Logica propozițională
Logica propozițională este o ramură a matematicii care studiază relațiile logice dintre propoziții (sau enunțuri, propoziții, aserțiuni) luate ca un întreg și conectate prin conjunctive logice.
În acest articol, am tratat în detaliu despre logica propozițională și subiectele conexe.
Cuprins
Ce este logica?
Logica este baza oricărui raționament matematic și a tuturor raționamentului automat. Regulile logicii specifică sensul enunțurilor matematice. Aceste reguli ne ajută să înțelegem și să raționăm cu afirmații precum:
Ceea ce în engleză simplă înseamnă Există un număr întreg care nu este suma a două pătrate .
Importanța logicii matematice
Regulile logicii dau sens precis afirmatiilor matematice. Aceste reguli sunt folosite pentru a face distincția între argumentele matematice valide și invalide. Pe lângă importanța sa în înțelegerea raționamentului matematic, logica are numeroase aplicații în Informatică, variind de la proiectarea circuitelor digitale până la construirea de programe de calculator și verificarea corectitudinii programelor.
Logica propozițională
Ce este o Propunere? O propoziție este elementul de bază al logicii. Este definită ca o propoziție declarativă care este fie adevărată, fie falsă, dar nu ambele. The Valoarea Adevărului a unei propoziții este Adevărat (notat ca T) dacă este o afirmație adevărată și Fals (notat ca F) dacă este o afirmație falsă. De exemplu,
- Soarele răsare în est și apune în vest.
- 1 + 1 = 2
- „b” este o vocală.
Toate propozițiile de mai sus sunt propoziții, în care primele două sunt Valid(Adevărat) și a treia este Invalid(Fals). Unele propoziții care nu au o valoare de adevăr sau pot avea mai multe valori de adevăr nu sunt propoziții. De exemplu,
- Cât este ceasul?
- Ieși și joacă
- x + 1 = 2
Propozițiile de mai sus nu sunt propoziții, deoarece primele două nu au o valoare de adevăr, iar a treia poate fi adevărată sau falsă. Pentru a reprezenta propoziții, variabile propoziționale sunt folosite. Prin convenție, aceste variabile sunt reprezentate prin alfabete mici precum
Logica propozițională
Tabelul Adevărului
Deoarece trebuie să cunoaștem valoarea de adevăr a unei propoziții în toate scenariile posibile, luăm în considerare toate combinațiile posibile ale propozițiilor care sunt unite între ele prin conexiuni logice pentru a forma propoziția compusă dată. Această compilare a tuturor scenariilor posibile într-un format tabelar se numește a tabelul de adevăr . Cele mai comune conexiuni logice -
1. Negație
Dacă
| p | ¬p |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
Exemplu, Negație de Azi plouă, este Nu este cazul că plouă astăzi sau pur și simplu Nu plouă astăzi.
2. Conjuncție
Pentru oricare două propoziții
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
Exemplu, Conjuncția propozițiilor
3. Disjuncția
Pentru oricare două propoziții
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Exemplu, Disjuncția propozițiilor
4. Exclusiv Or
Pentru oricare două propoziții
| p | q | p ⊕ q |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Exemplu, Exclusiv sau a propunerilor
5. Implicație
Pentru oricare două propoziții
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
S-ar putea întreba de ce este
Aceasta rezultă din Principiul exploziei care spune: O afirmație falsă implică orice. Enunțurile condiționate joacă un rol foarte important în raționamentul matematic, astfel încât o varietate de terminologie este folosită pentru a exprima
Dacă p, atunci qp este suficient pentru qq când pa condiția necesară pentru p este qp numai dacă qq, cu excepția cazului în care ≠pq decurge din p
Exemplu, Dacă este vineri, atunci plouă astăzi este o propoziție care este de formă
6. Implicație bicondițională sau dublă
Pentru oricare două propoziții
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
Alte moduri comune de exprimare
p este necesar și suficient pentru qif p atunci q și invers dacă q
Exemplu, Azi plouă dacă și numai dacă azi este vineri. este o propoziție care are forma
1) Luați în considerare următoarele afirmații:
- P: Telefoanele mobile bune nu sunt ieftine.
- Î: Telefoanele mobile ieftine nu sunt bune.
- L: P implică Q
- M: Q implică P
- N: P este echivalent cu Q
Care dintre următoarele despre L, M și N este CORECTĂ? (Gate 2014)
(A) Doar L este ADEVĂRAT.
(B) Doar M este ADEVĂRAT.
(C) Doar N este ADEVĂRAT.
(D) L, M și N sunt adevărați.
Pentru rezolvare, vezi PORTA | GATE-CS-2014-(Setul-3) | Întrebarea 11
2) Care dintre următoarele nu este echivalentă cu p?q (Gate 2015)
Pentru rezolvare, vezi PORTA | GATE-CS-2015 (Setul 1) | Întrebarea 65
