Formula de însumare
În matematică, însumarea este adunarea de bază a unei secvențe de numere, numite aditivi sau sumanzi; rezultatul este suma sau totalul lor. În Matematică numerele, funcțiile, vectorii, matricele, polinoamele și, în general, elementele oricărui obiect matematic pot fi asociate cu o operație numită adunare/sumare, notată cu +.
Însumarea unei secvențe explicite este desemnată ca o succesiune de adăugiri. De exemplu, însumarea lui (1, 3, 4, 7) se poate baza notat cu 1 + 3 + 4 + 7, iar rezultatul pentru notația de mai sus este 15, adică 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Deoarece operația de adunare este atât asociativă, cât și comutativă, nu este nevoie de paranteze în timp ce enumerați seria/secvența, iar rezultatul va fi același, indiferent de ordinea sumelor.
Cuprins
- Ce este Formula de însumare?
- Unde să folosiți formula de însumare?
- Proprietăți de însumare
- Formule standard de însumare
- Exemplu despre formula de însumare
- Întrebări frecvente despre Formula de însumare
Ce este Formula de însumare?
Suma sau notația sigma (∑) este o metodă folosită pentru a scrie o sumă lungă într-un mod concis. Această notație poate fi atașată oricărei formule sau funcție.
De exemplu, i=1 ∑ 10 (i) este o notație sigma a adunării secvenței finite 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 unde primul element este 1 și ultimul element este 10.
Formule de însumare
Unde să folosiți formula de însumare?
Notația de însumare poate fi utilizată în diferite domenii ale matematicii:
- Secvență în serie
- Integrare
- Probabilitate
- Permutare și combinație
- Statistici
Notă: O însumare este o formă scurtă de adunare repetitivă. De asemenea, putem înlocui sumarea cu o buclă de adunare.
Proprietăți de însumare
Proprietatea 1
i=1 ∑ n c = c + c + c + …. + c (n) ori = nc
De exemplu: Găsiți valoarea lui i=1 ∑ 4 c.
Folosind proprietatea 1 putem calcula direct valoarea lui i=1 ∑ 4 c ca 4×c = 4c.
Proprietatea 2
c=1 ∑ n kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) ori = k × (1 + … + n) = k c=1 ∑ n c
De exemplu: Găsiți valoarea lui i=1 ∑ 4 5i.
Folosind proprietatea 2 și 1 putem calcula direct valoarea lui i= 1 ∑ 4 5i ca 5 × i=1 ∑ 4 i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.
Proprietatea 3
c=1 ∑ n (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) ori = (n × k) + (1 + … + n) = nk + c=1 ∑ n c
De exemplu: Găsiți valoarea lui i=1 ∑ 4 (5+i).
Utilizând proprietățile 2 și 3, putem calcula direct valoarea lui i=1 ∑ 4 (5+i) ca 5×4 + i=1 ∑ 4 i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.
Proprietatea 4
k=1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ n f(k) + k=1 ∑ n g(k)
De exemplu: Găsiți valoarea pentru i=1 ∑ 4 (i + i 2 ).
Folosind proprietatea 4 putem calcula direct valoarea lui i=1 ∑ 4 (i + i 2 ) la fel de i=1 ∑ 4 eu + i=1 ∑ 4 i 2 = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.
Formule standard de însumare
Diverse formule de însumare sunt,
Suma primelor n numere naturale : (1+2+3+…+n) = i=1 ∑ n (i) = [n ×(n +1)]/2
Suma pătratului primelor n numere naturale: (1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 ) = i=1 ∑ n (i 2 ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6
Suma cubului primelor n numere naturale: (1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 ) = i=1 ∑ n (i 3 ) = [n 2 ×(n +1) 2 )]/4
Suma primului n numere naturale pare : (2+4+…+2n) = i=1 ∑ n (2i) = [n ×(n +1)]
Suma primelor n numere naturale impare : (1+3+…+2n-1) = i=1 ∑ n (2i-1) = n 2
Suma pătratului primelor n numere naturale pare: (2 2 +4 2 +…+(2n) 2 ) = i=1 ∑ n (2i) 2 = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3
Suma pătratului primelor n numere naturale impare: (1 2 +3 2 +…+(2n-1) 2 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 2 = [n(2n+1)(2n-1)] / 3
Suma cubului primului n numere naturale pare: (2 3 +4 3 +…+(2n)3) = i=1 ∑ n (2i) 3 = 2[n(n+1)] 2
Suma cubului primului n numere naturale impare: (1 3 +3 3 +…+(2n-1) 3 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 3 = n 2 (2n 2 - 1)
Articole similare:
- Suma numerelor naturale
- Suma la matematică
- Operatii aritmetice
- Progresia aritmetică și progresia geometrică
Exemplu despre formula de însumare
Exemplul 1: Găsiți suma primelor 10 numere naturale, folosind formula de însumare.
Soluţie:
Folosind formula de însumare pentru suma n număr natural i=1 ∑ n (i) = [n ×(n +1)]/2
Avem suma primelor 10 numere naturale = i=1 ∑ 10 (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55
Exemplul 2: Găsiți suma a 10 prime numere naturale mai mari decât 5, folosind formula de însumare.
Soluţie:
Conform intrebarii:
Suma a 10 prime numere naturale mai mari decât 5 = i=6 ∑ cincisprezece (i)
= i=1 ∑ cincisprezece (i) – i=1 ∑ 5 (i)
= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2
= 120 – 15
= 105
Exemplul 3: Aflați suma șirului finit dat 1 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 .
Soluţie:
Secvența dată este 1 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 , se poate scrie ca i=1 ∑ 8 i 2 folosind proprietatea/ formula de însumare
i=1 ∑ 8 i 2 = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6
= 204
Exemplul 4: Simplificați c=1 ∑ n kc.
Soluţie:
Având în vedere formula de însumare = c=1 ∑ n kc
= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termeni)
= k (1 + 2 + 3 +….. + n)
c=1 ∑ n kc = k c=1 ∑ n c
Exemplul 5: Simplificați și evaluați x =1 ∑ n (4+x).
Soluţie:
Însumarea dată este x=1 ∑ n (4+x)
După cum știm că c=1 ∑ n (k+c) = nk + c=1 ∑ n c
Însumarea dată poate fi simplificată ca:
4n+ x=1 ∑ n (X)
Exemplul 6: Simplificați x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
Soluţie:
Însumarea dată este x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
așa cum știm că k=1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ n f(k) + k=1 ∑ n g(k)
însumarea dată poate fi simplificată ca x=1 ∑ n (2x) + x=1 ∑ n (X 2 ).
Întrebări frecvente despre Formula de însumare
Ce este formula de însumare a numerelor naturale?
Suma numerelor naturale de la 1 la n se găsește folosind formula n (n + 1) / 2. De exemplu, suma primelor 100 de numere naturale este 100 (100 + 1) / 2 = 5050.
Ce este formula generală de însumare?
Formula generală de însumare utilizată pentru a găsi suma unei secvențe {a 1 , A 2 , A 3 ,…,A n } este, ∑a i = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
Cum folosești ∑?
∑ este simbolul însumării și este folosit pentru a găsi suma seriei.
Care este formula pentru însumarea n?
Formula pentru suma a n numere naturale este, formula pentru suma n numere este [n(n+1)2]
