Fie L o mulțime nevidă închisă sub două operații binare numite meet and join, notate cu ∧ și ∨. Atunci L se numește rețea dacă următoarele axiome sunt valabile unde a, b, c sunt elemente din L:

1) Legea comutativă: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Drept asociativ:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Legea absorbției: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Dualitate:

Dualul oricărei declarații dintr-o rețea (L,∧ ,∨ ) este definit ca fiind o declarație care se obține prin interschimbarea ∧ cu ∨.

De exemplu , dualul lui a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a este a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Rețele delimitate:

O rețea L se numește rețea mărginită dacă are cel mai mare element 1 și cel puțin element 0.

Exemplu:

1. Mulțimea de puteri P(S) a mulțimii S în cadrul operațiilor de intersecție și unire este o rețea mărginită deoarece ∅ este cel mai mic element al lui P(S) și mulțimea S este cel mai mare element al lui P(S).
2. Mulțimea de +ve întreg I ₊ în ordinea obișnuită a lui ≦ nu este o rețea mărginită deoarece are cel mai mic element 1, dar cel mai mare element nu există.

Proprietățile rețelelor delimitate:

Dacă L este o rețea mărginită, atunci pentru orice element a ∈ L, avem următoarele identități:

1. a ∨ 1 = 1
2. a ∧1= a
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

Teorema: Demonstrați că fiecare rețea finită L = {a ₁ ,A ₂ ,A ₃ ....A _n } este mărginit.

Dovada: Am dat rețeaua finită:

L = {a ₁ ,A ₂ ,A ₃ ....A _n }

Astfel, cel mai mare element al rețelelor L este a ₁ ∨ a ₂ ∨ a _{3∨....∨a n .}

De asemenea, cel mai mic element al rețelei L este a ₁ ∧ a ₂ ∧a ₃ ∧....∧a _n .

Deoarece, cele mai mari și cele mai mici elemente există pentru fiecare rețea finită. Prin urmare, L este mărginit.

Sub-grile:

Luați în considerare o submulțime L nevide ₁ a unei rețele L. Apoi L ₁ se numește sub-rețea L dacă L ₁ însuși este o rețea, adică operația lui L, adică a ∨ b ∈ L ₁ și a ∧ b ∈ L ₁ ori de câte ori un ∈ L ₁ și b ∈ L ₁ .

Exemplu: Luați în considerare rețeaua tuturor + cinci numere întregi I ₊ sub operaţiunea divizibilităţii. Rețeaua D _n dintre toți divizorii lui n > 1 este o subrețea a lui I ₊ .

Determinați toate subrețelele lui D ₃₀ care conțin cel puțin patru elemente, D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Soluţie: Subrețelele lui D ₃₀ care conțin cel puțin patru elemente sunt următoarele:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Rețele izomorfe:

Două grile L ₁ și eu ₂ se numesc rețele izomorfe dacă există o bijecție din L ₁ la L ₂ adică f: L ₁ ⟶ L ₂ , astfel încât f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) și f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Exemplu: Determinați dacă rețelele prezentate în fig. sunt izomorfe.

Soluţie: Rețelele prezentate în fig. sunt izomorfe. Luați în considerare maparea f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. De exemplu f (b ∧ c) = f (a) = 1. De asemenea, avem au f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Rețeaua distributivă:

O rețea L se numește rețea distributivă dacă pentru oricare dintre elementele a, b și c ale lui L, aceasta satisface următoarele proprietăți distributive:

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Dacă rețeaua L nu satisface proprietățile de mai sus, se numește rețea nedistributivă.

Exemplu:

1. Setul de puteri P (S) al mulțimii S sub operația de intersecție și unire este o funcție distributivă. De cand,
   a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
   și, de asemenea, a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) pentru orice mulțimi a, b și c ale lui P(S).
2. Rețeaua prezentată în fig. II este una distributivă. Deoarece, satisface proprietățile distributive pentru toate triplele ordonate care sunt luate din 1, 2, 3 și 4.

Complemente și rețele completate:

Fie L o rețea mărginită cu limita inferioară o și limita superioară I. Fie a un element dacă L. Un element x din L se numește complement al lui a dacă a ∨ x = I și a ∧ x = 0

Se spune că o rețea L este completată dacă L este mărginit și fiecare element din L are un complement.

Exemplu: Determinați complementul lui a și c din fig:

Soluţie: Complementul lui a este d. Deoarece, a ∨ d = 1 și a ∧ d = 0

Complementul lui c nu există. Deoarece, nu există niciun element c astfel încât c ∨ c'=1 și c ∧ c'= 0.

Grilă modulară:

O rețea (L, ∧,∨) se numește rețea modulară dacă a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c ori de câte ori a ≦ c.

Produsul direct al grilajelor:

Lasă (L ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ )și eu ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) fie două grile. Atunci (L, ∧,∨) este produsul direct al rețelelor, unde L = L ₁ x L ₂ în care operația binară ∨(join) și ∧(meet) pe L sunt astfel încât pentru orice (a ₁ ,b ₁ ) și (a ₂ ,b ₂ ) in EU.

(A ₁ ,b ₁ )∨( a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∨ ₁ A ₂ ,b ₁ ∨ ₂ b ₂ )
și (a ₁ ,b ₁ ) ∧ ( a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∧ ₁ A ₂ ,b ₁ ∧ ₂ b ₂ ).

Exemplu: Se consideră o rețea (L, ≦) așa cum se arată în fig. unde L = {1, 2}. Determinați rețelele (L ² , ≦), unde L ² =L x L.

Soluţie: Rețeaua (L ² , ≦) este prezentat în fig: