrike. Torej, začnimo najprej z definicijo ranga matrike.

Kazalo

• Kaj je Rank of Matrix?
• Kako izračunati rang matrike?
• Lastnosti ranga matrike
• Primeri ranga matrike
• pogosta vprašanja

Kaj je Rank of Matrix?

Rang matrike je temeljni koncept v linearni algebri, ki meri največje število linearno neodvisnih vrstic ali stolpcev v kateri koli matriki. Z drugimi besedami, pove vam, koliko vrstic ali stolpcev matrike ni uporabnih in prispeva k splošnim informacijam ali dimenzionalnosti matrike. Določimo rang matrike.

Rang definicije matrike

Rang matrike je definiran kot število linearno neodvisnih vrstic v a matrica .

Označujemo ga z ρ(A), kjer je A poljubna matrika. Tako je število vrstic matrike omejitev ranga matrike, kar pomeni, da rang matrike ne more preseči skupnega števila vrstic v matriki.

Na primer, če je matrika velikosti 3×3, je lahko največji rang matrike 3.

Opomba: Če ima matrika vse vrstice z ničelnimi elementi, potem velja, da je rang matrike enak nič.

Ničnost Matrixa

V dani matriki se število vektorjev v ničelnem prostoru imenuje ničelnost matrike ali pa ga lahko definiramo tudi kot dimenzija ničelnega prostora dane matrike.

Skupno število stolpcev v matriki = rang + ničnost

Preberite več o Izrek o ničnosti ranga .

Kako izračunati rang matrike?

Obstajajo 3 metode, ki jih je mogoče uporabiti za pridobitev ranga katere koli dane matrike. Te metode so naslednje:

• Manjša metoda
• Uporaba obrazca Echelon
• Uporaba običajne oblike

O teh metodah se podrobneje pogovorimo.

Manjša metoda

Predpogoj: Minori Matrixa

Če želite poiskati rang matrike z uporabo pomožne metode, sledite naslednjim korakom:

• Izračunajte determinanto matrike (recimo A). Če je det(A) ≠ 0, potem je rang matrike A = vrstni red matrike A.
• Če je det(A) = 0, potem je rang matrike enak redu največjega možnega neničelnega minora matrike.

Razumejmo, kako najti rang matrike z uporabo metode minorja.

Primer: Poiščite rang matrike egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} uporabo manjše metode.

dano A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• 1. korak: Izračunajte determinanto A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Ker je det(A) ≠ 0, je ρ(A) = vrstni red A = 3

Uporaba obrazca Echelon

Manjša metoda postane zelo dolgočasna, če je vrstni red matrike zelo velik. Torej v tem primeru matriko pretvorimo v obliko Echelon. Matrica, ki je v zgornja trikotna oblika ali spodnja trikotna oblika se šteje, da je v obliki Echelon. Matriko je mogoče pretvoriti v obliko Echelon z uporabo osnovne operacije vrstic . Za izračun ranga matrike z uporabo obrazca Echelon sledite naslednjim korakom:

• Pretvorite dano matriko v njeno obliko Echelon.
• Število neničelnih vrstic, pridobljenih v obliki Echelon matrike, je rang matrike.

Razumejmo, kako najti rang matrike z uporabo metode minorja.

Primer: Poiščite rang matrike egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} z uporabo metode obrazca Echelon.

dano A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• 1. korak: Pretvorite A v obrazec Echelon

Uporabi R ₂ = R ₂ – 4R ₁

Uporabi R ₃ = R ₃ – 7R ₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Uporabi R ₃ = R ₃ – 2R ₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Ker je matrika A zdaj v nižji trikotni obliki, je v obliki Echelon.

• 2. korak: Število neničelnih vrstic v A = 2. Tako je ρ(A) = 2

Uporaba običajne oblike

Za matriko pravimo, da je v normalni obliki, če jo je mogoče reducirati na obliko egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Tukaj jaz _r predstavlja identitetno matriko reda r. Če je matriko mogoče pretvoriti v normalno obliko, potem je rang matrike r.

Razumejmo, kako najti rang matrike z uporabo metode minorja.

Primer: Poiščite rang matrike old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} z uporabo metode normalne oblike.

dano A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Uporabi R ₂ = R ₂ – R ₁ , R ₃ = R ₃ – 2R ₁ in R ₄ = R ₄ – 3R ₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Uporabi R ₁ = R ₁ – 2R ₂ in R ₄ = R ₄ – R ₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Uporabi R ₁ = R ₁ + R ₃ in R ₂ = R ₂ – R ₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Nanesite C ₄ → C ₄ -2C ₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Tako lahko A zapišemo kot egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Tako je ρ(A) = 3

Lastnosti ranga matrike

Lastnosti ranga matrike so naslednje:

• Rang matrike je enak vrstnemu redu matrike, če gre za nesingularno matriko.
• Rang matrike je enak številu neničelnih vrstic, če je v obliki Echelon.
• Rang matrike je enak vrstnemu redu identitetne matrike v njej, če je v normalni obliki.
• Rang matrike
• Rang matrike
• Rang identitetne matrike je enak vrstnemu redu identitetne matrike.
• Rang ničelne matrike ali ničelne matrike je nič.

Preberi več,

• Vrste matrik
• Transponiranje matrice
• Inverzna matrika

Primeri ranga matrike

IN Primer 1: Poiščite rang matrike old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} uporabo manjše metode.

rešitev:

dano A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

1. korak: Izračunajte determinanto A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Ker je det(A) ≠ 0, je ρ(A) = vrstni red A = 3

Primer 2. Poiščite rang matrike old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} uporabo manjše metode.

rešitev:

dano A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

1. korak: Izračunajte determinanto A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Ker je det(A) ≠ 0, je ρ(A) = vrstni red A = 3

Primer 3. Poiščite rang matrike old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} z uporabo metode obrazca Echelon.

rešitev:

dano A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

1. korak: Pretvorite A v obrazec Echelon

Uporabi R ₂ = R ₂ – 4R ₁

Uporabi R ₃ = R ₃ – 7R ₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Uporabi R ₃ = R ₃ – 2R ₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Ker je matrika A zdaj v nižji trikotni obliki, je v obliki Echelon.

2. korak: Število neničelnih vrstic v A = 2. Tako je ρ(A) = 2

Primer 4. Poiščite rang matrike old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} z uporabo metode obrazca Echelon.

rešitev:

dano A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

1. korak: Pretvorite A v obrazec Echelon

Uporabi R ₂ = R ₂ – 4R ₁

Uporabi R ₃ = R ₃ – 7R ₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Uporabi R ₃ = R ₃ – 2R ₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Ker je matrika A zdaj v nižji trikotni obliki, je v obliki Echelon.

2. korak: Število neničelnih vrstic v A = 2. Tako je ρ(A) = 2

Primer 5. Poiščite rang matrike old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} z uporabo metode normalne oblike.

rešitev:

dano A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Uporabi R ₂ = R ₂ – R ₁ , R ₃ = R ₃ – 2R ₁ in R ₄ = R ₄ – 3R ₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Uporabi R ₁ = R ₁ – 2R ₂ in R4 = R ₄ – R ₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Uporabi R ₁ = R ₁ + R ₃ in R ₂ = R ₂ – R ₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Nanesite C ₄ → C ₄ -2C ₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Uporabi R ₁ = R ₁ /2, R ₂ = R ₂ /2, R ₃ = R ₃ /2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Tako lahko A zapišemo kot egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Tako je ρ(A) = 3

Uvrstitev matrice – pogosta vprašanja

Določite rang matrike.

Rang matrike je definiran kot število linearno neodvisnih vrstic v matriki. Označujemo ga z ρ(A), kjer je A poljubna matrika.

Kako najti rang matrike?

Rang matrike je mogoče izračunati z različnimi metodami, kot so:

• Manjša metoda
• Uporaba obrazca Echelon
• Uporaba običajne oblike

Kakšen je rang matrike, če determinanta matrike ni enaka nič?

Če je determinanta matrike enaka nič, potem je rang matrike enak vrstnemu redu matrike.

Kdaj naj bi bila Matrix v obliki Echelon?

Matrika, ki je v zgornji trikotni obliki ali v spodnji trikotni obliki, se imenuje v obliki ešalona.

Kaj je normalna oblika matrike?

Za matriko pravimo, da je v normalni obliki, če jo lahko zapišemo kot egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} kjer jaz _r je identitetna matrika reda 'r'.

Kaj je rang ničelne matrike?

Rang ničelne matrike je nič.

Kakšen je rang identitetne matrike?

Rang identitetne matrike je enak vrstnemu redu matrike.

Kakšno je razmerje med ničnostjo in rangom matrike?

Razmerje med ničnostjo in rangom matrike je:

Skupno število stolpcev v matriki = rang + ničnost