Arbore indexat binar: Actualizare interval și interogări interval
Dată o matrice arr[0..N-1]. Trebuie efectuate următoarele operații.
- actualizare(l r val) : Adăugați „val” la toate elementele din matrice din [l r].
- getRangeSum(l r) : Găsiți suma tuturor elementelor din tablou din [l r].
Inițial, toate elementele din matrice sunt 0. Interogările pot fi în orice ordine, adică pot exista multe actualizări înainte de suma intervalului.
Exemplu:
Intrare: N = 5 // {0 0 0 0 0}
Întrebări: actualizare: l = 0 r = 4 val = 2
actualizare : l = 3 r = 4 val = 3
getRangeSum : l = 2 r = 4Ieșire: Suma elementelor din intervalul [2 4] este 12
Explicaţie: Matricea după prima actualizare devine {2 2 2 2 2}
Matricea după a doua actualizare devine {2 2 2 5 5}
Abordare naivă: Pentru a rezolva problema urmați ideea de mai jos:
În postarea anterioară am discutat soluții de actualizare a intervalului și de interogare a punctelor folosind BIT.
rangeUpdate(l r val): Adăugăm „val” elementului de la indexul „l”. Scădem „val” din elementul de la indicele „r+1”.
getElement(index) [sau getSum()]: returnăm suma elementelor de la 0 la index care poate fi obținută rapid folosind BIT.
Putem calcula rangeSum() folosind interogări getSum().
rangeSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)O soluție simplă este de a folosi soluțiile discutate în postarea anterioară . Interogarea de actualizare a intervalului este aceeași. Interogarea sumei intervalului poate fi realizată prin efectuarea unei interogări get pentru toate elementele din interval.
Abordare eficientă: Pentru a rezolva problema urmați ideea de mai jos:
Obținem suma intervalului folosind sumele prefixelor. Cum să vă asigurați că actualizarea se face într-un mod astfel încât suma prefixului să poată fi făcută rapid? Luați în considerare o situație în care suma prefixului [0 k] (unde 0 <= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.
- Cazul 1 : 0 < k < l
- Interogarea de actualizare nu va afecta interogarea sumă.
- Cazul 2 : l <= k <= r
- Luați în considerare un exemplu: Adăugați 2 la intervalul [2 4] matricea rezultată ar fi: 0 0 2 2 2
Dacă k = 3 Suma din [0 k] = 4Cum să obțineți acest rezultat?
Pur și simplu adăugați val de la l th index la k th index. Suma este incrementată cu „val*(k) - val*(l-1)” după interogarea de actualizare.
- Cazul 3 : k > r
- Pentru acest caz trebuie să adăugăm „val” din l th index la r th index. Suma este incrementată cu „val*r – val*(l-1)” din cauza unei interogări de actualizare.
Observatii:
Cazul 1: este simplu, deoarece suma ar rămâne aceeași ca înainte de actualizare.
Cazul 2: Suma a fost crescută cu val*k - val*(l-1). Putem găsi „val” este similar cu găsirea i th element în articolul de actualizare a intervalului și de interogare a punctelor . Așadar, menținem un BIT pentru Actualizarea intervalului și Interogările punctului, acest BIT va fi util în găsirea valorii la k th index. Acum val * k este calculat cum se gestionează termenul suplimentar val * (l-1)?
Pentru a gestiona acest termen suplimentar menținem un alt BIT (BIT2). Actualizați val * (l-1) la l th index astfel încât atunci când interogarea getSum este efectuată pe BIT2 va da rezultatul ca val*(l-1).
Cazul 3: Suma în cazul în care 3 a fost incrementată cu 'val*r - val *(l-1)' valoarea acestui termen poate fi obținută folosind BIT2. În loc să adăugăm, scădem „val*(l-1) - val*r”, deoarece putem obține această valoare din BIT2 adăugând val*(l-1) așa cum am făcut în cazul 2 și scăzând val*r în fiecare operație de actualizare.
Actualizați interogarea
Actualizare (BITree1 l val)
Actualizare (BITree1 r+1 -val)
UpdateBIT2(BITree2 l val*(l-1))
UpdateBIT2(BITree2 r+1 -val*r)Suma intervalului
getSum(BITTree1 k) *k) - getSum(BITTree2 k)
Urmați pașii de mai jos pentru a rezolva problema:
- Creați cei doi arbori index binari folosind funcția dată constructBITree()
- Pentru a găsi suma într-un interval dat, apelați funcția rangeSum() cu parametri ca interval dat și arbori binari indexați
- Apelați o sumă de funcție care va returna o sumă în intervalul [0 X]
- Întoarce suma(R) - suma(L-1)
- În interiorul acestei funcții, apelați funcția getSum() care va returna suma matricei din [0 X]
- Returnează getSum(Tree1 x) * x - getSum(tree2 x)
- În cadrul funcției getSum() creați o sumă întreagă egală cu zero și creșteți indicele cu 1
- În timp ce indicele este mai mare decât zero, creșteți suma cu Arborele[index]
- Reduceți indexul cu (index și (-index)) pentru a muta indexul la nodul părinte din arbore
- Suma returnată
- Tipăriți suma în intervalul dat
Mai jos este implementarea abordării de mai sus:
C++ // C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include using namespace std ; // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 []) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 []) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } int * constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int * BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver code int main () { int n = 5 ; // Construct two BIT int * BITTree1 * BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 r = 4 ; cout < < 'Sum of elements from [' < < l < < '' < < r < < '] is ' ; cout < < rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) < < ' n ' ; return 0 ; }
Java // Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.* ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int BITree [] int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ] ; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int BITree [] int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int BITTree1 [] int BITTree2 [] int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int BITTree1 [] int BITTree2 [] ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ] ; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function public static void main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; System . out . print ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); System . out . print ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
Python3 # Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum ( BITree : list index : int ) -> int : summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0 : # Add current element of BITree to sum summ += BITree [ index ] # Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit ( BITTree : list n : int index : int val : int ) -> None : # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n : # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree [ index ] += val # Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ) # Returns the sum of array from [0 x] def summation ( x : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ) def updateRange ( BITTree1 : list BITTree2 : list n : int val : int l : int r : int ) -> None : # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit ( BITTree1 n l val ) updateBit ( BITTree1 n r + 1 - val ) # Update BIT2 updateBit ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )) updateBit ( BITTree2 n r + 1 - val * r ) def rangeSum ( l : int r : int BITTree1 : list BITTree2 : list ) -> int : # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation ( r BITTree1 BITTree2 ) - summation ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ) # Driver Code if __name__ == '__main__' : n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [ 0 ] * ( n + 1 ) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print ( 'Sum of elements from [ %d %d ] is %d ' % ( l r rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ))) # This code is contributed by # sanjeev2552
C# // C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System ; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum ( int [] BITree int index ) { int sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT ( int [] BITree int n int index int val ) { // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of // parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum ( int x int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } static void updateRange ( int [] BITTree1 int [] BITTree2 int n int val int l int r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } static int rangeSum ( int l int r int [] BITTree1 int [] BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } static int [] constructBITree ( int n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 int [] BITree = new int [ n + 1 ]; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Code public static void Main ( String [] args ) { int n = 5 ; // Contwo BIT int [] BITTree1 ; int [] BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; Console . Write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); Console . Write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + 'n' ); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
JavaScript < script > // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum ( BITree index ) { let sum = 0 ; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse ancestors of BITree[index] while ( index > 0 ) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree [ index ]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & ( - index ); } return sum ; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT ( BITree n index val ) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 ; // Traverse all ancestors and add 'val' while ( index <= n ) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree [ index ] += val ; // Update index to that of parent in update View index += index & ( - index ); } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum ( x BITTree1 BITTree2 ) { return ( getSum ( BITTree1 x ) * x ) - getSum ( BITTree2 x ); } function updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT ( BITTree1 n l val ); updateBIT ( BITTree1 n r + 1 - val ); // Update BIT2 updateBIT ( BITTree2 n l val * ( l - 1 )); updateBIT ( BITTree2 n r + 1 - val * r ); } function rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum ( r BITTree1 BITTree2 ) - sum ( l - 1 BITTree1 BITTree2 ); } function constructBITree ( n ) { // Create and initialize BITree[] as 0 let BITree = new Array ( n + 1 ); for ( let i = 1 ; i <= n ; i ++ ) BITree [ i ] = 0 ; return BITree ; } // Driver Program to test above function let n = 5 ; // Contwo BIT let BITTree1 ; let BITTree2 ; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree ( n ); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree ( n ); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0 r = 4 val = 5 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10 ; updateRange ( BITTree1 BITTree2 n val l r ); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4 ; document . write ( 'Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is ' ); document . write ( rangeSum ( l r BITTree1 BITTree2 ) + '
' ); // This code is contributed by rag2127 < /script>
Ieșire
Sum of elements from [14] is 50
Complexitatea timpului : O(q * log(N)) unde q este numărul de interogări.
Spațiu auxiliar: PE)
