Derivát Arctanu
Derivácia funkcie arkustangens sa označuje ako tan -1 (x) alebo arctan(x). To sa rovná 1/(1+x 2 ) . Derivácia funkcie arkustangens sa zistí určením rýchlosti zmeny funkcie arc tan vzhľadom na nezávislú premennú. Technika hľadania derivácií goniometrických funkcií sa označuje ako goniometrická diferenciácia.
Derivát Arctanu
V tomto článku sa dozvieme o deriváte arc tan x a jeho vzorci vrátane dôkazu vzorca. Okrem toho sme pre lepšie pochopenie poskytli aj niekoľko vyriešených príkladov.
Derivát Arctan x
Derivácia funkcie arkus tangens alebo arctan(x) je 1/(1+x 2 ). Arktus x predstavuje uhol, ktorého dotyčnica je x. Inými slovami, ak y = arctan(x), potom tan(y) = x.
Deriváciu funkcie možno nájsť pomocou reťazového pravidla. Ak máte zloženú funkciu ako arctan(x), diferencujete vonkajšiu funkciu vzhľadom na vnútornú funkciu a potom vynásobíte deriváciou vnútornej funkcie.
Derivát Arctan x Formula
Vzorec pre deriváciu inverznej hodnoty tan x je daný:
d/dx(arktán(x)) = 1/(1+x 2 )
Tiež skontrolujte :
- Arctan – vzorec, graf, identity, doména, rozsah a často kladené otázky
- Počet v matematike
- Inverzný Goniometrická funkcia
Dôkaz derivátu Arctan x
Deriváciu inverznej hodnoty tan x možno dokázať nasledujúcimi spôsobmi:
- Použitím Pravidlo reťaze
- Použitím Metóda implicitnej diferenciácie
- Použitie prvých princípov derivátov
Derivát Arctan x podľa reťazového pravidla
Na dôkaz derivácie Arctanu x reťazovým pravidlom použijeme základný trigonometrický a inverzný trigonometrický vzorec:
- sek 2 y = 1 + tan 2 a
- tan(arktan x) = x
Tu je dôkaz derivátu arctan x:
Predpokladajme, že y = arctan(x)
Opálením na oboch stranách dostaneme:
tan y = tan(arktan X)
tan y = x [ako tan (arktan x) = x]
Teraz rozlíšte obe strany vzhľadom na x
d/dx (tan y) = d/dx(x)
d/dx(tan y) = 1 [ako d/dx(x) = 1]
Aplikovaním reťazového pravidla na diferenciáciu tan y vzhľadom na x dostaneme
d/dx(tan y) = sek 2 y · dy/dx = 1
dy/dx = 1/s 2 a
dy/dx = 1/1 + tan 2 y [ako sek 2 y = 1 + tan 2 a]
Teraz vieme, že tan y = x, dosadením hodnoty vo vyššie uvedenej rovnici dostaneme
dy/dx = 1/1 + x 2
Derivát Arctan x metódou implicitnej diferenciácie
Derivát arktanu x možno dokázať pomocou metódy implicitnej diferenciácie. Použijeme základné trigonometrické vzorce, ktoré sú uvedené nižšie:
- sek 2 x = (1 + tan 2 X )
- Ak y = arctan x ⇒ x = tan y a x 2 = tak 2 a
Začnime s dôkazom derivátu arctanu x , predpokladajme, že f(x) = y = arctan X
Metódou implicitnej diferenciácie
f(x) = y = arktan X
⇒ x = tan y
Prijatie derivácie na oboch stranách vzhľadom na x
⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]
⇒ 1 = d/dx[tan y]
Násobenie a delenie pravej strany dy
⇒ 1 = d/dx[tan y] x dy/dy
⇒ 1 = d/dy[tan y] x dy/dx
⇒ 1 = sek 2 y × dy/dx
⇒ dx/dy = ( 1+tan 2 y) [Ako ods 2 x = (1 + tan 2 X )]
⇒ dy/dx = 1/( 1+tan 2 a )
⇒ dy/dx = 1/( 1 + x 2 ) = f'(x)
Preto f'(x) = 1/ ( 1+x 2 )
Derivát Arctan x podľa prvého princípu
Na dôkaz derivácie arctanu x pomocou prvého princípu derivácie použijeme základné limity a trigonometrické vzorce, ktoré sú uvedené nižšie:
- lim h→0 arctan x/x = 1
- arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]
Začnime s dôkazom pre derivát arctan x
máme arctan(x) = y
Aplikujte definíciu derivácie, ktorú dostaneme
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1
frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}
Tiež skontrolujte
- Derivácia inverzných goniometrických funkcií
- Diferenciačné vzorce
- Inverzné goniometrické identity
Príklady na derivát Arctan x
Príklad 1: Nájdite deriváciu funkcie f(x) = arctan(3x).
Riešenie:
Použijeme reťazové pravidlo, ktoré hovorí, že ak je g(x) diferencovateľné v x a f(x) = arctan (g(x)), potom derivácia f'(x) je daná vzťahom:
f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)] 2 )
V tomto prípade g(x) = 3x, takže g'(X) = 3. Použitie vzorca reťazového pravidla:
f'(x) = 3/(1+(3x) 2 )
f'(x) = 3/(1+9x 2 )
Príklad 2: Nájdite deriváciu funkcie h(x) = tan -1 (x/2)
Riešenie:
Použijeme reťazové pravidlo, podľa ktorého f(x) = tan -1 (g(x)), potom je derivácia f'(x) daná vzťahom:
f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)] 2 )
V tomto prípade g(x) = x/2, teda g'(X) = 1/2. Použitie vzorca reťazového pravidla:
f'(x) = (1/2)/(1+(x/2) 2 )
f'(x) = (1/2)/(1+x 2 /4)
Zjednodušením dostaneme,
f'(x) = 2/(4+x 2 )
Príklad 3: Nájdite deriváciu f(x) = arctan (2x 2 )
Riešenie:
Použijeme reťazové pravidlo, ktoré hovorí, že ak je g(x) diferencovateľné v x a f(x) = arctan (g(x)), potom je derivácia f'(x) daná vzťahom:
f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)] 2 )
V tomto prípade g(x) = 2x 2 , takže g'(X) = 4x.
Použitie vzorca reťazového pravidla:
f'(x) = 4x/(1+(2x 2 ) 2 )
f'(x) = 4x/(1+4x 4 )
f'(x) = d/dx(arktán (2x 2 )) = 4x/(1+4x 4 )
Cvičné otázky o deriváte Arctan x
Q.1: Nájdite deriváciu funkcie f(x) = x 2 arkán (2x)
Q.2: Nájdite deriváciu funkcie k(x) = arctan (X 3 +2x)
Q.3: Nájdite deriváciu funkcie p(x) = x arctan(x 2 +1)
Q.4: Nájdite deriváciu funkcie f(x) = arctan (x)/1+x
Q.5: Nájdite deriváciu funkcie r(x) = arctan (4x)
Čítaj viac,
- Derivácia v matematike
- Derivát tan inverznej x
- Arctan
Derivát Arctan x – často kladené otázky
Čo je to derivát v matematike?
V matematike derivácie merajú, ako sa funkcia mení, keď sa mení jej vstup (nezávislá premenná). Derivácia funkcie f(x) sa označuje ako f'(x) alebo (d /dx)[f(x)].
Čo je to derivát tan -1 (X)?
Derivát opálenia -1 (x) vzhľadom na x je 1/1+x 2
Čo je inverzná hodnota tan x?
Arctan je inverzná funkcia tan a je to jedna z inverzných goniometrických funkcií. Je tiež známa ako arktanová funkcia.
Čo je reťazové pravidlo v Arktáne (X)?
Reťazové pravidlo je pravidlom diferenciácie. Pre arktan (u), reťazové pravidlo hovorí, že ak f(x) = arctan(u), potom f'(x) = (1/1+u 2 )× du/dx. Aplikovaním tohto na arctan(x), kde u=x, dostaneme 1/1+x 2
Čo je derivát f(x) = x tan -1 (X)?
Derivácia f(x) = xtan -1 (x) možno nájsť pomocou pravidla produktu. Výsledkom je tak -1 (x) + {x/(1 + x 2 )} .
Čo je to antiderivát Arctan x?
Antiderivát arctanu x je daný ako ∫tan -1 x dx = x opálenie -1 x – ½ ln |1+x 2 | + C.
Čo je derivát?
Derivácia funkcie je definovaná ako rýchlosť zmeny funkcie vzhľadom na nezávislú premennú.
