logo

TechCodeview

Matematické

Nájdenie počtu trojuholníkov medzi horizontálnymi a vertikálnymi úsečkami

Predpoklady: BIT  Daných 'n' úsečiek je každý z nich buď horizontálny alebo vertikálny, nájdite maximálny počet trojuholníkov (vrátane trojuholníkov s nulovou plochou), ktoré možno vytvoriť spojením priesečníkov úsečiek. Žiadne dva horizontálne úsečky sa neprekrývajú ani dva zvislé úsečky. Čiara je znázornená pomocou dvoch bodov (štyri celé čísla, prvé dve sú súradnice x a y pre prvý bod a ďalšie dve sú súradnice x a y pre druhý bod) Príklady: 

 | ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be    4C   3     triangles.

Myšlienka je založená na Algoritmus Sweep Line . Vytvorenie riešenia v krokoch:

  1. Uložte oba body všetkých úsečiek so zodpovedajúcou udalosťou (popísanou nižšie) do vektora a zoraďte všetky body v neklesajúcom poradí podľa ich súradníc x.
  2. Predstavme si teraz zvislú čiaru, ktorú prejdeme cez všetky tieto body a popíšeme 3 udalosti na základe toho, v ktorom bode sa práve nachádzame:
      v - krajný ľavý bod segmentu vodorovnej čiary von - krajný pravý bod vodorovného úsečky
    • a vertikálna čiara
  3. Voláme región 'aktívny' alebo vodorovné čiary 'aktívny' ktoré mali prvú udalosť, ale nie druhú. Budeme mať BIT (Binárny indexovaný strom) na uloženie súradníc 'y' všetkých aktívnych riadkov.
  4. Keď sa riadok stane neaktívnym, odstránime jeho „y“ z BIT.
  5. Keď nastane udalosť tretieho typu, teda keď sme na zvislej čiare, dopytujeme strom v rozsahu jeho súradníc 'y' a výsledok pripočítame k počtu doterajších priesečníkov.
  6. Nakoniec si povieme počet priesečníkov m potom bude počet trojuholníkov (vrátane nulovej plochy). m C 3 .

Poznámka: Musíme starostlivo triediť body pohľad na cmp() funkciu pri implementácii na objasnenie. 

CPP 
   // A C++ implementation of the above idea   #include     #define maxy 1000005   #define maxn 10005   using     namespace     std  ;   // structure to store point   struct     point   {      int     x       y  ;      point  (  int     a       int     b  )      {      x     =     a       y     =     b  ;      }   };   // Note: Global arrays are initially zero   // array to store BIT and vector to store   // the points and their corresponding event number   // in the second field of the pair   int     bit  [  maxy  ];   vector  &  lt  ;  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  gt  ;     events  ;   // compare function to sort in order of non-decreasing   // x coordinate and if x coordinates are same then   // order on the basis of events on the points   bool     cmp  (  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  a       pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  b  )   {      if     (     a  .  first  .  x     !=     b  .  first  .  x     )      return     a  .  first  .  x     &  lt  ;     b  .  first  .  x  ;      //if the x coordinates are same      else      {      // both points are of the same vertical line      if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if an 'in' event occurs before 'vertical'      // line event for the same x coordinate      else     if     (  a  .  second     ==     1     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if a 'vertical' line comes before an 'in'      // event for the same x coordinate swap them      else     if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     1  )      {      return     false  ;      }      // if an 'out' event occurs before a 'vertical'      // line event for the same x coordinate swap.      else     if     (  a  .  second     ==     2     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     false  ;      }      //in all other situations      return     true  ;      }   }   // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate   // in an active region while update(y -1) removes it   void     update  (  int     idx       int     val  )   {      while     (  idx     &  lt  ;     maxn  )      {      bit  [  idx  ]     +=     val  ;      idx     +=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }   }   // returns the number of lines in active region whose y   // coordinate is between 1 and idx   int     query  (  int     idx  )   {      int     res     =     0  ;      while     (  idx     &  gt  ;     0  )      {      res     +=     bit  [  idx  ];      idx     -=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }      return     res  ;   }   // inserts a line segment   void     insertLine  (  point     a       point     b  )   {      // if it is a horizontal line      if     (  a  .  y     ==     b  .  y  )      {      int     beg     =     min  (  a  .  x       b  .  x  );      int     end     =     max  (  a  .  x       b  .  x  );      // the second field in the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  beg       a  .  y  )     1  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  end       a  .  y  )     2  ));      }      //if it is a vertical line      else      {      int     up     =     max  (  b  .  y       a  .  y  );      int     low     =     min  (  b  .  y       a  .  y  );      //the second field of the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       up  )     3  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       low  )     3  ));      }   }   // returns the number of intersection points between all   // the lines vertical and horizontal to be run after the   // points have been sorted using the cmp() function   int     findIntersectionPoints  ()   {      int     intersection_pts     =     0  ;      for     (  int     i     =     0     ;     i     &  lt  ;     events  .  size  ()     ;     i  ++  )      {      //if the current point is on an 'in' event      if     (  events  [  i  ].  second     ==     1  )      {      //insert the 'y' coordinate in the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       1  );      }      // if current point is on an 'out' event      else     if     (  events  [  i  ].  second     ==     2  )      {      // remove the 'y' coordinate from the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       -1  );      }      // if the current point is on a 'vertical' line      else      {      // find the range to be queried      int     low     =     events  [  i  ++  ].  first  .  y  ;      int     up     =     events  [  i  ].  first  .  y  ;      intersection_pts     +=     query  (  up  )     -     query  (  low  );      }      }      return     intersection_pts  ;   }   // returns (intersection_pts)C3   int     findNumberOfTriangles  ()   {      int     pts     =     findIntersectionPoints  ();      if     (     pts     &  gt  ;  =     3     )      return     (     pts     *     (  pts     -     1  )     *     (  pts     -     2  )     )     /     6  ;      else      return     0  ;   }   // driver code   int     main  ()   {      insertLine  (  point  (  2       1  )     point  (  2       9  ));      insertLine  (  point  (  1       7  )     point  (  6       7  ));      insertLine  (  point  (  5       2  )     point  (  5       8  ));      insertLine  (  point  (  3       4  )     point  (  6       4  ));      insertLine  (  point  (  4       3  )     point  (  4       5  ));      insertLine  (  point  (  7       6  )     point  (  9       6  ));      insertLine  (  point  (  8       2  )     point  (  8       5  ));      // sort the points based on x coordinate      // and event they are on      sort  (  events  .  begin  ()     events  .  end  ()     cmp  );      cout     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;  Number     of     triangles     are  :     &  quot  ;     &  lt  ;  &  lt  ;      findNumberOfTriangles  ()     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;    n  &  quot  ;;      return     0  ;   }

výstup: 

Number of triangles are: 4 
Time Complexity:   O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )

Pomocný priestor: O(maxy), kde maxy = 1000005


Zdieľať

Mohlo By Sa Vám Páčiť

Čo je Predmet? – Definícia, použitie a príklady

Čo je Predmet? – Definícia, použitie a príklady

Prečítajte si súbor JSON pomocou Pythonu

Prečítajte si súbor JSON pomocou Pythonu

Najlepšie Články

Kategórie

Blog Konverzia Java Matematika Kolekcie Java Rozdiely Java Reťazec

Zaujímavé Články