Sejam A, B e C conjuntos, e seja R uma relação de A com B e seja S uma relação de B com C. Ou seja, R é um subconjunto de A × B e S é um subconjunto de B × C. Então R e S dão origem a uma relação de A a C indicada por R◦S e definida por:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S  

A relação R◦S é conhecida pela composição de R e S; às vezes é denotado simplesmente por RS.

Seja R uma relação sobre um conjunto A, ou seja, R é uma relação de um conjunto A consigo mesmo. Então R◦R, a composição de R consigo mesmo, é sempre representada. Além disso, R◦R às vezes é denotado por R ² . Da mesma forma, R ³ =R ² ◦R = R◦R◦R e assim por diante. Assim R ⁿ é definido para todo n positivo.

Exemplo 1: Seja X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} e Z = {l, m, n}. Considere a relação R ₁ de X para Y e R ₂ de Y a Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)}  

Encontre a composição da relação (eu) R ₁ o R ₂ (ii) R ₁ o R ₁ ^-1

Solução:

(i) A relação de composição R ₁ o R ₂ como mostrado na fig:

R ₁ o R ₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) A relação de composição R ₁ o R ₁ ^-1 como mostrado na fig:

R ₁ o R ₁ ^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Composição de Relações e Matrizes

Existe outra maneira de encontrar R◦S. Deixe m _R e M _S denotam respectivamente as representações matriciais das relações R e S. Então

Exemplo

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR  

Solução: As matrizes da relação R e S são mostradas na fig:

(i) Para obter a composição da relação R e S. Primeiro multiplique M _R com M _S para obter a matriz M _R x M _S como mostrado na fig:

As entradas diferentes de zero na matriz M _R x M _S informa os elementos relacionados em RoS. Então,

Portanto, a composição R o S da relação R e S é

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.  

(ii) Primeiro, multiplique a matriz M _R por si só, como mostrado na fig.

Portanto, a composição R o R da relação R e S é

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}  

(iii) Multiplique a matriz M _S com M _R para obter a matriz M _S x M _R como mostrado na fig:

As entradas diferentes de zero na matriz M _S x M _R informa os elementos relacionados em S o R.

Portanto, a composição S o R da relação S e R é

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.