Zákony logaritmov
Logaritmus je exponent alebo mocnina, na ktorú sa základ zvýši, aby sa získalo konkrétne číslo. Napríklad „a“ je logaritmus „m“ k základu „x“, ak x m = a, potom to môžeme zapísať ako m = log X a. Logaritmy sú vynájdené na urýchlenie výpočtov a čas sa skráti, keď násobíme veľa číslic pomocou logaritmov. Teraz poďme diskutovať o zákonoch logaritmov nižšie.
Zákony logaritmov
Existujú tri zákony logaritmu, ktoré sú odvodené pomocou základných pravidiel exponentov. Zákony sú zákon o vláde produktu, zákon o podielovom zákone, zákon o vláde moci. Pozrime sa bližšie na zákony.
Prvý zákon logaritmu alebo zákon pravidla produktu
Nech a = x n a b = x m kde základ x by mal byť väčší ako nula a x sa nerovná nule. t.j. x> 0 a x ≠ 0. z toho ich môžeme zapísať ako
n = log X a a m = log X b ⇢ (1)
Použitím prvého zákona exponentov vieme, že x n × x m = x n + m ⇢ (2)
Teraz vynásobíme a a b dostaneme ako,
ab = x n × x m
ab = x n + m (z rovnice 2)
Teraz použite logaritmus na vyššie uvedenú rovnicu, ktorú dostaneme, ako je uvedené nižšie,
log X ab = n + m
Z rovnice 1 môžeme písať ako log X ab = log X a + log X b
Ak teda chceme vynásobiť dve čísla a nájsť logaritmus súčinu, spočítajme jednotlivé logaritmy týchto dvoch čísel. Toto je prvý zákon logaritmov/zákon o produktových pravidlách.
log X ab = log X a + log X b
Tento zákon môžeme použiť na viac ako dve čísla, t.j.
log X abc = log X a + log X b + log X c.
Druhý zákon logaritmu alebo zákon kvocientového pravidla
Nech a = x n a b = x m kde základ x by mal byť väčší ako nula a x sa nerovná nule. t.j. x> 0 a x ≠ 0. z toho ich môžeme zapísať ako,
n = log X a a m = log X b ⇢ (1)
Použitím prvého zákona exponentov vieme, že x n / X m = x n – m ⇢ (2)
Teraz vynásobíme a a b dostaneme ako,
a/b = x n / X m
a/b = x n – m ⇢ (z rovnice 2)
Teraz použite logaritmus na vyššie uvedenú rovnicu, ktorú dostaneme, ako je uvedené nižšie,
log X (a/b) = n – m
Z rovnice 1 môžeme písať ako log X (a/b) = log X a – log X b
Ak teda chceme rozdeliť dve čísla a nájsť logaritmus delenia, potom môžeme jednotlivé logaritmy týchto dvoch čísel odčítať. Toto je druhý zákon logaritmov / kvocientový zákon.
log X (a/b) = log X a – log X b
Tretí zákon logaritmu alebo zákon mocenského pravidla
Nech a = x n ⇢ (i),
Kde základ x by mal byť väčší ako nula a x sa nerovná nule. t.j. x> 0 a x ≠ 0. z toho ich môžeme zapísať ako,
n = log X a ⇢ (1)
Ak zdvihneme obe strany rovnice (i) mocninou „m“, dostaneme to takto,
a m = (x n ) m = x nm
Nechajte a m byť jedinou veličinou a potom použiť logaritmus na vyššie uvedenú rovnicu,
log X a m = nm
log X a m = m.log X a
Toto je tretí zákon logaritmu. Uvádza, že logaritmus mocninového čísla možno získať vynásobením logaritmu čísla týmto číslom.
Vzorové problémy
Problém 1: Rozbaľte denník 21.
Riešenie:
Ako poznáme ten log X ab = log X a + log X b (z prvého zákona logaritmu)
Takže log 21 = log (3 × 7)
= log 3 + log 7
Problém 2: Rozbaľte denník (125/64).
Riešenie:
Ako poznáme ten log X( a/b) = log X a – log X b (z druhého logaritmického zákona)
Takže log (125/64) = log 125 – log 64
= log 5 3 - denník 4 3
log X a m = m.log X a (z tretieho logaritmického zákona), môžeme to napísať ako,
= 3 log 5 – 3 log 4
= 3 (log 5 – log 4)
Úloha 3: Napíšte 3 log 2 + 5 log3 – 5 log 2 ako jeden logaritmus.
Riešenie:
3 log 2 + 5 log3 – 5 log 2
= log 2 3 + denník 3 5 - denník 2 5
= log 8 + log 243 – log 32
= log(8 × 243) – log 32
= denník 1944 – denník 32
= log (1944/32)
Problém 4: Napíšte log 16 – log 2 ako jeden logaritmus.
Riešenie:
log(16/2)
= log(8)
= log(2 3 )
= 3 log 2
Problém 5: zapíšte 3 log 4 ako jeden logaritmus
Riešenie:
Zo zákona o vláde moci to môžeme napísať ako,
= log 4 3
= log 64
Problém 6: Napíšte 2 log 3-3 log 2 ako jeden logaritmus
Riešenie:
denník 3 2 - denník 2 3
= log 9 – log 8
= log (9/8)
Problém 7: Napíšte log 243 + log 1 ako jeden logaritmus
Riešenie:
denník (243 × 1)
= log 243
