ZAKONI LOGARITMOV

Logaritem je eksponent ali potenca, na katero dvignemo osnovo, da dobimo določeno število. Na primer, 'a' je logaritem 'm' na osnovo 'x', če je x ^m = a, potem ga lahko zapišemo kot m = log _x a. Logaritmi so izumljeni, da bi pospešili izračune, čas pa se bo zmanjšal, ko bomo množili veliko števk z logaritmi. Zdaj pa se pogovorimo o zakonih logaritmov spodaj.

Obstajajo trije zakoni logaritmov, ki so izpeljani z uporabo osnovnih pravil eksponentov. Zakoni so zakon pravila produkta, zakon pravila količnika, zakon pravila moči. Oglejmo si zakone podrobneje.

Prvi zakon logaritma ali zakon pravila produkta

Naj bo a = x ⁿ in b = x ^m kjer mora biti osnova x večja od nič in x ni enak nič. tj. x> 0 in x ≠ 0. iz tega jih lahko zapišemo kot

n = dnevnik _x a in m = log _x b ⇢ (1)

Z uporabo prvega zakona eksponentov vemo, da je x ⁿ × x ^m = x ^{n + m} ⇢ (2)

Zdaj pomnožimo a in b in dobimo kot,

ab = x ⁿ × x ^m

ab = x ^{n + m} (Iz enačbe 2)

Zdaj uporabimo logaritem za zgornjo enačbo, ki jo dobimo kot spodaj,

dnevnik _x ab = n + m

Iz enačbe 1 lahko zapišemo kot log _x ab = log _x a + dnevnik _x b

Torej, če želimo pomnožiti dve števili in najti logaritem zmnožka, potem seštejte posamezna logaritma obeh števil. To je prvi zakon logaritmov/produktnega pravila.

dnevnik _x ab = log _x a + dnevnik _x b

Ta zakon lahko uporabimo za več kot dve številki, tj.

dnevnik _x abc = log _x a + dnevnik _x b + log _x c.

Drugi zakon logaritma ali zakon pravila kvocienta

Naj bo a = x ⁿ in b = x ^m kjer mora biti osnova x večja od nič in x ni enak nič. tj. x> 0 in x ≠ 0. iz tega jih lahko zapišemo kot,

n = dnevnik _x a in m = log _x b ⇢ (1)

Z uporabo prvega zakona eksponentov vemo, da je x ⁿ / x ^m = x ^{n – m} ⇢ (2)

Zdaj pomnožimo a in b in dobimo kot,

a/b = x ⁿ / x ^m

a/b = x ^{n – m} ⇢ (Iz enačbe 2)

Zdaj uporabimo logaritem za zgornjo enačbo, ki jo dobimo kot spodaj,

dnevnik _x (a/b) = n – m

Iz enačbe 1 lahko zapišemo kot log _x (a/b) = log _x a – dnevnik _x b

Torej, če želimo razdeliti dve števili in najti logaritem deljenja, potem lahko odštejemo posamezna logaritma obeh števil. To je drugi zakon zakona o pravilu logaritmov/kvocientov.

dnevnik _x (a/b) = log _x a – dnevnik _x b

Tretji zakon logaritma ali zakon moči

Naj bo a = x ⁿ ⇢ (i),

Kjer mora biti osnova x večja od nič in x ni enak nič. tj. x> 0 in x ≠ 0. iz tega jih lahko zapišemo kot,

n = dnevnik _x a ⇢ (1)

Če dvignemo obe strani enačbe (i) s potenco 'm', potem dobimo, kot sledi,

a ^m = (x ⁿ ) ^m = x ^nm

Naj a ^m biti ena sama količina in nato uporabiti logaritem za zgornjo enačbo,

dnevnik _x a ^m = nm

dnevnik _x a ^m = m.log _x a

To je tretji zakon logaritmov. Navaja, da se logaritem potenčnega števila lahko dobi tako, da se logaritem števila pomnoži s tem številom.

Vzorčne težave

1. težava: Razširite dnevnik 21.

rešitev:

Kot vemo, da log _x ab = log _x a + dnevnik _x b (Iz prvega zakona logaritma)

Torej, dnevnik 21 = dnevnik (3 × 7)

= dnevnik 3 + dnevnik 7

Problem 2: Razširite dnevnik (125/64).

rešitev:

Kot vemo, da log _x( a/b) = log _x a – dnevnik _x b (Iz drugega zakona logaritma)

Torej, dnevnik (125/64) = dnevnik 125 – dnevnik 64

= dnevnik 5 ³ – dnevnik 4 ³

dnevnik _x a ^m = m.log _x a (iz tretjega zakona logaritma), lahko zapišemo kot,

= 3 log 5 – 3 log 4

= 3 (log 5 – dnevnik 4)

3. naloga: Zapišite 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 kot en sam logaritem.

rešitev:

3 log 2 + 5 log 3 – 5 log 2

= dnevnik 2 ³ + dnevnik 3 ⁵ – dnevnik 2 ⁵

= dnevnik 8 + dnevnik 243 – dnevnik 32

= log(8 × 243) – log 32

= dnevnik 1944 – dnevnik 32

= log (1944/32)