Wzór na częstotliwość rezonansową
Częstotliwość rezonansową definiuje się jako częstotliwość obwodu, w którym wartości impedancji pojemnościowej i impedancji indukcyjnej zrównują się. Definiuje się ją jako częstotliwość, przy której ciało lub układ osiąga najwyższy stopień oscylacji. Obwód rezonansowy składa się z połączonego równolegle kondensatora i cewki indukcyjnej. Najczęściej stosuje się go do tworzenia danej częstotliwości lub uwzględnienia określonej częstotliwości ze złożonego obwodu. Częstotliwość rezonansowa istnieje tylko wtedy, gdy obwód jest czysto rezystancyjny.
Formuła
Wzór na częstotliwość rezonansową oblicza się jako odwrotność iloczynu dwukrotności pi i pierwiastka kwadratowego iloczynu indukcyjności i pojemności. Jest reprezentowany przez symbol f O . Jej standardową jednostką miary jest herc lub sekunda (Hz lub s -1 ), a jego wzór wymiarowy podaje [M 0 L 0 T -1 ]
F O = 1/2π√(LC)
Gdzie,
F O jest częstotliwością rezonansową,
L jest indukcyjnością obwodu,
C to pojemność obwodu.
Pochodzenie
Załóżmy, że mamy obwód, w którym rezystor, cewka indukcyjna i kondensator są połączone szeregowo pod źródłem prądu przemiennego.
Wartość rezystancji, indukcyjności i pojemności wynosi R, L i C.
Teraz wiadomo, że impedancja Z obwodu jest określona wzorem:
Z = R + jωL – j/ωC
Z =R + j (ωL – 1/ωC)
Aby spełnić warunek rezonansu, obwód musi być czysto rezystancyjny. Zatem urojona część impedancji wynosi zero.
ωL – 1/ωC = 0
ωL = 1/ωC
Oh 2 = 1/LC
Zakładając ω = 1/2πf O , otrzymujemy
(1/2πf O ) 2 = 1/LC
F O = 1/2π√(LC)
W ten sposób wyprowadza się wzór na częstotliwość rezonansową.
Przykładowe problemy
Zadanie 1. Oblicz częstotliwość rezonansową obwodu o indukcyjności 5 H i pojemności 3 F.
Rozwiązanie:
Mamy,
L = 5
C = 3
Korzystając ze wzoru, który mamy,
F O = 1/2π√(LC)
= 1/ (2 × 3,14 × √(5 × 3))
= 1/24,32
= 0,041 Hz
Zadanie 2. Oblicz częstotliwość rezonansową obwodu o indukcyjności 3 H i pojemności 1 F.
Rozwiązanie:
Mamy,
L = 3
C = 1
Korzystając ze wzoru, który mamy,
F O = 1/2π√(LC)
= 1/ (2 × 3,14 × √(3 × 1))
= 1/10,86
= 0,092 Hz
Zadanie 3. Oblicz częstotliwość rezonansową obwodu o indukcyjności 4 H i pojemności 2,5 F.
Rozwiązanie:
Mamy,
L = 4
C = 2,5
Korzystając ze wzoru, który mamy,
F O = 1/2π√(LC)
= 1/ (2 × 3,14 × √(4 × 2,5))
= 1/6,28
= 0,159 Hz
Zadanie 4. Oblicz indukcyjność obwodu, jeśli pojemność wynosi 4 F, a częstotliwość rezonansowa wynosi 0,5 Hz.
Rozwiązanie:
Mamy,
F O = 0,5
C = 4
Korzystając ze wzoru, który mamy,
F O = 1/2π√(LC)
=> L = 1/4π 2 Por O 2
= 1/ (4 × 3,14 × 3,14 × 4 × 0,5 × 0,5)
= 1/39,43
= 0,025 H
Zadanie 5. Oblicz indukcyjność obwodu, jeśli pojemność wynosi 3 F, a częstotliwość rezonansowa wynosi 0,023 Hz.
Rozwiązanie:
Mamy,
F O = 0,023
C = 3
Korzystając ze wzoru, który mamy,
F O = 1/2π√(LC)
=> L = 1/4π 2 Por O 2
= 1/ (4 × 3,14 × 3,14 × 3 × 0,023 × 0,023)
= 1/0,0199
= 50,25 H
Zadanie 6. Oblicz pojemność obwodu, jeśli indukcyjność wynosi 1 H, a częstotliwość rezonansowa wynosi 0,3 Hz.
Rozwiązanie:
Mamy,
F O = 0,3
L = 1
Korzystając ze wzoru, który mamy,
F O = 1/2π√(LC)
=> C = 1/4π 2 Lf O 2
= 1/ (4 × 3,14 × 3,14 × 1 × 0,3 × 0,3)
= 1/3,54
= 0,282 F
Zadanie 7. Oblicz pojemność obwodu, jeśli indukcyjność wynosi 0,1 H, a częstotliwość rezonansowa wynosi 0,25 Hz.
Rozwiązanie:
Mamy,
F O = 0,25
L = 0,1
Korzystając ze wzoru, który mamy,
F O = 1/2π√(LC)
=> C = 1/4π 2 Lf O 2
= 1/ (4 × 3,14 × 3,14 × 0,1 × 0,25 × 0,25)
= 1/0,246
= 4,06 F
