LOGIKA ZDAŃ

Logika zdań jest gałęzią matematyki badającą logiczne relacje między sądami (lub stwierdzeniami, zdaniami, twierdzeniami) traktowanymi jako całość i połączonymi spójnikami logicznymi.

W tym artykule szczegółowo omówiliśmy logikę zdań i tematy pokrewne.

Spis treści

Co to jest logika?
Logika zdań
Tabela prawdy

1. Negacja
2. Koniunkcja
3. Dysjunkcja
4. Ekskluzywny Or
5. Implikacja
6. Implikacja dwuwarunkowa lub podwójna

Co to jest logika?

Logika jest podstawą wszelkiego rozumowania matematycznego i wszelkiego rozumowania automatycznego. Reguły logiki określają znaczenie zdań matematycznych. Reguły te pomagają nam zrozumieć i uzasadnić stwierdzenia takie jak:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Co w prostym języku angielskim oznacza Istnieje liczba całkowita, która nie jest sumą dwóch kwadratów .

Znaczenie logiki matematycznej

Reguły logiki nadają precyzyjne znaczenie twierdzeniom matematycznym. Reguły te służą do rozróżniania ważnych i nieprawidłowych argumentów matematycznych. Oprócz swojego znaczenia w rozumieniu rozumowania matematycznego, logika ma liczne zastosowania w informatyce, począwszy od projektowania obwodów cyfrowych po budowę programów komputerowych i weryfikację poprawności programów.

Co to jest propozycja? Twierdzenie jest podstawowym elementem logiki. Definiuje się je jako zdanie oznajmujące, które jest albo prawdą, albo fałszem, ale nie obydwoma. The Wartość prawdy zdania ma wartość Prawda (oznaczana jako T), jeśli jest to zdanie prawdziwe, i Fałsz (oznaczana jako F), jeśli jest to zdanie fałszywe. Na przykład,

Słońce wschodzi na wschodzie i zachodzi na zachodzie.
1 + 1 = 2
„b” jest samogłoską.

Wszystkie powyższe zdania są zdaniami, gdzie pierwsze dwa są prawidłowe (prawda), a trzecie jest nieprawidłowe (fałsz). Niektóre zdania, które nie mają wartości logicznej lub mogą mieć więcej niż jedną wartość logiczną, nie są zdaniami. Na przykład,

Która godzina?
Idź na zewnątrz i się pobaw
x + 1 = 2

Powyższe zdania nie są twierdzeniami, gdyż dwa pierwsze nie mają wartości logicznej, natomiast trzecie może być prawdziwe lub fałszywe. Aby reprezentować propozycje, zmienne zdań są używane. Zgodnie z konwencją zmienne te są reprezentowane przez małe alfabety, takie jak p,:q,:r,:s . Dziedzina logiki zajmująca się zdaniami nazywa się rachunek zdań Lub logika zdań . Obejmuje to również tworzenie nowych propozycji przy użyciu istniejących. Zdania zbudowane przy użyciu jednego lub większej liczby zdań nazywane są propozycje złożone . Zdania są łączone ze sobą za pomocą Łączniki logiczne Lub Operatory logiczne .

Logika zdań

Tabela prawdy

Ponieważ musimy znać wartość logiczną zdania we wszystkich możliwych scenariuszach, rozważamy wszystkie możliwe kombinacje zdań, które są połączone spójnikami logicznymi w celu utworzenia danego zdania złożonego. To zestawienie wszystkich możliwych scenariuszy w formie tabelarycznej nazywa się a tabela prawdy . Najczęstsze łączniki logiczne-

1. Negacja

Jeśli p jest zdaniem, to zaprzeczeniem p jest oznaczony przez eg p , co w tłumaczeniu na prosty angielski oznacza- To nie jest tak, że P lub po prostu nie P . Prawdziwa wartość -P jest przeciwieństwem wartości logicznej P . Tabela prawdy -P Jest:

P	¬s
T	F
F	T

Przykład, Zaprzeczenie: Dzisiaj pada deszcz, czy To nie jest tak, że dzisiaj pada, czy po prostu Dzisiaj nie pada.

2. Koniunkcja

Dla dowolnych dwóch propozycji p I q , ich koniunkcja jest oznaczona przez pwedge q , co znaczy p I q . Spójnik pwedge q jest prawdą, gdy oba p I q są prawdziwe, w przeciwnym razie fałszywe. Tabela prawdy pwedge q Jest:

P	Q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Przykład, Łączenie zdań p – Dziś jest piątek i q - Pada dzisiaj, pwedge q jest: Dziś jest piątek i dzisiaj pada deszcz. To twierdzenie jest prawdziwe tylko w deszczowe piątki i jest fałszywe w każdy inny deszczowy dzień lub w piątki, kiedy nie pada deszcz.

3. Dysjunkcja

Dla dowolnych dwóch propozycji p I q , ich alternatywa jest oznaczona przez pvee q , co znaczy p Lub q . Dysjunkcja pvee q jest prawdą, gdy albo p Lub q jest prawdą, w przeciwnym razie fałszem. Tabela prawdy pvee q Jest:

P	Q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Przykład, Dysjunkcja zdań p – Dziś jest piątek i q - Pada dzisiaj, pvee q Czy dzisiaj jest piątek, czy dzisiaj pada deszcz. Twierdzenie to jest prawdziwe w każdy dzień będący piątkiem lub dniem deszczowym (w tym deszczowe piątki) i jest fałszywe w każdy dzień inny niż piątek, kiedy również nie pada deszcz.

4. Ekskluzywny Or

Dla dowolnych dwóch propozycji p I q , ich wyłączność lub jest oznaczona przez poplus q , co oznacza albo p Lub q ale nie oba. Ekskluzywny lub poplus q jest prawdą, gdy albo p Lub q jest prawdą, a fałszem, gdy oba są prawdziwe lub oba są fałszywe. Tabela prawdy poplus q Jest:

P	Q	p ⊕ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Przykład, Ekskluzywne lub z propozycji p – Dziś jest piątek i q - Pada dzisiaj, poplus q jest albo dzisiaj jest piątek, albo dzisiaj pada deszcz, ale nie jedno i drugie. To twierdzenie jest prawdziwe w każdy dzień, który jest piątkiem lub dniem deszczowym (nie licząc deszczowych piątków) i jest fałszywe w każdym innym dniu niż piątek, kiedy nie pada deszcz lub deszczowe piątki.

5. Implikacja

Dla dowolnych dwóch propozycji p I q , stwierdzenie if p Następnie q nazywa się implikacją i jest oznaczana przez p ightarrow q . W implikacji p ightarrow q , p nazywa się hipoteza Lub poprzednik Lub przesłanka I q nazywa się wniosek Lub konsekwencja . Implikacja jest taka p ightarrow q nazywa się także A instrukcja warunkowa . Implikacja jest fałszywa, gdy p jest prawdą i q jest fałszywe, w przeciwnym razie jest prawdą. Tabela prawdy p ightarrow q Jest:

P	Q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Ktoś mógłby się zastanawiać, dlaczego tak jest p ightarrow q prawda kiedy p to fałsz. Dzieje się tak, ponieważ implikacja gwarantuje, że kiedy p I q są prawdziwe, to implikacja jest prawdziwa. Ale implikacja niczego nie gwarantuje, gdy przesłanka p to fałsz. Od tego czasu nie ma możliwości sprawdzenia, czy implikacja jest fałszywa p nie wydarzyło się. Sytuacja ta jest podobna do postawy Niewinny do udowodnienia winy, co oznacza, że implikacja p ightarrow q uważa się za prawdziwe, dopóki nie zostanie udowodnione, że jest fałszywe. Ponieważ nie możemy wywołać implikacji p ightarrow q fałsz kiedy p jest fałszywe, naszą jedyną alternatywą jest nazwanie go prawdą.

Wynika to z Zasada eksplozji który mówi: Zdanie fałszywe sugeruje cokolwiek. Zdania warunkowe odgrywają bardzo ważną rolę w rozumowaniu matematycznym, dlatego do wyrażenia używa się różnorodnej terminologii p ightarrow q , z których niektóre są wymienione poniżej.

Jeśli p, to qp jest wystarczające dla qq, gdy pa warunkiem koniecznym dla p jest qp tylko wtedy, gdy qq chyba, że z p wynika ≠pq

Przykład, Jeśli jest piątek, to dzisiaj pada deszcz, to propozycja, która ma formę p ightarrow q . Powyższe twierdzenie jest prawdziwe, jeśli nie jest piątek (przesłanka jest fałszywa) lub jeśli jest piątek i pada deszcz, a jest fałszywe, gdy jest piątek, ale nie pada deszcz.

6. Implikacja dwuwarunkowa lub podwójna

Dla dowolnych dwóch propozycji p I q , twierdzenie p wtedy i tylko wtedy, gdy (iff) q nazywa się dwuwarunkowym i jest oznaczony przez pleftrightarrow q . Twierdzenie pleftrightarrow q nazywa się także A dwuimplikacja . pleftrightarrow q ma taką samą wartość logiczną jak (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Implikacja jest prawdziwa, gdy p I q mają te same wartości logiczne, w przeciwnym razie są fałszywe. Tabela prawdy pleftrightarrow q Jest:

P	Q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Inne popularne sposoby wyrażania się pleftrightarrow q Czy:

p jest konieczne i wystarczające dla qif p, to q i odwrotnie, jeśli q

Przykład: Dzisiaj pada deszcz wtedy i tylko wtedy, gdy dzisiaj jest piątek. jest zdaniem mającym postać pleftrightarrow q . Powyższe twierdzenie jest prawdziwe, jeśli nie jest piątek i nie pada deszcz, lub jeśli jest piątek i pada deszcz, a jest fałszywe, gdy nie jest piątek lub nie pada deszcz. Ćwiczenia:

1) Rozważ następujące stwierdzenia: