ODWROTNE TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE

Odwrotne tożsamości trygonometryczne: W matematyce odwrotne funkcje trygonometryczne są również znane jako funkcje arcusa lub funkcje antytrygonometryczne. Odwrotne funkcje trygonometryczne są funkcjami odwrotnymi podstawowych funkcji trygonometrycznych, tj. sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans i cotangens. Służy do znajdowania kątów o dowolnym stosunku trygonometrycznym. Odwrotne funkcje trygonometryczne są powszechnie używane w dziedzinach takich jak geometria, inżynieria itp. Reprezentacje odwrotnych funkcji trygonometrycznych to:

Jeśli a = f(b), to funkcja odwrotna ma postać

b = f ^-1 (A)

Przykładami odwrotnych odwrotnych funkcji trygonometrycznych są grzech ^-1 x, bo ^-1 x, więc ^-1 x itp.

Spis treści

Dziedzina i zakres odwrotnych tożsamości trygonometrycznych
Własności odwrotnych funkcji trygonometrycznych
Tożsamości odwrotnej funkcji trygonometrycznej
Przykładowe problemy dotyczące odwrotnych tożsamości trygonometrycznych
Zadania praktyczne dotyczące odwrotnych tożsamości trygonometrycznych

Dziedzina i zakres odwrotnych tożsamości trygonometrycznych

Poniższa tabela przedstawia niektóre funkcje trygonometryczne wraz z ich dziedziną i zakresem.

Funkcjonować	Domena	Zakres
y = bez ^-1 X	[-jedenaście]	[-p/2, p/2]
y = sałata ^-1 X	[-jedenaście]	[0, p]
y = cosek ^-1 X	R – (-1,1)	[-π/2,π/2] – {0}
y = sek ^-1 X	R - (-jedenaście)	[0, π] – {π/2}
y = tak ^-1 X	R	(-p/2, p/2)
y = łóżeczko dziecięce ^-1 X	R	(0, p)

Własności odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Poniżej przedstawiono właściwości odwrotnych funkcji trygonometrycznych:

Właściwość 1:

bez ^-1 (1/x) = cosek ^-1 x, dla x ≥ 1 lub x ≤ -1
sałata ^-1 (1/x) = sek ^-1 x, dla x ≥ 1 lub x ≤ -1
Więc ^-1 (1/x) = łóżeczko dziecięce ^-1 x, dla x> 0

Właściwość 2:

bez ^-1 (-x) = -grzech ^-1 x, dla x ∈ [-1 , 1]
Więc ^-1 (-x) = -tan ^-1 x, dla x ∈ R
cosek ^-1 (-x) = -cosek ^-1 x, dla |x| ≥ 1

Własność 3

sałata ^-1 (-x) = π – cos ^-1 x, dla x ∈ [-1 , 1]
sek ^-1 (-x) = π – sek ^-1 x, dla |x| ≥ 1
łóżko składane ^-1 (-x) = π – łóżeczko ^-1 x, dla x ∈ R

Właściwość 4

bez ^-1 x + sałata ^-1 x = π/2, dla x ∈ [-1,1]
Więc ^-1 x + łóżeczko dziecięce ^-1 x = π/2, dla x ∈ R
cosek ^-1 x + sek ^-1 x = π/2 , dla |x| ≥ 1

Własność 5

Więc ^-1 x + tak ^-1 y = tak ^-1 ( x + y )/(1 – xy), dla xy <1
Więc ^-1 x- tak ^-1 y = tak ^-1 (x – y)/(1 + xy), dla xy> -1
Więc ^-1 x + tak ^-1 y = π + tan ^-1 (x + y)/(1 – xy), dla xy>1 ; x, y> 0

Własność 6

2opalenizna ^-1 x = grzech ^-1 (2x)/(1 + x ² ), dla |x| ≤ 1
2opalenizna ^-1 x = sałata ^-1 (1 – x ² )/(1 + x ² ), dla x ≥ 0
2opalenizna ^-1 x = tak ^-1 (2x)/(1 – x ² ), Za 1

Tożsamości odwrotnej funkcji trygonometrycznej

Poniżej znajdują się tożsamości odwrotnych funkcji trygonometrycznych:

bez ^-1 (sin x) = x pod warunkiem -π/2 ≤ x ≤ π/2
sałata ^-1 (cos x) = x pod warunkiem 0 ≤ x ≤ π
Więc ^-1 (tan x) = x pod warunkiem -π/2
bez (bez ^-1 x) = x pod warunkiem -1 ≤ x ≤ 1
cos (kos ^-1 x) = x pod warunkiem -1 ≤ x ≤ 1
tak sobie ^-1 x) = x pod warunkiem x ∈ R
cosek(cosek ^-1 x) = x pod warunkiem -1 ≤ x ≤ ∞ lub -∞
sek. (sek ^-1 x) = x pod warunkiem 1 ≤ x ≤ ∞ lub -∞
łóżeczko (łóżeczko ^-1 x) = x pod warunkiem -∞
sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
2co ^-1 x = sałata ^-1 (2x ² - 1)
2 grzech ^-1 x = grzech ^-1 2x√(1 – x ² )
3 grzech ^-1 x = grzech ^-1 (3x – 4x ³ )
3co ^-1 x = sałata ^-1 (4x ³ – 3x)
3opalenizna ^-1 x = tak ^-1 ((3x – x ³ /1 – 3x ² ))
bez ^-1 x + grzech ^-1 y = bez ^-1 { x√(1 – y ² ) + y√(1 – x ² )}
bez ^-1 x – grzech ^-1 y = bez ^-1 { x√(1 – y ² ) – y√(1 – x ² )}
sałata ^-1 x + sałata ^-1 y = sałata ^-1 [xy – √{(1 – x ² )(1 – i ² )}]
sałata ^-1 x – sałata ^-1 y = sałata ^-1 [xy + √{(1 – x ² )(1 – i ² )}
Więc ^-1 x + tak ^-1 y = tak ^-1 (x + y/1 – xy)
Więc ^-1 x- tak ^-1 y = tak ^-1 (x – y/1 + xy)
Więc ^-1 x + tak ^-1 i +opalenizna ^-1 z = tak ^-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Ludzie Zobacz także:

Trygonometria w matematyce | Tabela, formuły, tożsamości

Lista wszystkich tożsamości trygonometrycznych

Odwrotne funkcje trygonometryczne

Wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Przykładowe problemy dotyczące odwrotnych tożsamości trygonometrycznych

Pytanie 1: Spróbuj bez ^-1 x = sek ^-1 1/√(1-x ² )

Rozwiązanie:

Niech bez ^-1 x = y

⇒ sin y = x , (ponieważ sin y = prostopadła/przeciwprostokątna ⇒ cos y = √(1- prostopadła ² )/przeciwprostokątna )

⇒ sałata y = √(1 – x ² ), tutaj przeciwprostokątna = 1

⇒ s y = 1/cos y

⇒ s y = 1/√(1 – x ² )

⇒ y = sek ^-1 1/√(1 – x ² )

⇒ bez ^-1 x = sek ^-1 1/√(1 – x ² )

Zatem udowodnione.

Pytanie 2: Spróbuj ^-1 x = cosek ^-1 √(1 + x ² )/X

Rozwiązanie:

Niech tak ^-1 x = y

⇒ tan y = x, prostopadła = x i podstawa = 1

⇒ grzech y = x/√(x ² + 1) , (ponieważ przeciwprostokątna = √(prostopadła ² + baza ² ) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosek y = √(x ² + 1)/x

⇒ y = cosek ^-1 √(x ² + 1)/x

⇒ więc ^-1 x = cosek ^-1 √(x ² + 1)/x

Zatem udowodnione.

Pytanie 3: Oceń siebie jako ^-1 X)

Rozwiązanie:

Niech cos ^-1 x = y

⇒ cos y = x , podstawa = x i przeciwprostokątna = 1 zatem sin y = √(1 – x ² )/1

⇒ tan y = grzech y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x ² )/X

⇒ y = tak ^-1 √(1 – x ² )/X

⇒ kosm ^-1 x = tak ^-1 √(1 – x ² )/X

Dlatego opalenizna (cos ^-1 x) = tan(tan ^-1 √(1 – x ² )/x) = √(1 – x ² )/X.

Pytanie 4: tak ^-1 √(sin x) + łóżeczko ^-1 √(grzech x) = y. Znajdź co i.

Rozwiązanie:

Znamy tę opaleniznę ^-1 x + łóżeczko dziecięce ^-1 x = /2 zatem porównując tę tożsamość z równaniem podanym w pytaniu otrzymujemy y = π/2

Zatem cos y = cos π/2 = 0.

Pytanie 5: tak ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan ^-1 x, x> 0. Znajdź x.

Rozwiązanie:

Więc ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan ^-1 X

⇒ 2opalenizna ^-1 (1 – x)/(1 + x) = tan ^-1 x…(1)

Wiemy o tym, 2tan ^-1 x = tak ^-1 2x/(1 – x ² ).

Dlatego LHS równania (1) można zapisać jako

Więc ^-1 [ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)] ² }]

= tak ^-1 [ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x) ² – (1 – x) ² }]

= tak ^-1 [ 2(1 – x ² )/(4x)]

= tak ^-1 (1 – x ² )/(2x)

Ponieważ LHS = RHS zatem

Więc ^-1 (1 – x ² )/(2x) = opalenizna ^-1 X

⇒ (1 – x ² )/2x = x

⇒ 1 – x ² = 2x ²

⇒ 3x ² = 1

⇒ x = ± 1/√3

Ponieważ x musi być większe od 0, zatem akceptowalną odpowiedzią jest x = 1/√3.

Pytanie 6: Spróbuj ^-1 √x = (1/2)cos ^-1 (1 – x)/(1 + x)

Rozwiązanie:

Niech tak ^-1 √x = y

⇒ tan y = √x

⇒ więc ² y = x

Dlatego,

RHS = (1/2)cos ^-1 (1-tzw ² y)/(1 + opalenizna ² I)

= (1/2)cos ^-1 (sałata ² i bez ² y)/(kos ² i + bez ² I)

= (1/2)cos ^-1 (sałata ² i bez ² I)

= (1/2)cos ^-1 (co 2 lata)

= (1/2)(2 lata)

= i

= tak ^-1 √x

= LHS

Zatem udowodnione.

Pytanie 7: tak ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + łóżeczko dziecięce ^-1 (1 – x ² )/(2x) = π/2, -1

Rozwiązania:

Więc ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + łóżeczko dziecięce ^-1 (1 – x ² )/(2x) = π/2

⇒ więc ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + tak ^-1 (2x)/(1 – x ² ) = π/2

⇒ 2opalenizna ^-1 (2x)/(1 – x ² ) = ∏/2

⇒ więc ^-1 (2x)/(1 – x ² ) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x ² ) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x ² ) = 1

⇒ 2x = 1 – x ²

⇒ x ² + 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(2 ² – 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 lub x = -1 – √2

Ale zgodnie z pytaniem x ∈ (-1, 1) zatem dla danego równania zbiorem rozwiązań jest x ∈ ∅.

Pytanie 8: tak ^-1 1/(1 + 1,2) + opalenizna ^-1 1/(1 + 2,3) + … + Więc ^-1 1/(1 + n(n + 1)) = tan ^-1 X. Rozwiąż x.

Rozwiązanie:

Więc ^-1 1/(1 + 1,2) + opalenizna ^-1 1/(1 + 2,3) + … + opalenizna ^-1 1/(1 + n(n + 1)) = tan ^-1 X

⇒ więc ^-1 (2 – 1)/(1 + 1,2) + opalenizna ^-1 (3 – 2)/(1 + 2,3) + … + tzw ^-1 (n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan ^-1 X

⇒ (tj ^-1 2 – tak ^-1 1) + (tj ^-1 3 – tak ^-1 2) + … + (tzw ^-1 (n + 1) – tak ^-1 n) = tak ^-1 X

⇒ więc ^-1 (n + 1) – tak ^-1 1 = tak ^-1 X

⇒ więc ^-1 n/(1 + (n + 1).1) = tan ^-1 X

⇒ więc ^-1 n/(n + 2) = tan ^-1 X

⇒ x = n/(n + 2)

Pytanie 9: Jeśli 2tan ^-1 (bez x) = tak ^-1 (2 sekundy x), a następnie oblicz x.

Rozwiązanie:

2opalenizna ^-1 (bez x) = tak ^-1 (2 sekundy x)

⇒ więc ^-1 (2sin x)/(1 – grzech ² x) = tak ^-1 (2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – grzech ² x) = 2/cos x

⇒ grzech x/cos ² x = 1/cos x

⇒ grzech x sałata x = sałata ² X

⇒ grzech x cos x – sałata ² x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 lub sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 lub tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 lub x = π/4

Ale przy x = π/2 dane równanie nie istnieje, stąd x = π/4 jest jedynym rozwiązaniem.

Pytanie 10: Udowodnij, że łóżeczko dziecięce ^-1 [ {√(1 + grzech x) + √(1 – grzech x)}/{√(1 + grzech x) – √(1 – grzech x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Rozwiązanie:

Niech więc x = 2y

LHS = łóżeczko dziecięce ^-1 [{√(1+grzech 2y) + √(1-grzech 2y)}/{√(1+grzech 2y) – √(1-grzech 2y)}]

= łóżeczko dziecięce ^-1 [{√(kos ² i + bez ² y + 2sin y cos y) + √(cos ² i + bez ² y – 2sin y cos y)}/{√(cos ² i + bez ² y + 2sin y cos y) – √(cos ² i + bez ² y – 2sin i cos y)} ]

= łóżeczko dziecięce ^-1 [{√(cos y + grzech y) ² + √(cos y – grzech y) ² } / {√(cos y + grzech y) ² – √(cos i – grzech i) ² }]

= łóżeczko dziecięce ^-1 [(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= łóżeczko dziecięce ^-1 (2cos y)/(2sin y)

= łóżeczko dziecięce ^-1 (łóżeczko dziecięce i)

= i

= x/2.

Zadania praktyczne dotyczące odwrotnych tożsamości trygonometrycznych

Zadanie 1: Znajdź x w równaniu sin ^-1 (x) + sałata ^-1 (x) = π/2

Zadanie 2: Udowodnij opaleniznę ^-1 (1) + tak ^-1 (2) + tak ^-1 (3) = str

Problem 3: Oceń cos⁡(bez ^-1 (0,5))

Problem 4: Jeśli się opalasz ^-1 (x) + opalenizna ^-1 (2x) = π/4, następnie znajdź x

Często zadawane pytania dotyczące odwrotnych tożsamości trygonometrycznych

Co to są odwrotne funkcje trygonometryczne?

Odwrotne funkcje trygonometryczne to funkcje odwrotne podstawowych funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans i cotangens). Służą do znajdowania kątów odpowiadających danym stosunkom trygonometrycznym.

Dlaczego odwrotne funkcje trygonometryczne są ważne?

Odwrotne funkcje trygonometryczne są niezbędne w różnych dziedzinach, takich jak geometria, inżynieria i fizyka, ponieważ pomagają wyznaczać kąty na podstawie stosunków trygonometrycznych, co ma kluczowe znaczenie w rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów.

Jakie są dziedziny i zakresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych?

Każda odwrotna funkcja trygonometryczna ma określone dziedziny i zakresy:

S W ^-1 (x): Dziedzina [-1, 1] i zakres [- π/2, π/2]

sałata ^-1 (x): Dziedzina [-1, 1] i zakres [0, π]

więc⁡ ^-1 (x): Dziedzina R i zakres (- π/2, π/2)

Czy w rachunku różniczkowym można używać odwrotnych funkcji trygonometrycznych?

Tak, odwrotne funkcje trygonometryczne są często używane w rachunku różniczkowym do całkowania i różniczkowania. Są one szczególnie przydatne do całkowania funkcji obejmujących wyrażenia trygonometryczne.