Ecuația unei drepte într-un plan este dat ca y = mx + C unde x și y sunt coordonatele planului, m este panta dreptei și C este intercepta. Cu toate acestea, construcția unei linii nu se limitează doar la un avion.

Știm că o linie este o cale între două puncte. Aceste două puncte pot fi localizate oriunde, fie că ar putea fi într-un singur plan sau ar putea fi în spațiu. În cazul unui plan, locația dreptei este caracterizată de două coordonate dispuse într-o pereche ordonată dată ca (x, y), în timp ce în cazul spațiului, locația punctului este caracterizată de trei coordonate exprimate ca (x , y, z).

În acest articol, vom afla diferitele forme de ecuații ale liniilor din spațiul 3D.

Cuprins

• Ce este ecuația unei linii?
• Ecuația dreptei în 3D
• Forma carteziană a ecuației dreptei în 3D
• Forma vectorială a ecuației liniilor în 3D
• Formule de linii 3D
• Exemple rezolvate pe ecuația unei linii în 3D

Ce este ecuația unei linii?

Ecuația unei linii este o modalitate algebrică de a exprima o dreaptă în termeni de coordonatele punctelor pe care le unește. Ecuația unei drepte va fi întotdeauna a ecuație liniară .

Dacă încercăm să trasăm punctele obținute dintr-o ecuație liniară va fi a linie dreapta . Ecuația standard a unei linii este dată astfel:

ax + by + c = 0

Unde,

• a și b sunt coeficienți ai lui x și y
• c este un termen constant

Alte forme ale ecuației dreptei sunt menționate mai jos:

Acum vom învăța ecuația dreptei în 3D.

Ecuația dreptei în 3D

Ecuația dreptei în 3D necesită două puncte care sunt situate în spațiu. Locația fiecărui punct este dată folosind trei coordonate exprimate ca (x, y, z).

Ecuația 3D a unei linii este dată în două formate, forma carteziană și formă vectorială . În acest articol vom învăța ecuația unei linii în 3D atât în ​​formă carteziană, cât și în formă vectorială și, de asemenea, vom învăța să derivăm ecuația. Diferitele cazuri pentru ecuația de linie sunt enumerate mai jos:

• Forma carteziană a liniei
  • Linie care trece prin două puncte
  • Linie care trece printr-un punct dat și paralelă cu un vector dat
• Forma vectorială a liniei
  • Linie care trece prin două puncte
  • Linie care trece printr-un punct dat și paralelă cu un vector dat

Forma carteziană a ecuației dreptei în 3D

Forma carteziană a dreptei este dată utilizând coordonatele a două puncte situate în spațiu de unde trece linia. În aceasta vom discuta două cazuri, când linia trece prin două puncte și când linia trece prin puncte și este paralelă cu un vector.

Cazul 1: Ecuația 3D a dreptei în formă carteziană care trece prin două puncte

Să presupunem că avem două puncte A și B ale căror coordonate sunt date ca A(x ₁ , și ₁ , Cu ₁ ) și B(x ₂ , și ₂ , Cu ₂ ).

Apoi, ecuația 3D a dreptei în formă carteziană este dată ca

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

unde, x, y și z sunt coordonate dreptunghiulare.

Derivarea ecuației dreptei care trece prin două puncte

Putem deriva forma carteziană a ecuației 3D a liniei drepte utilizând următorii pași menționați:

• Pasul 1: Găsiți DR (raporturile de direcție) luând diferența coordonatelor de poziție corespunzătoare celor două puncte date. l = (x ₂ - X ₁ ), m = (și ₂ - și ₁ ), n = (z ₂ - Cu ₁ ); Aici l, m, n sunt DR.
• Pasul 2: Alegeți oricare dintre cele două puncte date, să spunem, noi alegem (X ₁ , și ₁ , Cu ₁ ).
• Pasul 3: Scrieți ecuația necesară a dreptei care trece prin puncte (X ₁ , și ₁ , Cu ₁ ) și (x ₂ , și ₂ , Cu ₂ ).
• Pasul 4: Ecuația 3D a dreptei în formă carteziană este dată ca L : (x – x ₁ )/l = (y – y ₁ )/m = (z – z ₁ )/n = (x – x ₁ )/(X ₂ - X ₁ ) = (y – y ₁ )/(și ₂ - și ₁ ) = (z – z ₁ )/(Cu ₂ - Cu ₁ )

Unde (X și Z) sunt coordonatele de poziție ale oricărui punct variabil situat pe linie dreaptă.

Exemplu: Dacă o dreaptă trece prin cele două puncte fixe în 3-dimensional ale căror coordonate de poziție sunt P (2, 3, 5) și Q (4, 6, 12), atunci ecuația ei carteziană folosind forma în două puncte este dată de

Soluţie:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Alegerea punctului P (2, 3, 5)

Ecuația necesară a dreptei

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Cazul 2: Ecuația 3D a dreptei în carteziană care trece printr-un punct și este paralelă cu un vector dat

Să presupunem că dreapta trece printr-un punct P(x ₁ , și ₁ , Cu ₁ ) și este paralelă cu un vector dat ca vec n = ahat i + bhat j + chat k .

Atunci ecuația dreptei este dată ca

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

unde, x, y, z sunt coordonate dreptunghiulare și a, b, c sunt cosinusuri de direcție.

Derivarea ecuației 3D a dreptei în carteziană care trece printr-un punct și paralelă cu un vector dat

Să presupunem că avem un punct P al cărui vector de poziție este dat ca vec p de la origine. Fie dreapta care trece prin P este paralelă cu alt vector vec n . Să luăm un punct R pe dreapta care trece prin P, atunci vectorul de poziție al lui R este dat ca vec r .

Din moment ce, PR este paralel cu vec n ⇒ overline {PR} = lambda vec n

Acum, dacă ne deplasăm pe linia PR, atunci coordonatele oricărui punct care se află pe linie va avea coordonatele sub forma (x ₁ + λa), (și ₁ + λb), (z ₁ + λc), unde λ este un parametru a cărui valoare variază de la -∞ la +∞ în funcție de direcția de la P în care ne deplasăm.

Prin urmare, coordonatele noului punct vor fi

x = x ₁ + λa ⇒ λ = x – x ₁ /A

y = y ₁ + λb ⇒ λ = y – y ₁ /b

z = z ₁ + λc ⇒ λ = z – z ₁ /c

Comparând cele trei ecuații de mai sus avem ecuația dreptei ca

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Exemplu: Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct (2, 1, 3) și paralelă cu un vector 3i – 2j + k

Soluţie:

Ecuația dreptei care trece printr-un punct și paralelă cu un vector este dată ca

(x – x ₁ )/a = (y – y ₁ )/b = (z – z ₁ )/c

Din întrebarea pe care o avem, x ₁ = 2 și ₁ = 1, z ₁ = 3 și a = 3, b = -2 și c = k. Prin urmare, ecuația necesară a dreptei va fi

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Forma vectorială a ecuației liniilor în 3D

Forma vectorială a ecuației liniilor în 3D este dată folosind o ecuație vectorială care implică vectorul de poziție al punctelor. În acest titlu, vom obține ecuația 3D a dreptei în formă vectorială pentru două cazuri.

Cazul 1: Ecuația 3D a dreptei care trece prin două puncte în formă vectorială

Să presupunem că avem două puncte A și B al căror vector de poziție este dat ca vec a și vec b .

Atunci ecuația vectorială a dreptei L este dată ca

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Unde (vec b – vec a) este distanța dintre două puncte și λ este parametrul care se află pe linia.

Derivarea ecuației 3D a dreptei care trece prin două puncte în formă vectorială

Să presupunem că avem două puncte A și B al căror vector de poziție este dat ca vec a și vec b . Acum știm că o linie este distanța dintre oricare două puncte. Prin urmare, trebuie să scădem cei doi vectori de poziție pentru a obține distanța.

⇒ vec d = vec b – vec a

Acum știm că orice punct de pe această dreaptă va fi dat ca sumă a vectorului de poziție vec a space or space vec b cu produsul parametrului λ și vectorul de poziție al distanței dintre două puncte i.e. vec d

Prin urmare, ecuația dreptei în formă vectorială va fi vec l = vec a + lambda (vec b – vec a) sau vec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Exemplu: Găsiți ecuația vectorială a unei drepte în 3D care trece prin două puncte ai căror vectori de poziție sunt dați ca 2i + j – k și 3i + 4j + k

Soluţie:

Având în vedere că cei doi vectori de poziție sunt dați ca 2i + j – k și 3i + 4j + k

Distanța d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Știm că ecuația dreptei este dată ca vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Prin urmare, ecuația dreptei va fi vec l = 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Cazul 2: Forma vectorială a ecuației 3D a dreptei care trece printr-un punct și paralelă cu un vector

Să presupunem că avem un punct P al cărui vector de poziție este dat ca vec p . Fie această dreaptă paralelă cu o altă dreaptă al cărei vector de poziție este dat ca vec d .

Atunci ecuația vectorială a dreptei „l” este dată ca

vec l = vec p + lambda vec d

unde λ este parametrul care se află pe linie.

Derivarea formei vectoriale a ecuației 3D a dreptei care trece printr-un punct și paralelă cu un vector

Se consideră un punct P al cărui vector de poziție este dat ca vec p . Acum să presupunem că această linie este paralelă cu un vector vec d atunci, ecuația dreptei va fi vec l = lambda vec d . Acum, deoarece linia trece și prin punctul P, atunci când ne îndepărtăm de punctul P în oricare direcție pe linie, atunci vectorul de poziție al punctului va fi sub forma vec p + lambda vec d . Prin urmare, ecuația dreptei va fi vec l = vec p + lambda vec d unde λ este parametrul care se află pe linie.

Exemplu: Găsiți forma vectorială a ecuației dreptei care trece prin punctul (-1, 3, 2) și paralelă cu un vector 5i + 7j – 3k.

Soluţie:

Știm că forma vectorială a ecuației unei drepte care trece printr-un punct și paralelă cu un vector este dată ca vec l = vec p + lambda vec d

Având în vedere că punctul este (-1, 3, 2), deci vectorul de poziție al punctului va fi -i + 3j + 2k și vectorul dat este 5i + 7j – 3k.

Prin urmare, ecuația necesară a dreptei va fi vec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Formule de linii 3D

Citiri similare

• Ecuația unei linii drepte
• Tangenta si Normala
• Panta de linie

Exemple rezolvate pe ecuația unei linii în 3D

Exersați ecuațiile de linii în 3D cu aceste întrebări practice rezolvate.

Exemplul 1: Dacă o dreaptă trece prin cele două puncte fixe din 3-dimensional ai căror vectori de poziție sunt (2 i + 3 j + 5 k) și (4 i + 6 j + 12 k), atunci ecuația sa vectorială utilizând cele două puncte forma este dată de

Soluţie:

{vec {p}} = (4 i + 6 j + 12 k ) - (2 i + 3 j + 5 k )

{vec {p}} = (2 i + 3 j + 7 k ); Aici {vec {p}} este un vector paralel cu dreapta

Alegerea vectorului de poziție (2 i + 3 j + 5 k )

Ecuația necesară a dreptei

L: {vec {r}} = (2 i + 3 j + 5 k ) + t . (2 i + 3 j + 7 k )

Exemplul 2: Dacă o dreaptă trece prin cele două puncte fixe din spațiul tridimensional ale căror coordonate de poziție sunt (3, 4, -7) și (1, -1, 6), atunci ecuația sa vectorială utilizând cele două puncte forma este dată de

Soluţie:

Vectorii de poziție ai punctelor date vor fi (3 i + 4 j – 7 k) și (i – j + 6 k)

{vec {p}} = (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}} = (2 i + 5 j – 13 k) ; Aici {vec {p}} este un vector paralel cu dreapta

Alegerea vectorului de poziție (i – j + 6 k)

Ecuația necesară a dreptei

L: {vec {r}} = (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

Exemplul 3: Dacă o dreaptă trece prin cele două puncte fixe din 3-dimensional ai căror vectori de poziție sunt (5 i + 3 j + 7 k) și (2 i + j – 3 k), atunci ecuația sa vectorială folosind forma în două puncte este dat de

Soluţie:

{vec {p}} = (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}} = (3 i + 2 j + 10 k) ; Aici {vec {p}} este un vector paralel cu dreapta

Alegerea vectorului de poziție (2 i + j – 3 k)

Ecuația necesară a dreptei

L: {vec {r}} = (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10k)

Exemplul 4: Dacă o linie dreaptă trece prin cele două puncte fixe din 3-dimensional ale căror coordonate de poziție sunt A (2, -1, 3) și B (4, 2, 1), atunci ecuația ei carteziană utilizând cele două puncte forma este dată de

Soluţie:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Alegerea punctului A (2, -1, 3)

Ecuația necesară a dreptei

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 sau

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Exemplul 5: Dacă o dreaptă trece prin cele două puncte fixe din 3-dimensional ale căror coordonate de poziție sunt X (2, 3, 4) și Y (5, 3, 10), atunci ecuația ei carteziană folosind forma în două puncte este dată de

Soluţie:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Alegerea punctului X (2, 3, 4)

Ecuația necesară a dreptei

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 sau

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Ecuația unei linii în 3D – Întrebări frecvente

Ce este ecuația unei linii în 3D?

Ecuația unei linii în 3D este dată ca (x – x ₁ )/(X ₂ - X ₁ ) = (y – y ₁ )/(și ₂ - și ₁ ) = (z – z ₁ )/(Cu ₂ - Cu ₁ )

Care este forma carteziană a ecuației unei linii în 3D?

Forma carteziană a ecuației dreptei în 3D este dată pentru două cazuri

Cazul 1: Când linia trece prin două puncte: {frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Cazul 2: Când o dreaptă trece printr-un punct și este paralelă cu un vector: {frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Ce este forma vectorială a ecuației unei linii în 3D?

Forma vectorială a ecuației unei linii în 3D este dată pentru două cazuri:

Cazul 1: Linia care trece prin două puncte: vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Cazul 2: trecerea liniei printr-un punct și paralelă cu un vector: vec l = vec p + lambda vec d

Ce este ecuația punctului pantei unei linii?

Punctul pantei Ecuația unei drepte este dată ca y = mx + C unde m este panta

Care este ecuația standard a unei linii?

Ecuația standard a unei linii este ax + by + c = 0