În matematică, termenii exponenți și puteri sunt folosiți atunci când un număr este înmulțit cu el însuși cu un anumit număr de ori. De exemplu, 4 × 4 × 4= 64. Acesta poate fi scris și sub formă scurtă ca 4 ³ = 64. Aici, 4 ³ înseamnă că numărul 4 este înmulțit cu el însuși de trei ori, iar forma scurtă 4 ³ este expresia exponenţială. Numărul 4 este numărul de bază, în timp ce numărul 3 este exponentul și citim expresia exponențială dată ca 4 ridicată la puterea lui 3. Într-o expresie exponențială, baza este factorul care este înmulțit în mod repetat cu el însuși, în timp ce exponentul este de câte ori apare factorul.

Definiția exponenților și puterilor

Dacă un număr este înmulțit cu el însuși de n ori , expresia rezultată este cunoscută sub numele de puterea a n-a a numărului dat. Există o linie foarte subțire de diferență între exponent și putere. Un exponent este de câte ori un anumit număr a fost înmulțit cu el însuși, în timp ce puterea este valoarea produsului numărului de bază ridicat la un exponent. Cu ajutorul formei exponențiale a numerelor, putem exprima mai convenabil numere extrem de mari și mici. De exemplu, 100000000 poate fi exprimat ca 1 × 10 ⁸ , iar 0,0000000000013 poate fi exprimat ca 13 × 10 ^-13 . Acest lucru face numerele mai ușor de citit, ajută la menținerea acurateței lor și, de asemenea, ne economisește timp.

Regulile exponenților și puterilor

Regulile exponenților și puterilor explică modul de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a exponenților, precum și cum se rezolvă diverse tipuri de ecuații matematice care implică exponenți și puteri.

Regula 1: Legea produsului a exponenților

Conform acestei legi, atunci când exponenții cu aceleași baze sunt înmulțiți, exponenții se adună.

Legea produsului a exponților: a ^m × a ⁿ =a ^{(m+ n)}

Regula 2: Regula coeficientului exponenților

Conform acestei legi, pentru a împărți doi exponenți cu aceleași baze, trebuie să scădem exponenții.

Regula coeficientului exponenților: a ^m /A ⁿ =a ^(m–n)

Regula 3: Puterea unei reguli de putere

Conform acestei legi, dacă un număr exponențial este ridicat la o altă putere, atunci puterile sunt înmulțite.

Puterea unei reguli de putere: (a ^m ) ⁿ =a ^{(m× n)}

Regula 4: Puterea unui produs regula

Conform acestei legi, trebuie să înmulțim diferitele baze și să ridicăm același exponent la produsul bazelor.

Puterea unui produs regula: a ^m × b ^m =(a × b) ^m .

Regula 5: Puterea unei reguli de coeficient

Conform acestei legi, trebuie să împărțim diferitele baze și să ridicăm același exponent la coeficientul de baze.

Puterea unei reguli de coeficient: a ^m ÷ b ^m =(a/b) ^m

Regula 6: Regula exponentului zero

Conform acestei legi, dacă valoarea unei baze ridicate la puterea lui zero este 1.

Regula exponentului zero: a ⁰ =1

Regula 7: Regula exponentului negativ

Conform acestei legi, dacă un exponent este negativ, atunci schimbarea exponentului în pozitiv luând reciproca unui număr exponențial.

Regula exponentului negativ: a ^-m = 1/a ^m

Regula 8: Regula exponentului fracționar

Conform acestei legi, atunci când avem un exponent fracționar, atunci rezultă radicali.

Regula exponentului fracționar: a ^(1/n) = ⁿ √a

A ^(l/n) = ⁿ √a ^m

Ce înseamnă 10 la puterea lui 4?

Soluţie:

Să calculăm valoarea de 10 la a patra medie, adică 10 ⁴

Știm că, conform regulii puterii exponenților,

A ^m = a × a × a… de m ori

Prin urmare, putem scrie 10 ⁴ ca 10 × 10 × 10 × 10 = 10000

Prin urmare,

valoarea lui 10 ridicată la puterea lui 4, adică 10 ⁴ este 10000.

Exemple de probleme

Problema 1: Aflați valoarea lui 3 ⁶ .

Soluţie:

Expresia dată este 3 ⁶ .

Baza expresiei exponențiale date este 3, în timp ce exponentul este 6, adică expresia dată este citită pe măsură ce 3 este ridicat la puterea lui 6.

Deci, prin extinderea 3 ⁶ , obținem 3 ⁶ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Prin urmare, valoarea lui 3 ⁶ este 729.

Problema 2: Determinați exponentul și puterea expresiei (12) ⁵ .

Soluţie:

Expresia dată este 12 ⁵ .

Baza expresiei exponențiale date este 12, în timp ce exponentul este 5, adică expresia dată este citită pe măsură ce 12 este ridicat la puterea lui 5.

Problema 3: Evaluează (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ .

Soluţie:

Date: (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷

Știm că, a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)}

Deci, (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷ = (2/7) ^(-5+7)

= (2/7) ² = 4/49

Prin urmare, (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ = 4/49

Problema 4: Aflați valoarea lui x în expresia dată: 5 ^3x-2 = 625.

Soluţie:

Având în vedere, 5 ^3x-2 = 625.

5 ^3x-2 = 5 ⁴

Comparând exponenții bazei similare, obținem

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

Prin urmare, valoarea lui x este 2.

Problema 5: Aflați valoarea lui k în expresia dată: (-2/3) ⁴ 23) ^{-cincisprezece} = (23) ^7k+3

Soluţie:

Dat,

(-23) ⁴ 23) ^{-cincisprezece} = (23) ^7k+3

23) ⁴ 23) ^{-cincisprezece} = (23) ^7k+3 {Deoarece (-x) ⁴ = x ⁴ }

Știm că, a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)}

23) ^4-15 = (2/3)7k+3

23) ^-unsprezece = (23) ^7k+3

Comparând exponenții bazei similare, obținem

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

Prin urmare, valoarea lui k este -2.