Objem kužeľa možno definovať ako priestor, ktorý zaberá kužeľ. Ako vieme, kužeľ je trojrozmerný geometrický tvar, ktorý má kruhovú základňu a jeden vrchol (vrchol).

Dozvieme sa podrobnejšie o Volume of Cone, vrátane jeho vzorca, príkladov a Frustum of Cone.

Čo je to Volume of Cone?

Objem kužeľa je definovaný ako množstvo priestoru alebo kapacity, ktorú vypĺňa. Objem kužeľa sa meria v kubických jednotkách, napríklad cm ³ , m ³ , v ³ , a tak ďalej. Otáčaním trojuholníka okolo ktoréhokoľvek z jeho vrcholov možno vytvoriť kužeľ. Objem kužeľa možno merať aj v litroch.

• Kužeľ možno rozdeliť na dva typy: pravé kruhové kužele a šikmé kužele.
• Vrchol pravý kruhový kužeľ je vertikálne nad stredom základne, ale vrchol šikmého kužeľa nie je vertikálne nad stredom základne.

Vzorce súvisiace s objemom kužeľa
Objem kužeľa	V = 1/3 πr 2 h = = (1/12)πd 2 h
Objem kužeľa (výška sklonu)	V = 1/3 πr 2 (√{L 2 – r 2 })
Objem kusu kužeľa	1/3 hodiny [{r 3 – (r’) 3 } / r]
Objem kužeľa (dvojnásobný polomer a výška)	V = (8/3)πr 2 h
Objem kužeľa (polovičný polomer a výška)	V = (1/24)πr 2 h

Objem kužeľového vzorca

Kužeľ je pevná trojrozmerná forma s kruhovou základňou. Má zakrivený povrch. Kolmá výška je vzdialenosť od základne k vrcholu.

Vzorec objemu kužeľa:

V = 1/3 πr ² h

Kde,

• r je polomer kužeľa
• h je polomer kužeľa
• Pi je konštantná s hodnotou 22/7 alebo 3,14

Šikmá výška kužeľa

Výška sklonu kužeľa je vzdialenosť od jeho vrcholu (horného bodu) k akémukoľvek bodu na obvode jeho kruhovej základne. Je to priama vzdialenosť pozdĺž bočného povrchu, nie cez vnútro kužeľa.

Výška sklonu kužeľa možno odvodiť pomocou Pythagorova veta ,

h ² + r ² = L ²

h = √(L ² – r ² )

Objem kužeľa z hľadiska výšky sklonu

Pre kužeľ s výškou „h“ a polomerom „r“ je výška sklonu „L“ kužeľa daná vzorcom,

h ² + r ² = L ²

h = √(L ² – r ² )…(i)

Potom objem kužeľa z hľadiska výšky sklonu je,

V = (1/3)πr ² Ahoj ja)

Pomocou hodnoty h v rovnici (ii) dostaneme vzorec pre objem kužeľa ako,

V = (1/3)πr ² √ (L ² – r ² )

Objem odvodenia kužeľa

Predpokladajme, že máme kužeľ s kruhovou základňou, ktorého polomer je r a výška je h.

Vieme, že objem kužeľa sa rovná jednej tretine objemu valca s rovnakým polomerom a výškou základne.

Takže objem sa stáva,

V = 1/3 × plocha kruhovej základne × výška

V = 1/3 × πr ² × h

V = πr ² h/3

Toto odvodí vzorec pre objem kužeľa.

Ako zistiť objem kužeľa?

Zoberme si príklad na určenie objemu kužeľa.

Príklad: Určte objem kužeľa, ak polomer jeho kruhovej základne je 3 cm a výška je 5 cm.

Krok 1: Všimnite si polomer kruhovej základne (r) a výšku kužeľa (h).

Tu je polomer 3 cm a výška 5 cm.

Krok 2: Vypočítajte obsah kruhovej základne = πr ² . Dosaďte hodnotu r a π v danej rovnici,

t.j. 3,14 × (3) ² = 28,26 cm ² .

Krok 3: Vieme, že objem kužeľa je (1/3) × (plocha kruhovej základne) × výška kužeľa.

Potom dosaďte hodnoty do rovnice = (1/3) × 28,26 × 5 = 47,1 cm ³ .

Krok 4: Objem daného kužeľa je teda 47,1 cm ³ .

Pomocou vyššie uvedených krokov je možné vypočítať objem kužeľa.

Objem kužeľa s výškou a polomerom

Objem kužeľa, ak je uvedená jeho výška (h) a polomer (r), sa vypočíta pomocou vzorca,

V = (1/3)πr ² h kubických jednotiek

Objem kužeľa s výškou a priemerom

Objem kužeľa, keď je uvedený priemer a výška kužeľa, je vypočítaný nižšie. Predpokladajme, že máme kužeľ s polomerom r a priemerom d.

Potom je polomer základne polovica priemeru základne, t.j. r = d/2

Objem kužeľa, ak je uvedená jeho výška (h) a priemer (d), sa vypočíta pomocou vzorca,

V = (1/12)πd ² h kubických jednotiek

Objem kužeľa (ak sú polomer a výška zdvojnásobené)

Predpokladajme,

• Polomer kužeľa (r) = 2r
• Výška kužeľa (h) = 2h

Potom je objem kužeľa daný ako,

Objem kužeľa = (1/3)π(2r) ² (2h) kubické jednotky

V = (⅓)π(4r ² ) (2 h)

V = (8/3)πr ² h

teda objem kužeľa sa stane 8-násobkom pôvodného objemu t.j. V = (8/3)πr ² h, keď sa jeho polomer a výška zdvojnásobia.

Objem kužeľa (ak sú polomer a výška polovičné)

Predpokladajme,

• Polomer kužeľa (r) = r/2
• Výška kužeľa (h) = h/2

Potom je objem kužeľa daný ako,

Objem kužeľa = (1/3)π(r/2) ² (h/2) kubických jednotiek

V = (1/3)π(r ² /4) (h/2)

V = (1/24)πr ² h

Objem kužeľa sa tak stane 1/8-násobkom pôvodného objemu, t.j. V = (1/24)πr ² h, keď sa jeho polomer a výška zmenší na polovicu.

Kus kužeľa

Zrezaný kužeľ je narezaná časť kužeľa a objem zrezaného kužeľa je množstvo tekutiny, ktoré môže zrezaný kužeľ pojať.

Takže na výpočet objemu musíme nájsť rozdiel v objemoch dvoch kužeľov.

Objem kusu kužeľa

Vzorec objemu zrezaného kužeľa je daný odčítaním objemu menšieho kužeľa od väčšieho.

Z vyššie uvedeného obrázku máme,

• Celková výška H‘ = H + h
• Výška sklonu L = l ₁ + l ₂
• Polomer kužeľa = r
• Polomer krájaného kužeľa = r'

Teraz je objem väčšieho kužeľa = 1/3 π r ² H' = 1/3 πr ² (H+h)

Objem menšieho kužeľa = 1/3 π(r’) ² h. Objem zrezaného okraja sa dá vypočítať rozdielom medzi dvoma kužeľmi, t.j.

Objem kusu = 1/3 π r ² H' -1/3 π(r') ² h

V = 1/3π r ² (H+h) – 1/3 π(r’) ² h

v = 1/3 π [ r ² (H+h) – (r’) ² h ] ………(1)

Použitie vlastností podobných trojuholníkov v Δ QPS a Δ QAB. máme,

r/r' = H+h/h

H+h = (rv)/r'

Dosadením hodnoty H+h do vzorca pre objem zrezaného okraja dostaneme,

Objem kusu = 1/3 π [r ² (rh/r’) – (r’) ² h]

V = 1/3 π [r ³ h/r’ – (r’) ² h]

V = 1/3 π h (r ³ /r – (r’) ² )

V = 1/3 π h [{r ³ – (r’) ³ } / r]

Objem kusu kužeľa = 1/3 π h [{r ³ – (r’) ³ } / r]

Kde,

• r je polomer spodnej základne Frustum of Cone
• r' je polomer hornej základne zrezaného kužeľa
• h je výška menšieho kužeľa
• Pi je konštantná s hodnotou 22/7 alebo 3,14

Čítaj viac

• Kus kužeľa
• Kužeľ: Vzorec, typy a vlastnosti
• Plocha povrchu kužeľa
• Plochy povrchu a objemy
• Objem kocky
• Objem kvádra
• Objem gule
• Objem valca

Vyriešené príklady objemu kužeľa

Vyriešte niekoľko otázok o vzorcoch Objem kužeľa.

Príklad 1. Nájdite objem kužeľa pre polomer 7 cm a výšku 14 cm.

Riešenie:

Máme,

• r = 7
• h = 14

Objem kužeľa = 1/3 πr ² h

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (14)

V = (1/3) (7) (7) (2)

V = 32.66 cm ³

Príklad 2. Nájdite objem kužeľa pre a polomer 5 cm a výška 9 cm.

Riešenie:

Máme,

• r = 5
• h = 9

Objem kužeľa = 1/3 πr ² h

V = (1/3) (3.14) (5) (5) (9)

V = (3.14) (5) (5) (3)

V = 235.49 cm ³

Príklad 3. Nájdite objem a kužeľ pre a polomer 7 cm a výška 12 cm.

Riešenie:

Máme,

• r = 7
• h = 12

Objem kužeľa = 1/3 πr ² h

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (12)

V = (22) (7) (4)

V = 616 cm ³

Príklad 4. Nájdite objem kužeľa pre a polomer 8 cm a výška 15 cm.

Riešenie:

Máme,

• r = 8
• h = 15

Objem kužeľa = 1/3 πr ² h

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (15)

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (5)

V = 335.02 cm ³

Cvičné otázky o objeme kužeľa

Q1. Nájdite polomer kužeľa, ak je jeho objem 121 cm ² a jeho výška je 2 cm.

Q2. Nájdite objem kužeľa pre výšku 12 cm a výšku sklonu 7 cm.

Q3. Nájdite objem kužeľa pre výšku 21 cm a priemer základne je 12 cm.

Q4. Nájdite objem kužeľa pre polomer 12 cm a výšku 5 cm.

Objem kužeľa – často kladené otázky

Definujte objem kužeľa.

Objem kužeľa je definovaný ako celková kapacita kvapaliny, ktorú môže kužeľ zadržať v 3 rozmeroch. Je to celkový priestor, ktorý zaberá kužeľ.

Čo je vzorec objemu kužeľa?

Objem kužeľa je daný nasledujúcim vzorcom:

Objem kužeľa = ⅓ πr ² h kubických jednotiek.

Ako nájsť objem kužeľa so šikmou výškou?

Objem kužeľa, ak je daná jeho výška (L) a jeho polomer (r), sa vypočíta pomocou vzorca, V = (1/3)πr ² √ (L ² – r ² )

Aká je celková plocha povrchu (TSA) kužeľového vzorca?

Celková plocha kužeľa je daná vzorcom, TSA kužeľa = πr(l + r) štvorcových jednotiek .

Aký je vzťah medzi objemom valca a kužeľa?

V objem kužeľa je 1/3 objemu valca.

Čo je vzorec šikmej výšky kužeľa?

Výška sklonu (l) kužeľa sa vypočíta pomocou vzorca, l = √(h ² + r ² ) .

Aký je objem kužeľa, ak je uvedená výška a priemer?

Objem kužeľa, ak je uvedená jeho výška (h) a priemer základne (d), je, V = (1/12)πd ² h kubických jednotiek .

Ako zistiť objem tekutiny v kuželi?

Objem kvapaliny vo vnútri kužeľa sa vypočíta pomocou objemu kužeľového vzorca pridaného vyššie.