W matematyce sumowanie to podstawowe dodawanie ciągu dowolnych liczb, zwane dodawaniem lub sumowaniem; wynikiem jest ich suma lub suma. W matematyce liczby, funkcje, wektory, macierze, wielomiany i ogólnie elementy dowolnego obiektu matematycznego można powiązać z operacją zwaną dodawaniem/sumowaniem, oznaczaną jako +.

Sumowanie jawnej sekwencji oznacza się jako ciąg dodatków. Na przykład sumowanie (1, 3, 4, 7) może opierać się na 1 + 3 + 4 + 7, a wynikiem dla powyższego zapisu jest 15, czyli 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Ponieważ operacja dodawania jest zarówno łączna, jak i przemienna, nie ma potrzeby stosowania nawiasów podczas wypisywania serii/sekwencji, a wynik będzie taki sam niezależnie od kolejności sum.

Spis treści

• Co to jest formuła podsumowująca?
• Gdzie stosować formułę podsumowującą?
• Właściwości sumowania
• Standardowe formuły podsumowujące
• Przykład dotyczący wzoru sumującego
• Często zadawane pytania dotyczące formuły podsumowania

Co to jest formuła podsumowująca?

Notacja sumacyjna lub notacja sigma (∑) to metoda używana do zapisywania długich sum w zwięzły sposób. Zapis ten można dołączyć do dowolnej formuły lub funkcji.

Na przykład, _ja=1 ∑ ¹⁰ (i) jest zapisem sigma dodawania skończonego ciągu 1 + 2 + 3 + 4… + 10, gdzie pierwszy element to 1, a ostatni element to 10.

Formuły podsumowujące

Gdzie stosować formułę podsumowującą?

Notację sumacyjną można stosować w różnych dziedzinach matematyki:

• Sekwencja w serii
• Integracja
• Prawdopodobieństwo
• Permutacja i kombinacja
• Statystyka

Notatka: Sumowanie to krótka forma powtarzalnego dodawania. Sumowanie możemy również zastąpić pętlą dodawania.

Właściwości sumowania

Właściwość 1

_ja=1 ∑ ^N do = do + do + do +…. + do (n) razy = nc

Na przykład: Znajdź wartość _ja=1 ∑ ⁴ C.

Korzystając z właściwości 1, możemy bezpośrednio obliczyć wartość _ja=1 ∑ ⁴ c jako 4×c = 4c.

Własność 2

_c=1 ∑ ^N kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n)…. (n) razy = k × (1 + … + n) = k _c=1 ∑ ^N C

Na przykład: Znajdź wartość _ja=1 ∑ ⁴ 5i.

Korzystając z właściwości 2 i 1, możemy bezpośrednio obliczyć wartość _{ja= 1} ∑ ⁴ 5i jako 5× _ja=1 ∑ ⁴ ja = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Własność 3

_c=1 ∑ ^N (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n)…. (n) razy = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _c=1 ∑ ^N C

Na przykład: Znajdź wartość _ja=1 ∑ ⁴ (5+i).

Korzystając z właściwości 2 i 3, możemy bezpośrednio obliczyć wartość _ja=1 ∑ ⁴ (5+i) jako 5×4+ _ja=1 ∑ ⁴ ja = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Właściwość 4

_k=1 ∑ ^N (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ^N f(k) + _k=1 ∑ ^N g(k)

Na przykład: Znajdź wartość _ja=1 ∑ ⁴ (ja + ja ² ).

Korzystając z właściwości 4, możemy bezpośrednio obliczyć wartość _ja=1 ∑ ⁴ (ja + ja ² ) Jak _ja=1 ∑ ⁴ ja + _ja=1 ∑ ⁴ I ² = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standardowe formuły podsumowujące

Różne formuły podsumowujące to:

Suma pierwszych n liczb naturalnych: (1+2+3+…+n) = _ja=1 ∑ ^N (i) = [n × (n +1)]/2

Suma kwadratów pierwszych n liczb naturalnych: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _ja=1 ∑ ^N (I ² ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

Suma sześcianów pierwszych n liczb naturalnych: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _ja=1 ∑ ^N (I ³ ) = [rzecz ² ×(n +1) ² )]/4

Suma pierwszych n parzystych liczb naturalnych: (2+4+…+2n) = _ja=1 ∑ ^N (2i) = [n ×(n +1)]

Suma pierwszych n nieparzystych liczb naturalnych: (1+3+…+2n-1) = _ja=1 ∑ ^N (2i-1) = n ²

Suma kwadratów pierwszych n parzystych liczb naturalnych: (2 ² +4 ² +…+(2n) ² ) = _ja=1 ∑ ^N (2i) ² = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Suma kwadratów pierwszych n nieparzystych liczb naturalnych: (1 ² +3 ² +…+(2n-1) ² ) = _ja=1 ∑ ^N (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Suma sześcianów pierwszych n parzystych liczb naturalnych: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _ja=1 ∑ ^N (2i) ³ = 2[n(n+1)] ²

Suma sześcianów pierwszych n nieparzystych liczb naturalnych: (1 ³ +3 ³ +…+(2n-1) ³ ) = _ja=1 ∑ ^N (2i-1) ³ = rz ² (2n ² - 1)

Powiązane artykuły:

• Suma liczb naturalnych
• Suma w matematyce
• Działania arytmetyczne
• Postęp arytmetyczny i postęp geometryczny

Przykład dotyczący wzoru sumującego

Przykład 1: Znajdź sumę pierwszych 10 liczb naturalnych, korzystając ze wzoru na sumowanie.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na sumę n liczby naturalnej _ja=1 ∑ ^N (i) = [n × (n +1)]/2

Mamy sumę pierwszych 10 liczb naturalnych = _ja=1 ∑ ¹⁰ (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Przykład 2: Znajdź sumę 10 pierwszych liczb naturalnych większych niż 5, korzystając ze wzoru na sumowanie.

Rozwiązanie:

Zgodnie z pytaniem:

Suma 10 pierwszych liczb naturalnych większych od 5 = _ja=6 ∑ ^piętnaście (I)

= _ja=1 ∑ ^piętnaście (I) - _ja=1 ∑ ⁵ (I)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Przykład 3: Znajdź sumę danego ciągu skończonego 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

Rozwiązanie:

Podany ciąg to 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² , można to zapisać jako _ja=1 ∑ ⁸ I ² korzystając z własności/formuły sumowania

_ja=1 ∑ ⁸ I ² = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Przykład 4: Uprość _c=1 ∑ ^N kc.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę wzór sumowania = _c=1 ∑ ^N kc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n terminów)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1 ∑ ^N kc = k _c=1 ∑ ^N C

Przykład 5: Uprość i oceń x ₌₁ ∑ ^N (4+x).

Rozwiązanie:

Dane podsumowanie jest _x=1 ∑ ^N (4+x)

Jak to wiemy _c=1 ∑ ^N (k+c) = nk + _c=1 ∑ ^N C

Dane sumowanie można uprościć jako:

4n+ _x=1 ∑ ^N (X)

Przykład 6: Uprość _x=1 ∑ ^N (2x+x ² ).

Rozwiązanie:

Dane podsumowanie jest _x=1 ∑ ^N (2x+x ² ).

jak to wiemy _k=1 ∑ ^N (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ^N f(k) + _k=1 ∑ ^N g(k)

dane sumowanie można uprościć jako _x=1 ∑ ^N (2x) + _x=1 ∑ ^N (X ² ).

Często zadawane pytania dotyczące formuły podsumowania

Co to jest wzór na sumowanie liczb naturalnych?

Sumę liczb naturalnych od 1 do n oblicza się za pomocą wzoru n (n + 1) / 2. Na przykład suma pierwszych 100 liczb naturalnych wynosi 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Co to jest ogólny wzór sumowania?

Ogólny wzór na sumowanie używany do znajdowania sumy ciągu {a ₁ , A ₂ , A ₃ ,…,A _N } Jest, ∑a _I = za ₁ + za ₂ + za ₃ + … + za _N

Jak używać ∑?

∑ jest symbolem sumowania i służy do znajdowania sumy szeregów.

Jaki jest wzór na sumowanie n?

Wzór na sumę n liczb naturalnych to: Wzór na sumę n liczb to [n(n+1)2]