LOGIQUE PROPOSITIONNELLE

La logique propositionnelle est une branche des mathématiques qui étudie les relations logiques entre les propositions (ou déclarations, phrases, assertions) prises dans leur ensemble et reliées via des connecteurs logiques.

Dans cet article, nous avons abordé en détail la logique propositionnelle et les sujets connexes.

Table des matières

Qu’est-ce que la logique ?
Logique propositionnelle
Table de vérité

1. Négation
2. Conjonction
3. Disjonction
4. Exclusif ou
5. Conséquences
6. Biconditionnel ou double implication

Qu’est-ce que la logique ?

La logique est la base de tout raisonnement mathématique et de tout raisonnement automatisé. Les règles de logique précisent la signification des énoncés mathématiques. Ces règles nous aident à comprendre et à raisonner des affirmations telles que :

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Ce qui signifie en anglais simple Il existe un entier qui n'est pas la somme de deux carrés .

Importance de la logique mathématique

Les règles de la logique donnent un sens précis aux énoncés mathématiques. Ces règles sont utilisées pour faire la distinction entre les arguments mathématiques valides et invalides. Outre son importance dans la compréhension du raisonnement mathématique, la logique a de nombreuses applications en informatique, allant de la conception de circuits numériques à la construction de programmes informatiques et à la vérification de l'exactitude des programmes.

Qu'est-ce qu'une proposition ? Une proposition est l’élément de base de la logique. Il est défini comme une phrase déclarative qui est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux. Le Valeur de vérité d'une proposition est Vrai(noté T) s'il s'agit d'une déclaration vraie, et Faux(noté F) s'il s'agit d'une fausse déclaration. Par exemple,

Le soleil se lève à l'Est et se couche à l'Ouest.
1 + 1 = 2
« b » est une voyelle.

Toutes les phrases ci-dessus sont des propositions, où les deux premières sont Valides (Vrai) et la troisième est Invalide (Faux). Certaines phrases qui n'ont pas de valeur de vérité ou qui peuvent en avoir plusieurs ne sont pas des propositions. Par exemple,

Quelle heure est-il?
Sortez et jouez
x + 1 = 2

Les phrases ci-dessus ne sont pas des propositions car les deux premières n’ont pas de valeur de vérité et la troisième peut être vraie ou fausse. Pour représenter des propositions, variables propositionnelles sont utilisés. Par convention, ces variables sont représentées par des petits alphabets tels que p,:q,:r,:s . Le domaine de la logique qui traite des propositions est appelé calcul propositionnel ou logique propositionnelle . Cela implique également de produire de nouvelles propositions à partir de celles existantes. Les propositions construites à partir d'une ou plusieurs propositions sont appelées propositions composées . Les propositions sont combinées entre elles en utilisant Connecteurs logiques ou Opérateurs logiques .

Logique propositionnelle

Table de vérité

Puisque nous avons besoin de connaître la valeur de vérité d'une proposition dans tous les scénarios possibles, nous considérons toutes les combinaisons possibles des propositions qui sont reliées entre elles par des connecteurs logiques pour former la proposition composée donnée. Cette compilation de tous les scénarios possibles sous forme de tableau est appelée un table de vérité . Connecteurs logiques les plus courants -

1. Négation

Si p est une proposition, alors la négation de p est noté par eg p , qui, traduit en anglais simple, signifie : Il n'est pas vrai que p ou tout simplement pas p . La valeur de vérité de -p est l'opposé de la valeur de vérité de p . La table de vérité de -p est:

p	¬p
T	F
F	T

Exemple, La négation de Il pleut aujourd'hui, n'est-il pas vrai qu'il pleut aujourd'hui ou simplement Il ne pleut pas aujourd'hui.

2. Conjonction

Pour deux propositions quelconques p et q , leur conjonction est notée pwedge q , ce qui signifie p et q . La conjonction pwedge q est vrai quand les deux p et q sont vrais, sinon faux. La table de vérité de pwedge q est:

p	q	p ∧q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Exemple, Conjonction des propositions p – Aujourd’hui c’est vendredi et q - Il pleut aujourd'hui, pwedge q Aujourd'hui, c'est vendredi et il pleut aujourd'hui. Cette proposition est vraie uniquement les vendredis pluvieux et est fausse tout autre jour de pluie ou les vendredis où il ne pleut pas.

3. Disjonction

Pour deux propositions quelconques p et q , leur disjonction est notée pvee q , ce qui signifie p ou q . La disjonction pvee q est vrai quand soit p ou q est vrai, sinon faux. La table de vérité de pvee q est:

p	q	p ∨q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Exemple, Disjonction des propositions p – Aujourd’hui c’est vendredi et q - Il pleut aujourd'hui, pvee q est Aujourd'hui, c'est vendredi ou il pleut aujourd'hui. Cette proposition est vraie n'importe quel jour qui est un vendredi ou un jour de pluie (y compris les vendredis pluvieux) et est fausse n'importe quel jour autre que le vendredi lorsqu'il ne pleut pas non plus.

4. Exclusif ou

Pour deux propositions quelconques p et q , leur exclusivité ou est désigné par poplus q , ce qui signifie soit p ou q mais pas les deux. L'exclusivité ou poplus q est vrai quand soit p ou q est vrai et faux lorsque les deux sont vrais ou que les deux sont faux. La table de vérité de poplus q est:

p	q	p ⊕q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Exemple, Exclusif ou des propositions p – Aujourd’hui c’est vendredi et q - Il pleut aujourd'hui, poplus q Soit nous sommes vendredi, soit il pleut aujourd'hui, mais pas les deux. Cette proposition est vraie n'importe quel jour qui est un vendredi ou un jour de pluie (à l'exclusion des vendredis pluvieux) et est fausse tout autre jour que le vendredi lorsqu'il ne pleut pas ou qu'il ne pleut pas les vendredis.

5. Conséquences

Pour deux propositions quelconques p et q , la déclaration si p alors q s'appelle une implication et elle est notée p ightarrow q . Dans l'implication p ightarrow q , p s'appelle le hypothèse ou antécédent ou prémisse et q s'appelle le conclusion ou conséquence . L'implication est p ightarrow q est aussi appelé un instruction conditionnelle . L'implication est fausse quand p est vrai et q est faux sinon c'est vrai. La table de vérité de p ightarrow q est:

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

On pourrait se demander pourquoi p ightarrow q vrai quand p c'est faux. C'est parce que l'implication garantit que lorsque p et q sont vrais, alors l'implication est vraie. Mais l'implication ne garantit rien lorsque la prémisse p c'est faux. Il n'y a aucun moyen de savoir si l'implication est fausse ou non puisque p ne s'est pas passé. Cette situation est similaire à la position Innocent jusqu’à preuve du contraire, ce qui signifie que l’implication p ightarrow q est considéré comme vrai jusqu'à preuve du contraire. Puisque nous ne pouvons pas appeler l'implication p ightarrow q faux quand p est faux, notre seule alternative est de dire que c'est vrai.

Cela découle du Principe d'explosion qui dit : Une déclaration fausse implique n'importe quoi. Les déclarations conditionnelles jouent un rôle très important dans le raisonnement mathématique, c'est pourquoi une variété de terminologie est utilisée pour exprimer p ightarrow q , dont certains sont répertoriés ci-dessous.

Si p, alors qp est suffisant pour qq lorsque pa la condition nécessaire pour p est qp seulement si qq sauf si ≠pq découle de p

Exemple, Si c'est vendredi alors il pleut aujourd'hui c'est une proposition qui est de la forme p ightarrow q . La proposition ci-dessus est vraie si ce n'est pas vendredi (la prémisse est fausse) ou si c'est vendredi et qu'il pleut, et elle est fausse quand c'est vendredi mais qu'il ne pleut pas.

6. Biconditionnel ou double implication

Pour deux propositions quelconques p et q , la déclaration p si et seulement si(si) q est appelé un biconditionnel et il est noté pleftrightarrow q . La déclaration pleftrightarrow q est aussi appelé un bi-implication . pleftrightarrow q a la même valeur de vérité que (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) L'implication est vraie lorsque p et q ont les mêmes valeurs de vérité et sont faux sinon. La table de vérité de pleftrightarrow q est:

p	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Quelques autres façons courantes d'exprimer pleftrightarrow q sont:

p est nécessaire et suffisant pour qif p alors q, et réciproquementp si q

Exemple, il pleut aujourd'hui si et seulement si c'est vendredi aujourd'hui. est une proposition qui est de la forme pleftrightarrow q . La proposition ci-dessus est vraie si ce n'est pas vendredi et qu'il ne pleut pas ou si c'est vendredi et qu'il pleut, et elle est fausse quand ce n'est pas vendredi ou qu'il ne pleut pas. Exercice:

1) Considérez les affirmations suivantes :