VÝROKOVÁ LOGIKA

Výroková logika je odvetvie matematiky, ktoré študuje logické vzťahy medzi výrokmi (alebo výrokmi, vetami, tvrdeniami) ako celkom a spojenými logickými spojkami.

V tomto článku sme sa podrobne venovali výrokovej logike a súvisiacim témam.

Obsah

Čo je to logika?
Výroková logika
Tabuľka pravdy

1. Negácia
2. Konjunkcia
3. Disjunkcia
4. Výhradný Or
5. Implikácia
6. Dvojpodmienečná alebo dvojitá implikácia

Čo je to logika?

Logika je základom každého matematického uvažovania a každého automatizovaného uvažovania. Pravidlá logiky špecifikujú význam matematických výrokov. Tieto pravidlá nám pomáhajú pochopiť a zdôvodniť tvrdenia, ako napríklad –

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Čo v jednoduchej angličtine znamená Existuje celé číslo, ktoré nie je súčtom dvoch štvorcov .

Význam matematickej logiky

Pravidlá logiky dávajú presný význam matematickým výrokom. Tieto pravidlá sa používajú na rozlíšenie medzi platnými a neplatnými matematickými argumentmi. Okrem jej dôležitosti pre pochopenie matematického uvažovania má logika množstvo aplikácií v informatike, od návrhu digitálnych obvodov po konštrukciu počítačových programov a overovanie správnosti programov.

Čo je to návrh? Návrh je základným stavebným kameňom logiky. Je definovaná ako oznamovacia veta, ktorá je buď pravdivá alebo nepravdivá, ale nie oboje. The Pravdivá hodnota výroku je pravdivý (označený ako T), ak je pravdivý, a nepravdivý (označený ako F), ak ide o nepravdivý výrok. Napríklad,

Slnko vychádza na východe a zapadá na západe.
1 + 1 = 2
„b“ je samohláska.

Všetky vyššie uvedené vety sú výroky, kde prvé dve sú platné (pravda) a tretia je neplatné (nepravda). Niektoré vety, ktoré nemajú pravdivostnú hodnotu alebo môžu mať viac ako jednu pravdivostnú hodnotu, nie sú výroky. Napríklad,

Koľko je hodín?
Choď von a hraj sa
x + 1 = 2

Vyššie uvedené vety nie sú výroky, pretože prvé dve nemajú pravdivú hodnotu a tretia môže byť pravdivá alebo nepravdivá. Na reprezentáciu návrhov, výrokové premenné sa používajú. Podľa Konvencie sú tieto premenné reprezentované malými abecedami ako napr p,:q,:r,:s . Oblasť logiky, ktorá sa zaoberá výrokmi, sa nazýva výrokový počet alebo výroková logika . Zahŕňa aj vytváranie nových návrhov s využitím existujúcich. Výroky skonštruované pomocou jedného alebo viacerých výrokov sa nazývajú zložené návrhy . Návrhy sa kombinujú pomocou Logické spojky alebo Logické operátory .

Výroková logika

Tabuľka pravdy

Keďže potrebujeme poznať pravdivosť výroku vo všetkých možných scenároch, zvažujeme všetky možné kombinácie výrokov, ktoré sú spojené logickými spojkami, aby vytvorili daný zložený výrok. Táto kompilácia všetkých možných scenárov v tabuľkovom formáte sa nazýva a pravdivostná tabuľka . Najbežnejšie logické spojovacie prvky -

1. Negácia

Ak p je návrh, potom negácia p je označený eg p , čo pri preklade do jednoduchej angličtiny znamená- Nie je to tak p alebo jednoducho nie p . Pravdivostná hodnota -p je opakom pravdivostnej hodnoty p . Pravdivostná tabuľka -p je:

p	¬p
T	F
F	T

príklad, Negácia Dnes prší, je Nie je to tak, že dnes prší alebo jednoducho Dnes neprší.

2. Konjunkcia

Pre akékoľvek dva návrhy p a q , ich spojku označujeme pwedge q , čo znamená p a q . Konjunkcia pwedge q je pravda, keď oboje p a q sú pravdivé, inak nepravdivé. Pravdivostná tabuľka pwedge q je:

p	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

príklad, Spojenie výrokov p – Dnes je piatok a q – Dnes prší, pwedge q je Dnes je piatok a dnes prší. Tento návrh je pravdivý iba v daždivé piatky a je nesprávny v ktorýkoľvek iný daždivý deň alebo v piatok, keď neprší.

3. Disjunkcia

Pre akékoľvek dva návrhy p a q , ich disjunkcia je označená pvee q , čo znamená p alebo q . Disjunkcia pvee q je pravda, keď buď p alebo q je pravda, inak nepravda. Pravdivostná tabuľka pvee q je:

p	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

príklad, Disjunkcia návrhov p – Dnes je piatok a q – Dnes prší, pvee q je Dnes je piatok alebo dnes prší. Tento návrh platí v ktorýkoľvek deň, ktorý je piatok alebo daždivý deň (vrátane daždivých piatkov), a neplatí v ktorýkoľvek deň okrem piatku, keď tiež neprší.

4. Výhradný Or

Pre akékoľvek dva návrhy p a q , ich výhradné alebo je označené poplus q , čo znamená buď p alebo q ale nie oboje. Exkluzívna resp poplus q je pravda, keď buď p alebo q je pravda a nepravda, keď sú obe pravdivé alebo obe nepravdivé. Pravdivostná tabuľka poplus q je:

p	q	p ⊕ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

príklad, Exkluzívne alebo z návrhov p – Dnes je piatok a q – Dnes prší, poplus q je Buď dnes je piatok, alebo dnes prší, ale nie oboje. Tento návrh je pravdivý v ktorýkoľvek deň, ktorý je piatkom alebo daždivým dňom (okrem daždivých piatkov) a je nepravdivý v ktorýkoľvek deň okrem piatku, keď neprší alebo v piatky neprší.

5. Implikácia

Pre akékoľvek dva návrhy p a q , vyhlásenie ak p potom q sa nazýva implikácia a označuje sa p ightarrow q . V implikácii p ightarrow q , p sa nazýva hypotéza alebo predchodca alebo predpoklad a q sa nazýva záver alebo dôsledkom . Z toho vyplýva p ightarrow q sa tiež nazýva a podmienečný výrok . Implikácia je nepravdivá, kedy p je pravda a q je nepravda, inak je to pravda. Pravdivostná tabuľka p ightarrow q je:

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Niekto by sa mohol čudovať, že prečo p ightarrow q pravda kedy p je nepravdivé. Implikácia totiž zaručuje, že kedy p a q sú pravdivé, potom je implikácia pravdivá. Ale implikácia nezaručuje nič, keď je predpoklad p je nepravdivé. Odvtedy nie je možné zistiť, či je implikácia nepravdivá alebo nie p sa nestalo. Táto situácia je podobná postoju Innocent, kým sa nepreukáže vina, čo znamená, že implikácia p ightarrow q sa považuje za pravdivé, kým sa nepreukáže, že je nepravdivé. Keďže nemôžeme nazvať implikáciu p ightarrow q nepravda kedy p je nepravdivá, našou jedinou alternatívou je nazvať ju pravdivou.

Vyplýva to z Princíp výbuchu ktorý hovorí: Nepravdivé tvrdenie znamená čokoľvek Podmienené tvrdenia zohrávajú veľmi dôležitú úlohu v matematickom uvažovaní, preto sa na vyjadrenie používa rôzna terminológia. p ightarrow q , z ktorých niektoré sú uvedené nižšie.

Ak p, potom qp postačuje pre qq, keď nevyhnutná podmienka pa pre p je qp iba vtedy, ak qq, pokiaľ z p nevyplýva ≠pq

príklad, Ak je piatok, tak dnes prší, je návrh, ktorý má formu p ightarrow q . Vyššie uvedená veta platí, ak nie je piatok (premisa je nepravdivá) alebo ak je piatok a prší, a je nepravdivá, keď je piatok, ale neprší.

6. Dvojpodmienečná alebo dvojitá implikácia

Pre akékoľvek dva návrhy p a q , výkaz p ak a len vtedy (iff) q sa nazýva bipodmienkové a označuje sa pleftrightarrow q . Výkaz pleftrightarrow q sa tiež nazýva a obojstranná implikácia . pleftrightarrow q má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Implikácia je pravdivá kedy p a q majú rovnaké pravdivostné hodnoty a inak sú nepravdivé. Pravdivostná tabuľka pleftrightarrow q je:

p	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Niektoré ďalšie bežné spôsoby vyjadrovania pleftrightarrow q sú:

p je nevyhnutné a postačujúce pre qif p potom q, a naopakp, ak q

Príklad: Dnes prší vtedy a len vtedy, ak je dnes piatok. je návrh, ktorý má tvar pleftrightarrow q . Vyššie uvedená veta platí, ak nie je piatok a neprší, alebo ak je piatok a prší, a neplatí, keď nie je piatok alebo neprší. Cvičenie:

1) Zvážte nasledujúce tvrdenia: