Rovnica priamky v rovine je daný ako y = mx + C kde x a y sú súradnice roviny, m je sklon priamky a C je priesečník. Konštrukcia čiary sa však neobmedzuje len na rovinu.

Vieme, že priamka je cesta medzi dvoma bodmi. Tieto dva body môžu byť umiestnené kdekoľvek, či už by mohli byť v jednej rovine alebo by mohli byť v priestore. V prípade roviny je poloha priamky charakterizovaná dvoma súradnicami usporiadanými do usporiadaného páru daných ako (x, y), zatiaľ čo v prípade priestoru je poloha bodu charakterizovaná tromi súradnicami vyjadrenými ako (x , y, z).

V tomto článku sa naučíme rôzne formy rovníc priamok v 3D priestore.

Obsah

• Čo je to priamka?
• Rovnica priamky v 3D
• Kartézsky tvar priamkovej rovnice v 3D
• Vektorová forma rovnice priamky v 3D
• Vzorce 3D čiar
• Riešené príklady na rovnicu priamky v 3D

Čo je to priamka?

Rovnica priamky je algebraický spôsob vyjadrenia priamky z hľadiska súradníc bodov, ktoré spája. Rovnica priamky bude vždy a lineárna rovnica .

Ak sa pokúsime vykresliť body získané z lineárnej rovnice, bude to a priamka . Štandardná rovnica čiary je daná takto:

ax + by + c = 0

kde,

• a a b sú koeficienty x a y
• c je konštantné obdobie

Ďalšie formy rovnice priamky sú uvedené nižšie:

Teraz sa naučíme rovnicu priamky v 3D.

Rovnica priamky v 3D

Rovnica priamky v 3D vyžaduje dva body, ktoré sú umiestnené v priestore. Poloha každého bodu je daná pomocou troch súradníc vyjadrených ako (x, y, z).

3D rovnica čiary je uvedená v dvoch formátoch, karteziánska forma a vektorová forma . V tomto článku sa naučíme rovnicu priamky v 3D v karteziánskej aj vektorovej forme a tiež sa naučíme odvodiť rovnicu. Nižšie sú uvedené rôzne prípady rovnice čiary:

• Kartézska forma čiary
  • Čiara prechádzajúca cez dva body
  • Priamka prechádzajúca daným bodom a rovnobežná s daným vektorom
• Vektorová forma čiary
  • Čiara prechádzajúca cez dva body
  • Priamka prechádzajúca daným bodom a rovnobežná s daným vektorom

Kartézsky tvar priamkovej rovnice v 3D

Kartézsky tvar priamky je daný pomocou súradníc dvoch bodov umiestnených v priestore, z ktorého priamka prechádza. V tomto budeme diskutovať o dvoch prípadoch, keď čiara prechádza dvoma bodmi a keď čiara prechádza bodmi a je rovnobežná s vektorom.

Prípad 1: 3D rovnica priamky v karteziánskom tvare prechádzajúca dvoma bodmi

Predpokladajme, že máme dva body A a B, ktorých súradnice sú A(x ₁ , a ₁ , S ₁ ) a B(x ₂ , a ₂ , S ₂ ).

Potom je 3D rovnica priamky v karteziánskom tvare daná ako

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

kde x, y a z sú pravouhlé súradnice.

Odvodenie rovnice priamky prechádzajúcej cez dva body

Kartézsku formu 3D rovnice priamky môžeme odvodiť pomocou nasledujúcich krokov:

• Krok 1: Nájdite DR (Direction Ratios) zobratím rozdielu zodpovedajúcich súradníc polohy dvoch daných bodov. l = (x ₂ - X ₁ ), m = (a ₂ - a ₁ ), n = (z ₂ - S ₁ ); Tu l, m, n sú DR.
• Krok 2: Vyberte si jeden z dvoch daných bodov, povedzme, vyberáme (X ₁ , a ₁ , S ₁ ).
• Krok 3: Napíšte požadovanú rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi (X ₁ , a ₁ , S ₁ ) a (x ₂ , a ₂ , S ₂ ).
• Krok 4: 3D rovnica priamky v karteziánskom tvare je daná ako L : (x – x ₁ )/l = (y – r ₁ )/m = (z – z ₁ )/n = (x – x ₁ )/(X ₂ - X ₁ ) = (y – y ₁ )/(a ₂ - a ₁ ) = (z – z ₁ )/(S ₂ - S ₁ )

Kde (X a Z) sú súradnice polohy ľubovoľného premenného bodu ležiaceho na priamke.

Príklad: Ak priamka prechádza dvoma pevnými bodmi v 3-rozmere, ktorých súradnice polohy sú P (2, 3, 5) a Q (4, 6, 12), potom jej karteziánska rovnica s použitím dvojbodového tvaru je daná vzťahom

Riešenie:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Výber bodu P (2, 3, 5)

Požadovaná rovnica priamky

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Prípad 2: 3D rovnica priamky v karteziánskom prechode cez bod a rovnobežná s daným vektorom

Predpokladajme, že priamka prechádza bodom P(x ₁ , a ₁ , S ₁ ) a je rovnobežná s vektorom daným ako vec n = ahat i + bhat j + chat k .

Potom je rovnica priamky daná ako

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

kde x, y, z sú pravouhlé súradnice a a, b, c sú smerové kosínusy.

Odvodenie 3D rovnice priamky pri kartézskom prechode bodom a rovnobežke s daným vektorom

Predpokladajme, že máme bod P, ktorého polohový vektor je daný ako vec p od pôvodu. Nech čiara, ktorá prechádza cez P, je rovnobežná s iným vektorom vec n . Zoberme si bod R na priamke, ktorá prechádza cez P, potom polohový vektor R je daný ako vec r .

Keďže PR je paralelný s vec n ⇒ overline {PR} = lambda vec n

Ak sa teraz presunieme po priamke PR, súradnica akéhokoľvek bodu, ktorý leží na priamke, bude mať súradnicu v tvare (x ₁ + λa), (a ₁ + λb), (z ₁ + λc), kde λ je parameter, ktorého hodnota sa pohybuje od -∞ do +∞ v závislosti od smeru od P, kam sa pohybujeme.

Súradnice nového bodu teda budú

x = x ₁ + λa ⇒ λ = x – x ₁ /a

y = y ₁ + λb ⇒ λ = y – y ₁ /b

z = z ₁ + λc ⇒ λ = z – z ₁ /c

Porovnaním vyššie uvedených troch rovníc máme rovnicu priamky as

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Príklad: Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom (2, 1, 3) rovnobežnej s vektorom 3i – 2j + k

Riešenie:

Priamková rovnica prechádzajúca bodom a rovnobežná s vektorom je daná ako

(x – x ₁ )/a = (y – y ₁ )/b = (z – z ₁ )/c

Z otázky, ktorú máme, x ₁ = 2 a ₁ = 1, z ₁ = 3 a a = 3, b = -2 a c = k. Preto bude požadovaná rovnica čiary

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Vektorová forma rovnice priamky v 3D

Vektorový tvar priamkovej rovnice v 3D je daný pomocou vektorovej rovnice, ktorá zahŕňa polohový vektor bodov. V tomto nadpise získame 3D rovnicu čiary vo vektorovej forme pre dva prípady.

Prípad 1: 3D rovnica čiary prechádzajúcej cez dva body vo vektorovej forme

Predpokladajme, že máme dva body A a B, ktorých polohový vektor je daný ako vec a a vec b .

Potom vektorová rovnica priamky L je daná ako

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

kde (vec b – vec a) je vzdialenosť medzi dvoma bodmi a λ je parameter, ktorý leží na linke.

Odvodenie 3D rovnice priamky prechádzajúcej cez dva body vo vektorovej forme

Predpokladajme, že máme dva body A a B, ktorých polohový vektor je daný ako vec a a vec b . Teraz vieme, že čiara je vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi. Preto musíme odčítať dva polohové vektory, aby sme získali vzdialenosť.

⇒ vec d = vec b – vec a

Teraz vieme, že akýkoľvek bod na tejto priamke bude daný ako súčet polohového vektora vec a space or space vec b so súčinom parametra λ a polohového vektora vzdialenosti dvoch bodov t.j. vec d

Teda rovnica priamky vo vektorovom tvare bude vec l = vec a + lambda (vec b – vec a) alebo vec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Príklad: Nájdite vektorovú rovnicu priamky v 3D, ktorá prechádza cez dva body, ktorých polohové vektory sú dané ako 2i + j – k a 3i + 4j + k

Riešenie:

Vzhľadom na to, že dva polohové vektory sú dané ako 2i + j – k a 3i + 4j + k

Vzdialenosť d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Vieme, že rovnica priamky je daná ako vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Teda rovnica priamky bude vec l = 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Prípad 2: Vektorový tvar 3D rovnice priamky prechádzajúcej bodom a rovnobežnej s vektorom

Povedzme, že máme bod P, ktorého polohový vektor je daný ako vec p . Nech je táto priamka rovnobežná s inou priamkou, ktorej polohový vektor je daný ako vec d .

Potom je vektorová rovnica priamky „l“ daná ako

vec l = vec p + lambda vec d

kde λ je parameter, ktorý leží na priamke.

Odvodenie vektorovej formy 3D rovnice priamky prechádzajúcej bodom a rovnobežnej s vektorom

Uvažujme bod P, ktorého polohový vektor je daný ako vec p . Teraz predpokladajme, že táto čiara je rovnobežná s vektorom vec d potom bude rovnica priamky vec l = lambda vec d . Keďže čiara tiež prechádza bodom P, potom keď sa od bodu P vzďaľujeme v oboch smeroch na čiare, vektor polohy bodu bude v tvare vec p + lambda vec d . Teda rovnica priamky bude vec l = vec p + lambda vec d kde λ je parameter, ktorý leží na priamke.

Príklad: Nájdite vektorový tvar rovnice priamky prechádzajúcej bodom (-1, 3, 2) rovnobežnej s vektorom 5i + 7j – 3k.

Riešenie:

Vieme, že vektorový tvar rovnice priamky prechádzajúcej bodom a rovnobežnej s vektorom je daný ako vec l = vec p + lambda vec d

Vzhľadom na to, že bod je (-1, 3, 2), tak polohový vektor bodu bude -i + 3j + 2k a daný vektor je 5i + 7j – 3k.

Preto bude požadovaná rovnica priamky vec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Vzorce 3D čiar

Podobné čítanie

• Rovnica priamky
• Tangenta a normálna
• Sklon čiary

Vyriešené príklady rovnice priamky v 3D

Precvičte si rovnice priamky v 3D s týmito vyriešenými praktickými otázkami.

Príklad 1: Ak priamka prechádza dvoma pevnými bodmi v 3-rozmere, ktorých polohové vektory sú (2 i + 3 j + 5 k) a (4 i + 6 j + 12 k), potom jej vektorová rovnica používa dvojbodový forma je daná

Riešenie:

{vec {p}} = (4 i + 6 j + 12 k ) - (2 i + 3 j + 5 k )

{vec {p}} = (2 i + 3 j + 7 k ); Tu {vec {p}} je vektor rovnobežný s priamkou

Výber polohového vektora (2 i + 3 j + 5 k )

Požadovaná rovnica priamky

L: {vec {r}} = (2 i + 3 j + 5 k ) + t . (2 i + 3 j + 7 k )

Príklad 2: Ak priamka prechádza dvoma pevnými bodmi v 3-rozmernom priestore, ktorých súradnice polohy sú (3, 4, -7) a (1, -1, 6), potom jej vektorová rovnica používa dvojbodový forma je daná tým

Riešenie:

Polohové vektory daných bodov budú (3 i + 4 j – 7 k) a (i – j + 6 k)

{vec {p}} = (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}} = (2 i + 5 j – 13 k); Tu {vec {p}} je vektor rovnobežný s priamkou

Výber polohového vektora (i – j + 6 k)

Požadovaná rovnica priamky

L: {vec {r}} = (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

Príklad 3: Ak priamka prechádza dvoma pevnými bodmi v 3-rozmere, ktorých polohové vektory sú (5 i + 3 j + 7 k) a (2 i + j – 3 k), potom jej vektorová rovnica použije dvojbodový tvar je daný

Riešenie:

{vec {p}} = (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}} = (3i + 2 j + 10 k); Tu {vec {p}} je vektor rovnobežný s priamkou

Výber polohového vektora (2 i + j – 3 k)

Požadovaná rovnica priamky

L: {vec {r}} = (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10k)

Príklad 4: Ak priamka prechádza dvoma pevnými bodmi v 3-rozmere, ktorých súradnice polohy sú A (2, -1, 3) a B (4, 2, 1), potom jej karteziánska rovnica používa dvojbodový forma je daná

Riešenie:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Výber bodu A (2, -1, 3)

Požadovaná rovnica priamky

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 alebo

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Príklad 5: Ak priamka prechádza dvoma pevnými bodmi v 3-rozmere, ktorých súradnice polohy sú X (2, 3, 4) a Y (5, 3, 10), potom jej karteziánska rovnica s použitím dvojbodového tvaru je daná ako

Riešenie:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Výber bodu X (2, 3, 4)

Požadovaná rovnica priamky

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 alebo

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Rovnica priamky v 3D – často kladené otázky

Čo je to priamka v 3D?

Rovnica priamky v 3D je daná ako (x – x ₁ )/(X ₂ - X ₁ ) = (y – y ₁ )/(a ₂ - a ₁ ) = (z – z ₁ )/(S ₂ - S ₁ )

Čo je karteziánsky tvar rovnice priamky v 3D?

Kartézsky tvar priamkovej rovnice v 3D je daný pre dva prípady

Prípad 1: Keď čiara prechádza cez dva body: {frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Prípad 2: Keď čiara prechádza jedným bodom a je rovnobežná s vektorom: {frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Čo je vektorová forma rovnice priamky v 3D?

Vektorový tvar rovnice priamky v 3D je daný pre dva prípady:

Prípad 1: Čiara prechádzajúca cez dva body: vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Prípad 2: Priamka prechádzajúca bodom a rovnobežná s vektorom: vec l = vec p + lambda vec d

Čo je to rovnica bodu sklonu čiary?

Bod sklonu Rovnica priamky je daná ako y = mx + C, kde m je sklon

Čo je štandardná rovnica čiary?

Štandardná rovnica priamky je ax + by + c = 0