V matematike je sčítanie základným sčítaním postupnosti ľubovoľných čísel, nazývaných sčítance alebo sčítance; výsledkom je ich súčet alebo súčet. V matematike môžu byť čísla, funkcie, vektory, matice, polynómy a vo všeobecnosti prvky akéhokoľvek matematického objektu spojené s operáciou nazývanou sčítanie/sčítanie, označované ako +.

Sumácia explicitnej postupnosti sa označuje ako postupnosť pridávaní. Napríklad súčet (1, 3, 4, 7) môže byť základom označený ako 1 + 3 + 4 + 7 a výsledok pre vyššie uvedený zápis je 15, teda 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Pretože operácia sčítania je asociatívna aj komutatívna, pri vypisovaní série/sekvencie nie sú potrebné zátvorky a výsledok bude rovnaký bez ohľadu na poradie sčítancov.

Obsah

• Čo je sumačný vzorec?
• Kde použiť sumačný vzorec?
• Vlastnosti súčtu
• Štandardné súčtové vzorce
• Príklad na sumačný vzorec
• Časté otázky o súhrnnom vzorci

Čo je sumačný vzorec?

Sumačný alebo sigma (∑) zápis je metóda používaná na výstižný zápis dlhého súčtu. Tento zápis možno pripojiť k akémukoľvek vzorcu alebo funkcii.

Napríklad, _i=1 ∑ ¹⁰ (i) je sigma zápis sčítania konečnej postupnosti 1 + 2 + 3 + 4…… + 10, kde prvý prvok je 1 a posledný prvok je 10.

Sumačné vzorce

Kde použiť sumačný vzorec?

Sumačný zápis možno použiť v rôznych oblastiach matematiky:

• Postupnosť v sérii
• integrácia
• Pravdepodobnosť
• Permutácia a kombinácia
• Štatistiky

Poznámka: Suma je krátka forma opakovaného sčítania. Sčítanie môžeme nahradiť aj slučkou sčítania.

Vlastnosti súčtu

Nehnuteľnosť 1

_i=1 ∑ ⁿ c = c + c + c + …. + c (n) krát = nc

Napríklad: Nájdite hodnotu _i=1 ∑ ⁴ c.

Pomocou vlastnosti 1 môžeme priamo vypočítať hodnotu _i=1 ∑ ⁴ c ako 4×c = 4c.

Nehnuteľnosť 2

_c=1 ∑ ⁿ kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) krát = k × (1 + … + n) = k _{c = 1} ∑ ⁿ c

Napríklad: Nájdite hodnotu _i=1 ∑ ⁴ 5i.

Pomocou vlastnosti 2 a 1 môžeme priamo vypočítať hodnotu _{i= 1} ∑ ⁴ 5i ako 5 × _i=1 ∑ ⁴ i = 5 x (1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Nehnuteľnosť 3

_{c = 1} ∑ ⁿ (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) krát = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _{c = 1} ∑ ⁿ c

Napríklad: Nájdite hodnotu _i=1 ∑ ⁴ (5+i).

Pomocou vlastnosti 2 a 3 môžeme priamo vypočítať hodnotu _i=1 ∑ ⁴ (5+i) ako 5x4+ _i=1 ∑ ⁴ i = 20 + (1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Nehnuteľnosť 4

_k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

Napríklad: Nájdite hodnotu _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ).

Pomocou vlastnosti 4 môžeme priamo vypočítať hodnotu _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ) ako _i=1 ∑ ⁴ ja + _i=1 ∑ ⁴ i ² = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Štandardné súčtové vzorce

Rôzne sumačné vzorce sú,

Súčet prvých n prirodzených čísel: (1+2+3+…+n) = _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n x (n +1)]/2

Súčet štvorcov prvých n prirodzených čísel: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (i ² ) = [n x (n + 1) x (2n + 1)]/6

Súčet kocky prvých n prirodzených čísel: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (i ³ ) = [n ² ×(n +1) ² )]/4

Súčet prvých n párnych prirodzených čísel : (2+4+…+2n) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) = [n × (n +1)]

Súčet prvých n nepárnych prirodzených čísel : (1+3+…+2n-1) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) = n ²

Súčet štvorcov prvých n párnych prirodzených čísel: (2 ² +4 ² +…+ (2n) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ² = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Súčet štvorcov prvých n nepárnych prirodzených čísel: (1 ² +3 ² +…+ (2n-1) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Súčet kocky prvých n párnych prirodzených čísel: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ³ = 2[n(n+1)] ²

Súčet kocky prvých n nepárnych prirodzených čísel: (1 ³ +3 ³ +…+ (2n-1) ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ³ = n ² (2n ² - 1)

Súvisiace články:

• Súčet prirodzených čísel
• Súčet v matematike
• Aritmetické operácie
• Aritmetická progresia a geometrická progresia

Príklad na sumačný vzorec

Príklad 1: Nájdite súčet prvých 10 prirodzených čísel pomocou súčtového vzorca.

Riešenie:

Použitie súčtového vzorca pre súčet n prirodzených čísel _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n x (n +1)]/2

Máme súčet prvých 10 prirodzených čísel = _i=1 ∑ ¹⁰ (i) = [10 x (10 + 1)]/2 = 55

Príklad 2: Nájdite súčet 10 prvých prirodzených čísel väčších ako 5 pomocou súčtového vzorca.

Riešenie:

Podľa otázky:

Súčet 10 prvých prirodzených čísel väčších ako 5 = _i=6 ∑ ^pätnásť (i)

= _i=1 ∑ ^pätnásť (i) – _i=1 ∑ ⁵ (i)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Príklad 3: Nájdite súčet danej konečnej postupnosti 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

Riešenie:

Daná postupnosť je 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² , môže byť napísané ako _i=1 ∑ ⁸ i ² pomocou vlastnosti/vzorca súčtu

_i=1 ∑ ⁸ i ² = [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Príklad 4: Zjednodušte _{c = 1} ∑ ⁿ kc.

Riešenie:

Daný sumačný vzorec = _{c = 1} ∑ ⁿ kc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termínov)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_{c = 1} ∑ ⁿ kc = k _{c = 1} ∑ ⁿ c

Príklad 5: Zjednodušte a vyhodnoťte x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

Riešenie:

Dané zhrnutie je _x=1 ∑ ⁿ (4+x)

Ako to vieme _c=1 ∑ ⁿ (k+c) = nk+ _c=1 ∑ ⁿ c

Daný súčet možno zjednodušiť ako

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (X)

Príklad 6: Zjednodušte _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

Riešenie:

Dané zhrnutie je _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

ako to vieme _k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

daný súčet možno zjednodušiť ako _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (X ² ).

Časté otázky o súhrnnom vzorci

Čo je sumačný vzorec prirodzených čísel?

Súčet prirodzených čísel od 1 do n sa zistí pomocou vzorca n (n + 1) / 2. Napríklad súčet prvých 100 prirodzených čísel je 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Čo je všeobecný sumačný vzorec?

Všeobecný sčítací vzorec používaný na nájdenie súčtu postupnosti {a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…,a _n } je, ∑a _i = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Ako používate ∑?

∑ je symbol súčtu a používa sa na nájdenie súčtu radov.

Aký je vzorec pre n súčet?

Vzorec pre súčet n prirodzených čísel je, Súčet n čísel vzorec je [n(n+1)2]