MREŽE DISKRETNE MATEMATIKE - DISKRETNA MATEMATIKA

Naj bo L neprazna množica, zaprta z dvema binarnima operacijama, imenovanima srečaj in združi, označeni z ∧ in ∨. Potem se L imenuje mreža, če veljajo naslednji aksiomi, kjer so a, b, c elementi v L:

1) Komutativno pravo: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Asociativno pravo: -
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Absorpcijski zakon: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Dvojnost:

Dual katerega koli stavka v mreži (L,∧ ,∨) je definiran kot stavek, ki ga dobimo z zamenjavo ∧ in ∨.

Na primer , dual a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a je a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Omejene rešetke:

Mrežo L imenujemo omejena mreža, če ima največji element 1 in najmanjši element 0.

primer:

Potenčna množica P(S) množice S pod operacijama presečišča in unije je omejena mreža, saj je ∅ najmanjši element P(S) in množica S največji element P(S).
Množica +ve celega števila I ₊pod običajnim vrstnim redom ≦ ni omejena mreža, ker ima najmanjši element 1, vendar največji element ne obstaja.

Lastnosti omejenih mrež:

Če je L omejena mreža, potem imamo za vsak element a ∈ L naslednje identitete:

a ∨ 1 = 1
a ∧1= a
a ∨0=a
a ∧0=0

Izrek: Dokaži, da je vsaka končna mreža L = {a ₁,a ₂,a ₃....a _n} je omejen.

Dokaz: Podali smo končno mrežo:

L = {a ₁,a ₂,a ₃....a _n}

Tako je največji element Lattices L a ₁∨ a ₂∨ a _{3∨....∨a _n.}

Poleg tega je najmanjši element mreže L a ₁∧ a ₂∧a ₃∧....∧a _n.

Ker za vsako končno mrežo obstajata največji in najmanjši element. Zato je L omejen.

Podmreže:

Razmislite o neprazni podmnožici L ₁mreže L. Potem je L ₁se imenuje podmreža L, če je L ₁sama je mreža, tj. operacija L, tj. a ∨ b ∈ L ₁in a ∧ b ∈ L ₁kadar koli a ∈ L ₁in b ∈ L ₁.

primer: Razmislite o mreži vseh +ve celih števil I ₊pod operacijo deljivosti. Rešetka D _nvseh deliteljev n > 1 je podmreža I ₊.

Določite vse podmreže D ₃₀ki vsebuje vsaj štiri elemente, D ₃₀={1,2,3,5,6,10,15,30}.

rešitev: Podmreže D ₃₀ki vsebujejo vsaj štiri elemente, so naslednji:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Izomorfne mreže:

Dve rešetki L ₁in L ₂imenujemo izomorfne mreže, če obstaja bijekcija iz L ₁do L ₂tj. f: L ₁⟶ L ₂, tako da je f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) in f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

primer: Ugotovite, ali so mreže, prikazane na sl., izomorfne.

rešitev: Rešetke, prikazane na sl., so izomorfne. Razmislite o preslikavi f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Na primer f (b ∧ c) = f (a) = 1. Prav tako imamo imajo f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Distribucijska mreža:

Mreža L se imenuje distribucijska mreža, če za katere koli elemente a, b in c iz L izpolnjuje naslednje distribucijske lastnosti:

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Če mreža L ne izpolnjuje zgornjih lastnosti, jo imenujemo nedistributivna mreža.

primer:

Potenčna množica P (S) množice S pod operacijo presečišča in unije je distribucijska funkcija. Od,
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
in tudi a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) za vse množice a, b in c iz P(S).
Mreža, prikazana na sliki II, je razdelilna. Ker izpolnjuje distribucijske lastnosti za vse urejene trojke, ki so vzete iz 1, 2, 3 in 4.

Komplementi in komplementirane rešetke:

Naj bo L omejena mreža s spodnjo mejo o in zgornjo mejo I. Naj bo a element, če je L. Element x v L se imenuje komplement a, če je a ∨ x = I in a ∧ x = 0.

Rešemo, da je mreža L komplementirana, če je L omejena in ima vsak element v L komplement.

primer: Določite komplement a in c na sliki:

rešitev: Komplement a je d. Ker je a ∨ d = 1 in a ∧ d = 0

Komplement c ne obstaja. Ker ne obstaja tak element c, da je c ∨ c'=1 in c ∧ c'= 0.

Modularna rešetka:

Mreža (L, ∧,∨) se imenuje modularna mreža, če je a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c kadarkoli a ≦ c.

Neposredni produkt rešetk:

Naj (L ₁∨ ₁∧ ₁) in (L ₂∨ ₂∧ ₂) sta dve rešetki. Potem je (L, ∧,∨) neposredni produkt mrež, kjer je L = L ₁x L ₂v kateri sta binarni operaciji ∨(join) in ∧(meet) na L takšni, da za katero koli (a ₁,b ₁) in (a ₂,b ₂) v L.