Transpozycja macierzy jest bardzo powszechną metodą stosowaną do transformacji macierzy w algebrze liniowej. Transpozycję macierzy uzyskuje się poprzez zamianę wierszy i kolumn danej macierzy lub odwrotnie. Transpozycję macierzy można zastosować w celu uzyskania sprzężenia i odwrotności macierzy.

Zanim poznamy szczegóły transpozycji macierzy, dowiedzmy się najpierw, czym jest macierz?. Macierz to nic innego jak reprezentacja zbioru danych w formacie tablicy prostokątnej. W macierzy dane są ułożone w określone wiersze i kolumny. W matematyce istnieją różne typy macierzy, które są prezentowane w kolejności wiersze × kolumny. Weźmy przykład macierzy rzędu 3 × 2 (powiedzmy A).

A = egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}

W tym artykule dowiemy się o transpozycja macierzy, jej typy, właściwości, symbole i kolejność, jak znaleźć transpozycję macierzy i jej przykłady.

Spis treści

• Co to jest matryca?
• Rodzaje macierzy
• Co to jest transpozycja macierzy?
• Symbol macierzy transpozycji | Notacja transpozycji
• Kolejność macierzy transpozycji
• Jak znaleźć transpozycję macierzy?
• Transpozycja macierzy wierszy i kolumn
• Transpozycja macierzy poziomych i pionowych
• Transpozycja macierzy symetrycznej
• Transpozycja macierzy diagonalnej
• Transpozycja transponowanej macierzy
• Transpozycja macierzy kwadratowej
• Transpozycja macierzy 3 × 3
• Wyznacznik transpozycji macierzy
• Transpozycja właściwości macierzy

Co to jest matryca?

Prostokątna tablica liczb, symboli lub znaków przypisanych do określonego wiersza i kolumny nazywana jest macierzą. Liczby, symbole lub znaki obecne w macierzy nazywane są elementami macierzy. Liczba wierszy i kolumn występujących w macierzy określa porządek macierzy. Na przykład, jeśli macierz „A” zawiera wiersze „i” i kolumny „j”, wówczas macierz jest reprezentowana przez [A]i⨯j. Tutaj i⨯j określa rząd macierzy. Zobaczmy przykład macierzy.

egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}_{3 imes2}

W powyższym przykładzie mamy trzy wiersze i dwie kolumny, stąd rząd macierzy wynosi 3⨯2.

Rodzaje macierzy

Istnieją różne typy macierzy w zależności od liczby wierszy i kolumn, a także ze względu na określone przez nie cechy. Zobaczmy kilka z nich

• Macierz wierszy: Macierz, w której jest tylko jeden wiersz i nie ma żadnej kolumny, nazywana jest macierzą wierszową.
• Macierz kolumn: Macierz, w której jest tylko jedna kolumna i teraz wiersz, nazywana jest macierzą kolumnową.
• Matryca pozioma: Macierz, w której liczba wierszy jest mniejsza niż liczba kolumn, nazywana jest macierzą poziomą.
• Matryca pionowa: Macierz, w której liczba kolumn jest mniejsza niż liczba wierszy, nazywana jest macierzą pionową.
• Macierz prostokątna: Macierz, w której liczba wierszy i kolumn jest różna, nazywana jest macierzą prostokątną.
• Macierz kwadratowa: Macierz, w której liczba wierszy i kolumn jest taka sama, nazywa się macierzą kwadratową.
• Macierz diagonalna: Macierz kwadratowa, w której elementy niediagonalne mają wartość zero, nazywana jest macierzą diagonalną.
• Macierz zerowa: Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywana jest macierzą zerową.
• Macierz jednostek: Macierz diagonalna, której wszystkie elementy przekątne wynoszą 1, nazywana jest macierzą jednostkową.
• Macierz symetryczna: Mówi się, że macierz kwadratowa jest symetryczna, jeśli transpozycja macierzy pierwotnej jest równa jej macierzy pierwotnej. tj. (A ^T ) = A.
• Skośno-symetryczny: Macierz skośnosymetryczna (lub antysymetryczna lub antymetryczna [1]) jest macierzą kwadratową, której transpozycja jest równa jej wartości ujemnej, tj. (A ^T ) = -A.

Przeczytaj także , Rodzaje macierzy

Co to jest transpozycja macierzy?

Transpozycja macierzy to macierz, którą otrzymujemy poprzez zamianę wierszy i kolumn danej macierzy lub odwrotnie, czyli dla danej macierzy elementy w wierszach zamieniane są z elementami w kolumnach. Dla dowolnej macierzy A jej transpozycja jest oznaczona jako A ^T lub A ^T .

Transpozycja definicji macierzy

Transpozycja macierzy to operacja matematyczna polegająca na odwróceniu wierszy i kolumn oryginalnej macierzy.

Reprezentacja transpozycji macierzy

A = [a _(ij) ] _{m × rz}
A ^T = [a _(od) ] _{n × m}

tutaj i, j przedstawiają położenie elementu macierzy, odpowiednio w wierszach i kolumnach, w taki sposób, że 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n.

Przykład: Dla dowolnej macierzy A porządku 2 × 3 to transpozycja?

A = egin{bmatrix} 2 & 5 & 3 4 & 7 & 0 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Transpozycja A

A ^T = egin{bmatrix} 2 & 4 5 & 7 3 & 0 end{bmatrix}

Zakon A ^T Jest 3×2

Symbol macierzy transpozycji | Notacja transpozycji

Transpozycja macierzy to operacja odwracająca macierz wokół jej głównej przekątnej i zamieniająca jej wiersze z kolumnami. Transpozycja macierzy A oznaczana jest notacją A’ lub A ^T lub A ^T .

Kolejność macierzy transpozycji

Kolejność macierzy określa całkowitą liczbę elementów zawartych w macierzy. Reprezentuje również liczbę wierszy i kolumn w macierzy. Wartości poziome reprezentują wiersze macierzy, a wartości pionowe reprezentują kolumny macierzy. Dla dowolnej macierzy A _m×n , kolejność jest m×n, tj. ma m wierszy i n kolumn. Zatem transpozycją macierzy A jest A ^T a jego rząd wynosi n×m, tj. ma n wierszy i m kolumn.

Jak znaleźć transpozycję macierzy?

Transpozycję dowolnej macierzy można łatwo znaleźć, zmieniając wartości w wierszach z wartościami w kolumnach. Weźmy przykład, aby zrozumieć to szczegółowo.

Dla dowolnej macierzy A ₂₃ , kolejność wynosi 2×3, co oznacza, że ​​ma 2 wiersze i 3 kolumny.

A = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z end{bmatrix}

Transpozycją macierzy A jest A ^T rzędu 3×2 mającego 3 rzędy i 2 kolumny. W macierzy transpozycji elementy pierwszego wiersza danej macierzy zamieniane są z pierwszą kolumną macierzy transpozycji. Podobnie elementy drugiego wiersza danej macierzy A zamieniane są z drugą kolumną nowej macierzy A ^T i tak dalej, aż cała macierz zostanie zamieniona.

A ^T = egin{bmatrix} a & x b & y c & z end{bmatrix}

Transpozycja macierzy wierszy i kolumn

Macierz zawierająca jeden wiersz nazywana jest macierzą wierszową, natomiast macierz posiadająca jedną kolumnę nazywana jest macierzą kolumnową. Transpozycja macierzy wierszowej jest macierzą kolumnową i odwrotnie. Na przykład, jeśli P jest macierzą kolumnową rzędu 4 × 1, to jej transpozycja jest macierzą wierszową rzędu 1 × 4. Jeżeli Q jest macierzą wierszową rzędu 1 × 3, to jej transpozycja jest macierzą kolumnową rzędu 3 × 1.

P = left[egin{array}{cccc} a & b & c & dend{array} ight]⇒ P^{t} = left[egin{array}{c} a b c d end{array} ight]

Q = left[egin{array}{c} p q r end{array} ight]⇒ Q^{t} = left[egin{array}{ccc} p & q & rend{array} ight]

Transpozycja macierzy poziomych i pionowych

Jeśli liczba wierszy macierzy jest mniejsza niż liczba kolumn, wówczas macierz nazywa się macierzą poziomą, a jeśli liczba kolumn w macierzy jest mniejsza niż liczba wierszy, wówczas macierz nazywa się macierzą matryca pionowa. Transpozycja macierzy poziomej jest macierzą pionową i odwrotnie. Na przykład, jeśli M jest macierzą poziomą rzędu 2 × 3, to jej transpozycja jest macierzą pionową rzędu 3 × 2.

M = left[egin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 0 & 3 & 4 end{array} ight]_{2 imes3}⇒ M^{t} = left[egin{array}{cc} 2 & 0 0 & 3 -1 & 4 end{array} ight]_{3 imes2}

N = left[egin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 4 & 6 & 8 6 & 9 & 12 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{4 imes3}⇒ N^{t} = left[egin{array}{cccc} 2 & 4 & 6 & 8 3 & 6 & 9 & 12 4 & 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{3 imes4}

Transpozycja macierzy symetrycznej

Macierz symetryczna przypomina specjalny rodzaj wzoru, w którym liczby są rozmieszczone w sposób odzwierciedlający się nawzajem na przekątnej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu. Transpozycja macierzy oznacza odwrócenie macierzy po tej przekątnej.

Na przykład,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Liczby po obu stronach przekątnej są takie same: 2 jest naprzeciwko 2, 3 jest naprzeciwko 3 i tak dalej. Teraz, jeśli weźmiemy transpozycję tej macierzy, po prostu odwrócimy ją nad linią ukośną. Zatem liczby, które pierwotnie znajdowały się w wierszach, stają się kolumnami i odwrotnie.

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Tutaj oryginalna macierz i jej transpozycja są dokładnie takie same. Dzieje się tak, ponieważ transponując macierz symetryczną, otrzymujesz z powrotem tę samą macierz! Jest to szczególna właściwość macierzy symetrycznych.

Transpozycja macierzy diagonalnej

Macierz diagonalna przypomina wzór, w którym liczby pojawiają się tylko wzdłuż linii ukośnej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu, podczas gdy wszystkie pozostałe wpisy są zerami. Transpozycja macierzy oznacza odwrócenie macierzy po tej przekątnej.

Na przykład,

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Tutaj liczby 2, 3 i 5 pojawiają się wzdłuż przekątnej, podczas gdy wszystkie pozostałe wpisy są zerami. Ponieważ macierz diagonalna jest już symetryczna na swojej przekątnej, transpozycja macierzy diagonalnej jest po prostu sama w sobie:

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Transpozycja transponowanej macierzy

Kiedy transponujesz macierz, zasadniczo odwracasz ją nad jej ukośną linią. Zatem transpozycja macierzy, która została już transponowana, oznacza odwrócenie jej z powrotem do pierwotnej orientacji.

Na przykład,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix}

Teraz, jeśli weźmiemy transpozycję tej transponowanej macierzy:

left( egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix} ight)^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix}

Transpozycja macierzy kwadratowej

Macierze kwadratowe to macierze, które mają taką samą liczbę wierszy i kolumn. dla dowolnej macierzy kwadratowej A _n×n , jego transpozycja ma ten sam porządek, tj. transpozycja A, A ^T ma rząd n × n. Wiersze i kolumny są zamieniane w transpozycji macierzy kwadratowej.

Transpozycja macierzy 2 × 2

Dla dowolnej macierzy 2 × 2 A,

A = egin{bmatrix} a & x b & y end{bmatrix}

jego transpozycja to A ^T ,

A ^T = egin{bmatrix} a & b x & y end{bmatrix}

Przykład: Znajdź transpozycję macierzy A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Transpozycja macierzy A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix} Jest

A ^T = egin{bmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{bmatrix}

Transpozycja macierzy 3 × 3

Dla dowolnej macierzy 3 × 3 A,

A = egin{bmatrix} a & x & p b & y & q c & z & r end{bmatrix}

jego transpozycja to A ^T ,

A ^T = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z p & q & r end{bmatrix}

Przykład: Znajdź transpozycję macierzy A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Transpozycja macierzy A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Jest

A ^T = egin{bmatrix} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end{bmatrix}

Wyznacznik transpozycji macierzy

Wyznacznik transpozycji macierzy A jest równy wyznacznikowi samej macierzy A, tj. dla dowolnej macierzy kwadratowej A

|A| = |A ^T |

Transpozycja właściwości macierzy

Poznajmy ważne właściwości transpozycji macierzy:

• Mówi się, że macierz kwadratowa A rzędu n × n jest macierzą ortogonalną, jeśli AA ^T = A ^T A = I, gdzie I jest macierzą tożsamościową rzędu n × n.
• Mówi się, że macierz kwadratowa A rzędu n × n jest macierzą symetryczną, jeśli jej transpozycja jest taka sama jak macierzy pierwotnej, tj. A ^T = A.
• Mówi się, że macierz kwadratowa A rzędu n × n jest macierzą skośno-symetryczną, jeśli jej transpozycja jest równa wartości ujemnej macierzy pierwotnej, tj. A ^T = –A.
• Podwójna transpozycja macierzy: Transpozycja macierzy transpozycji jest samą macierzą oryginalną.

(A ^T ) ^T = A

• Transpozycja iloczynu macierzy: Ta nieruchomość o tym mówi

(AB) ^T = B ^T A ^T

Dowód:

Jeśli macierze A i B są rzędu m × n i n × p, odpowiednio.

I

A ^T oraz b ^T są transpozycją macierzy A i B rzędu n × m i p × n (z reguły iloczynu macierzy).

Oznacza to, że jeśli A = [a(ij)] i A ^T = [c(z)]

Wtedy [c(ji)] = [a(ij)]

I,

Jeżeli B = [b(jk)] i B ^T = [d(kj)]

Wtedy [d(kj)] = [b(jk)]

Teraz, z reguły iloczynu macierzy, możemy napisać,

AB to macierz m × p i (AB) ^T jest macierzą p × m.

Również B ^T jest macierzą p × n, a A ^T jest macierzą n × m.

To daje do zrozumienia ze,

(B ^T )(A ^T ) jest macierzą p × m.

Dlatego,

(AB) ^T oraz b ^T )(A ^T ) są obiema macierzami p × m.

Teraz możemy napisać,

(k, ja) ^t element (AB) ^T = (i, k) ^t element AB

sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} sum_{j=1}^{n} c_{ji} d_{kj}

sum_{j=1}^{n} d_{kj} c_{ji}

(k, i)t element (B ^T )(A ^T )

Dlatego,

elementy (AB) ^T I (B ^T )(A ^T ) są równe.

Dlatego,

(AB) ^T = (B ^T )(A ^T )

• Mnożenie przez stałą: Jeśli macierz zostanie pomnożona przez wartość skalarną i zostanie wykonana jej transpozycja, wówczas otrzymana macierz będzie równa transpozycji macierzy oryginalnej pomnożonej przez wartość skalarną, tj. (kA) ^T = kA ^T , gdzie k jest wartością skalarną.

Dowód:

Rozważmy macierz A = [a _ja ] _{m × rz} i skalar k.

Rząd danej macierzy A wynosi m × n.

Jeśli macierz A pomnożymy przez wartość skalarną k, to wszystkie elementy macierzy zostaną pomnożone przez tę stałą skalarną k, przy czym rząd macierzy kA pozostanie taki sam, tj. m × n.

Teraz kolejność transpozycji macierzy kA, tj. (kA) ^T będzie n × m.

Ponieważ rząd macierzy A wynosi m × n, rząd jej macierzy transpozycji, tj. A ^T będzie n × m.

Jeżeli macierz A ^T jest mnożona przez wartość skalarną k, a następnie rząd macierzy kA ^T będzie również n × m.

Zatem rząd macierzy (kA) ^T i kA ^T jest takie samo, tj. n × m.

Teraz udowodnijmy, że odpowiednie elementy (kA) ^T i kA ^T są równe.

(i, j)-ty element (kA) ^T będzie równy (j, i)-temu elementowi kA.

(i, j) ^t element (kA) ^T = (j, ja) ^t element kA

⇒ (i, j) ^t element (kA) ^T = (i, j) ^t element kA ^T

Mówimy więc, że odpowiednie elementy (kA) ^T i kA ^T są równe.

Jako kolejność i odpowiadające jej elementy (kA) ^T i kA ^T są równe,

Dlatego możemy to stwierdzić (kA) ^T = kA ^T .

• Transpozycja dodawania macierzy: Ta nieruchomość o tym mówi.

(A + B) ^T = A ^T + B ^T

Dowód:

Tutaj A i B są dwiema macierzami porządku m × rz

Pozwalać, A = [a(ij)] I B = [b(ij)] porządku m × rz .

Więc, (A + B) też jest w porządku m × rz matryca

Również, A ^T I B ^T są w porządku n × m matryce.

Zatem, Transpozycja macierzy (A + B) Lub (A + B) ^T jest n × m matryca.

Teraz możemy powiedzieć, A ^T + B ^T jest również n × m matryca.

Teraz, z reguły transpozycji,
(j, i)t element (A + B) ^T = (i, j)th element (A + B)

= (i, j)th element A + (i, j)th element B
= (j, i)t element A ^T + (j, i)t element B ^T
= (j, i)t element (A ^T + B ^T )

Dlatego,

(A + B) ^T = A ^T + B ^T

• Jeśli A jest macierzą kwadratową dowolnego rzędu i jest odwracalna, to odwrotność jej transpozycji jest równa transpozycji odwrotności macierzy pierwotnej, tj. (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T .

Dowód:

Aby to udowodnić (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T , rozważmy nieosobliwą macierz kwadratową A.

RHS = (A ^-1 ) ^T

Teraz pomnóż (A ^-1 ) ^T przez A ^T

= (A ^-1 ) ^T × A ^T

Wiemy, że (AB) ^T = B ^T A ^T

Zatem (A ^-1 ) ^T A ^T = (AA ^-1 ) ^T

Wiemy, że AA ^-1 = I, gdzie I jest macierzą tożsamości.

Zatem (A ^-1 ) ^T A ^T = ja ^T

⇒ (A ^-1 ) ^T A ^T = ja (ponieważ I ^T = ja)

⇒ (A ^-1 ) ^T = (A ^T ) ^-1 = LHS

Stąd udowodnione.

Dlatego, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Ludzie czytali także:

• Spójność macierzy
• Wyznacznik macierzy
• Odwrotność macierzy

Rozwiązane przykłady transpozycji macierzy

Przykład 1: Znajdź transpozycję macierzy A = egin{bmatrix} a & b & c p & q & r end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Transpozycją macierzy A jest A ^T

A ^T = egin{bmatrix} a & p b & q c & r end{bmatrix}

Przykład 2: W przypadku macierzy A = egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} I B = egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

Udowodnić, że dla tych macierzy zachodzi własność (AB) ^T = (B ^T )(A ^T )

Rozwiązanie:

Tutaj są A i B 23 I 3×2 odpowiednio matryce. Zatem, korzystając z reguły iloczynu macierzy, możemy znaleźć ich iloczyn i końcową macierz 2×2 matryca.

L.H.S

Teraz,

AB= egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

AB =egin{bmatrix} (-2)×2+1×(-3)+3×4 & (-2)×1+1×0+3×(-5) 0×2+4×(-3)+(-1)×4 & 0×1+4×0+(-1)×(-5) end{bmatrix}

AB= egin{bmatrix} 5 & -17 -16 & 5 end{bmatrix}

Zatem transpozycja macierzy AB wynosi:

(AB)^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix}

I

B^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix}

Więc,

B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2×(-2)+(-3)×1+4×3 & 2×0+(-3)×4+4×(-1) 1×(-2)+0×1+(-5)×3 & 1×0+0×4+(-5)×(-1) end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

Dlatego,

(AB) ^T = B ^T A ^T

Przykład 3: Sprawdź, czy (Q ^T ) ^T = Q, czy nie.

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Rozwiązanie:

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Q^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]^{T}

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight] = Q

Stąd zweryfikowane.

Przykład 4: Sprawdź, czy podana poniżej macierz jest symetryczna czy nie.

P = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]

Rozwiązanie:

Wiemy, że macierz kwadratowa P rzędu n × n nazywana jest macierzą symetryczną, jeśli jej transpozycja jest taka sama jak macierz pierwotna, tj. P ^T = P.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]^{T}

Teraz P ^T uzyskuje się poprzez zamianę jego wierszy na kolumny.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight] = P

Jak P ^T = P, podana macierz kwadratowa jest symetryczna.

Przykład 5: Dla macierzy A= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} I B= egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix}

Udowodnić, że te macierze posiadają tę własność (A + B) ^T = A ^T + B ^T

Rozwiązanie:

L.H.S

(A+B)= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 5+(-2) 3+5 & 2+4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 6 end{bmatrix}

Więc,

(A+B)^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix}

I,

B^{t} = egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix}

Teraz,

A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 3+5 5+(-2) & 2+4 end{bmatrix} A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

Dlatego,

(A + B) ^T = A ^T + B ^T

Często zadawane pytania dotyczące transpozycji macierzy

Co to jest transpozycja macierzy?

Transpozycja macierzy to macierz uzyskana poprzez zamianę wierszy i kolumn macierzy. Transpozycja macierzy A jest oznaczona jako A ^T . Dla danej macierzy rzędu m×n transpozycja macierzy jest rzędu n×m.

Jaki jest rząd transpozycji macierzy kwadratowej?

Dla macierzy kwadratowej porządek macierzy nie zmienia się w transpoe, zatem dla macierzy rzędu n×n rząd jej transpozycji również wynosi n×n.

Jaka jest właściwość dodawania macierzy transpozycji?

Właściwość dodawania transpozycji macierzy stwierdza, że ​​suma dwóch macierzy transpozycji jest zawsze równa sumie transpozycji poszczególnych macierzy, tj.

(A+B)′ = A′+B′

Jaka jest właściwość mnożenia macierzy transpozycji?

Właściwość mnożenia transpozycji macierzy stwierdza, że ​​iloczyn transpozycji dwóch macierzy jest zawsze równy iloczynowi transpozycji poszczególnych macierzy w odwrotnej kolejności, tj.

(A×B)′ = B′ × A′

Jak obliczyć transpozycję macierzy?

Transpozycję dowolnej macierzy można łatwo znaleźć, zmieniając wartości w wierszach z wartościami w kolumnach.