Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Integracja jest procesem sumowania małych wartości funkcji w obszarze granic. Jest to przeciwieństwo różnicowania. Integracja jest również nazywana antypochodną. Wyjaśniliśmy całkowanie funkcji trygonometrycznych w artykule poniżej.
Poniżej znajduje się przykład całkowania danej funkcji.
np., Rozważmy funkcję f(y) = y 2 .
Funkcję tę można zintegrować jako:
∫ y 2 ty =
frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C
Jednakże, Całka nieoznaczona jest funkcją, która przyjmuje pierwotną pochodną innej funkcji. Jest reprezentowany jako symbol całki (∫), funkcja i pochodna funkcji na końcu. Całka nieoznaczona jest łatwiejszym sposobem symbolizowania funkcji pierwotnej.
Dowiedzmy się, czym jest całkowanie matematycznie, całkowanie funkcji f(x) jest dane przez F(x) i jest reprezentowane przez:
∫f(x)dx = F(x) + C
Tutaj R.H.S. równania oznacza całkę f(x) względem x, F(x) nazywa się funkcją pierwotną lub pierwotną, f(x) nazywa się całką, dx nazywa się czynnikiem integrującym, C nazywa się stałą całkowania lub dowolna stała, a x jest zmienną całkowania.
Niektóre ważne całki funkcji trygonometrycznych
Poniżej znajduje się lista niektórych ważnych wzorów całek nieoznaczonych na poziomie podstawowym funkcje trygonometryczne należy pamiętać w następujący sposób:
- ∫ grzech x dx = -cos x + C
- ∫ sałata x dx = grzech x + C
- ∫ sek 2 x dx = opalenizna x + C
- ∫ cosek 2 x dx = -łóżeczko x + C
- ∫ s x tan x dx = s x + C
- ∫ cosec x łóżeczko x dx = -cosec x + C
- ∫ tan x dx = ln | sekunda x | +C
- ∫ łóżko x dx = ln | grzech x | + C
- ∫ s x dx = ln | s x + tan x | + C
- ∫ cosec x dx = ln | cosec x – łóżeczko x | + C
Gdzie dx jest pochodną x, C jest stałą całkowania, a ln oznacza logarytm funkcji wewnątrz modułu (| |).
Generalnie problemy całek nieoznaczonych opartych na funkcjach trygonometrycznych rozwiązuje się metodą podstawieniową. Omówmy więc więcej o całkowaniu przez podstawienie w następujący sposób:
Całkowanie przez podstawienie
W tej metodzie całkowanie przez podstawienie , dowolna całka jest przekształcana w prostą formę całki poprzez zastąpienie zmiennej niezależnej innymi. Rozważmy przykład dla lepszego zrozumienia.
Przykład: Uprość ∫ 3x 2 grzech (x 3 ) dx.
Odpowiedź:
Niech I = ∫ 3x 2 grzech (x 3 ) dx.
Aby obliczyć daną całkę, podstawmy dowolną zmienną nową zmienną jako:
Niech x 3 be t dla danej całki.
Następnie dt = 3x 2 dx
Dlatego,
ja = ∫ 3x 2 grzech (x 3 ) dx = ∫ grzech (x 3 ) (3x 2 dx)
Teraz zamień t na x 3 i dt dla 3x 2 dx w powyższej całce.
ja = ∫ grzech (t) (dt)
As ∫ sin x dx = -cos x + C, zatem
ja = -cos t + C
Ponownie podstaw z powrotem x 3 dla t w wyrażeniu jako:
ja = ∫ 3x 2 grzech (x 3 ) dx = -cos x 3 + C
Która jest wymaganą całką.
Zatem ogólna forma całkowania przez podstawienie to:
∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx
Gdzie t = g(x)
Zwykle metoda całkowania przez podstawienie jest niezwykle przydatna, gdy dokonujemy podstawienia funkcji, której pochodna występuje również w całce. W ten sposób funkcja upraszcza się i wtedy można zastosować podstawowe wzory na całkowanie do całkowania funkcji.
W rachunku różniczkowym metoda całkowania przez podstawienie jest również znana jako reguła odwrotnego łańcucha lub metoda podstawienia U. Możemy użyć tej metody do znalezienia wartości całkowitej, jeśli jest ona ustawiona w specjalnej formie. Oznacza to, że dana całka ma postać:
Czytaj więcej,
- Rachunek matematyczny
- Całki
- Rachunek całkowy
- Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych
- Równania trygonometryczne
Przykładowe problemy dotyczące całkowania funkcji trygonometrycznych
Zadanie 1: Wyznacz całkę funkcji: f(x) = cos 3 X.
Rozwiązanie:
Rozważmy całkę danej funkcji jako:
Ja = ∫ sałata 3 x dx
Można to przepisać jako:
I = ∫ (cos x) (cos 2 x) dx
Korzystanie z tożsamości trygonometrycznej; sałata 2 x = 1 – grzech 2 x, otrzymujemy
I = ∫ (cos x) (1 – grzech 2 x) dx
⇒ I = ∫ cos x – cos x grzech 2 x dx
⇒ ja = ∫ cosx dx – ∫ cosx grzech 2 x dx
As ∫ cos x dx = grzech x + C,
Zatem I = grzech x – ∫ grzech 2 x cos x dx . . . (1)
Niech, grzech x = t
⇒ cos x dx = dt.
Zastąp t zamiast sin x i dt zamiast cos x dx w drugim członie powyższej całki.
ja = grzech x – ∫ t 2 dt
⇒ ja = grzech x – t 3 /3 + C
Ponownie zamień back sin x na t w wyrażeniu.
Stąd ∫ sałata 3 x dx = grzech x – grzech 3 x / 3 + C.
Problem 2: Jeśli f(x) = grzech 2 (x) koszt 3 (x) następnie określ ∫ grzech 2 (x) koszt 3 (x) dx.
Rozwiązanie:
Rozważmy całkę danej funkcji jako:
ja = ∫ grzech 2 (x) koszt 3 (x) dx
Korzystanie z tożsamości trygonometrycznej; sałata 2 x = 1 – grzech 2 x, otrzymujemy
ja = ∫ grzech 2 x (1 – grzech 2 x) cos x dx
Niech zatem grzech x = t,
⇒ dt = cos x dx
Zastąp je w powyższej całce jako,
ja = ∫ t 2 (1 – t 2 ) dt
⇒ ja = ∫ t 2 - T 4 dt
⇒ ja = t 3 / 3 – t 5 / 5 + C
Zastąp wartość t w powyższej całce jako:
Zatem ja = grzech 3 x/3 – bez 5 x / 5 + C.
Zadanie 3: Niech f(x) = grzech 4 (x) następnie znajdź ∫ f(x)dx. tj. ∫ grzech 4 (x) dx.
Rozwiązanie:
Rozważmy całkę danej funkcji jako:
ja = ∫ grzech 4 (x) dx
⇒ I = ∫ (bez 2 (X)) 2 dx
Używanie tożsamości trygonometrycznej; grzech 2 (x) = (1 – cos (2x)) / 2, otrzymujemy
ja = ∫ {(1 – sałata (2x)) / 2} 2 dx
⇒ ja = (1/4) × ∫ (1+cos 2 (2x)- 2 cos2x) dx
⇒ ja = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ sałata 2 (2x) dx – 2 ∫ cos2x dx
⇒ ja = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]
⇒ ja = (1/4) × [ 3x / 2 + grzech 4x / 8 – grzech 2x ] + C
⇒ ja = 3x / 8 + grzech 4x / 32 – grzech 2x / 4 + C
Zatem ∫ grzech 4 (x) dx = 3x / 8 + grzech 4x / 32 – grzech 2x / 4 + C
Problem 4: Znajdź całkowanie
Rozwiązanie:
Rozważmy całkę danej funkcji jako:
I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx Niech t = tan -1 X . . . (1)
Teraz różniczkujmy obie strony względem x:
dt = 1 / (1+x 2 ) dx
Zatem dana całka przyjmuje postać:
ja = ∫ mi T dt
⇒ ja = np T + C. . . (2)
Zastąp wartość (1) w (2) jako:
⇒
I = e^{tan^{-1}x} + C Jaka jest wymagana całka dla danej funkcji.
Zadanie 5: Znajdź całkę funkcji f (x) określonej jako,
f(x) = 2x cos (x 2 – 5) dx
Rozwiązanie:
Rozważmy całkę danej funkcji jako:
I = ∫ 2x cos (x 2 – 5) dx
Niech (x 2 – 5) = t . . . (1)
Teraz różniczkujmy obie strony względem x jako,
2x dx = dt
Zastępując te wartości w powyższej całce,
ja = ∫ cos (t) dt
⇒ ja = grzech t + do . . . (2)
Zastąp równanie wartości (1) w równaniu (2) jako:
⇒ ja = grzech (x 2 – 5) + C
Jest to wymagane całkowanie dla danej funkcji.
Zadanie 6: Wyznacz wartość podanej całki nieoznaczonej I = ∫ cot (3x +5) dx.
Rozwiązanie:
Podaną całkę można zapisać jako:
I = ∫ łóżko (3x +5) dx
⇒ ja = ∫ cos (3x +5) / grzech (3x +5) dx
Niech, t = grzech(3x + 5)
⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx
⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3
Zatem,
ja = ∫ dt / 3 sin t
⇒ ja = (1 / 3) ln | t | + C
Zamień t na sin (3x+5) w powyższym wyrażeniu.
Ja = (1/3) ln | grzech (3x+5) | + C
Jest to wymagane całkowanie dla danej funkcji.
Całkowanie funkcji trygonometrycznych – często zadawane pytania
Na czym polega całkowanie funkcji trygonometrycznej?
Całkowanie funkcji trygonometrycznych, jak sama nazwa wskazuje, jest procesem obliczania całkowania lub funkcji pierwotnej funkcji trygonometrycznych. Jest to proces odwrotny do różniczkowania funkcji trygonometrycznych.
Jakie są podstawowe funkcje trygonometryczne?
Podstawowe funkcje trygonometryczne to:
- sinus (bez),
- cosinus (cos),
- styczna (brązowa),
- cotangens (łokieć),
- sieczna (sekunda) i
- cosecans (csc).
Jak całkować funkcje sinus (sin) i cosinus (cos)?
Aby zintegrować funkcje sinus i cosinus, możemy skorzystać z następujących wzorów:
- ∫ grzech(x) dx = -cos(x) + C
- ∫ cos(x) dx = grzech(x) + C
Gdzie C jest stałą całkowania.
Na czym polega całkowanie stycznej (tangens) funkcji trygonometrycznej?
Całkę funkcji tangens podaje się w następujący sposób:
∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C
Gdzie,
- ln reprezentuje logarytm naturalny, i
- C jest stałą całkowania.
Jak znaleźć całkę siecznej funkcji trygonometrycznej?
Całkę siecznej funkcji podaje się jako:
∫ sek(x) dx = ln|sek(x) + tan(x)| + C
Gdzie,
- ln reprezentuje logarytm naturalny, i
- C jest stałą całkowania.
Na czym polega całkowanie funkcji trygonometrycznej Cotangens (łóżeczko)?
Całkę funkcji cotangens można obliczyć ze wzoru:
∫ łóżko(x) dx = ln|sin(x)| + C
Gdzie,
- ln reprezentuje logarytm naturalny, i
- C jest stałą całkowania.
Jak znaleźć całkę funkcji cosecans (cosec)?
Całkę funkcji cosecans podaje się jako:
∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – łóżeczko x | + C
Gdzie,
- ln reprezentuje logarytm naturalny, i
- C jest stałą całkowania.
