CO TO JEST POCHODNA COT X?

Pochodną Cot x jest -cosec ² X. To odnosi się do procesu znajdowania zmiany funkcji sinus w odniesieniu do zmiennej niezależnej. Pochodna cot x jest również znana jako różniczkowanie cot x, co jest procesem znajdowania szybkości zmian funkcji trygonometrycznej cot.

W tym artykule poznamy pochodną cot x i jej wzór, w tym dowód wzoru z wykorzystaniem pierwszej zasady pochodnych, reguły ilorazu i reguły łańcucha.

Pochodna cot x to -cosec ² X. Pochodna cot x jest jedną z sześciu pochodnych trygonometrycznych, które musimy zbadać. W tym przypadku jest to różniczkowanie cotangensu funkcji trygonometrycznej względem zmiennej x. Jeśli mamy cot y lub cot θ, to różniczkujemy cotangens odpowiednio względem y lub θ.

Uczyć się,

Rachunek matematyczny
Pochodna w matematyce

Pochodna wzoru Cot x

Wzór na pochodną cot x wyraża się wzorem:

(d/dx)[łóżeczko x] = -cosec ² X

Lub

(łóżeczko x)’ = -cosec ² X

Dowód pochodnej Cot x

Pochodną cot x można udowodnić w następujący sposób:

Korzystając z pierwszej zasady pochodnej
Używając Reguła ilorazu
Używając Zasada łańcuchowa

Pochodna Cot x według pierwszej zasady pochodnej

Zacznijmy dowód pochodnej Cot x:

Niech f(x) = Łóżeczko x

Według pierwszej zasady pochodnej

f'(x)= lim h → 0 f(x+h)-f(x)/h

= lim h→0 łóżeczko(x+ h)- łóżeczko x/ godz

= lim h → 0 [cos(x+h)/sin(x+h)- cos x/ sin x]/h

= lim h → 0 sin x cos(x+h)-cos x sin (x+h) / sin(x+h) sin x. H

=lim h→0 sin [x-(x+h) / sin(x+h).sin x .h

= lim h → 0 – sin h/h lim h → 0 1/sin (x+h)sin x

= -1 × 1/sinx. grzech

= -1/ bez ² X

= -cosek ² X

Pochodna Cot x według reguły ilorazu

Aby znaleźć pochodną cot x korzystając z reguły ilorazu pochodnej, musimy skorzystać z poniższych wzorów

(d/dx) [u/v] = [u’v – uv’]/v ²
bez ² (x)+ sałata ² (x) = 1
łóżko x = cos x / grzech x
cosek x = 1 / grzech x

Zacznijmy dowód pochodnej cot x

f(x) = łóżko x = cos(x)/sin(x)

u(x) = cos(x) i v(x)=sin(x)

u'(x) = -sin(x) i v'(x)=cos(x)

W ² (x) = grzech ² (X)

f'(x) = {-sin(x).sin(x) – cos(x).cos(x)}/sin ² (X)

f'(x) = -grzech ² (x) -cos ² (x)/grzech ² (X)

f'(x) = -grzech ² (x)+kos ² (x)/grzech ² (X)

Przez jedną z tożsamości trygonometrycznych, cos ² x + grzech ² x = 1.

f'(x) = – 1/ grzech ² (X)

d/dx łóżeczko(x) = -1 /sin ² (x) = -cosek ² (X)

Dlatego różniczkowanie łóżka x wynosi -cosec ² X.

Pochodna Cot x według reguły łańcuchowej

Załóżmy, że y = cot x, możemy zapisać y = 1 / (tan x) = (tan x) ^-1 . Ponieważ mamy tu władzę, możemy tutaj zastosować regułę potęgi. Według reguły władzy i reguły łańcucha,

y’ = (-1) (brązowy x) ^-2 ·d/dx (tan x)

Pochodna tan x wynosi, d/dx (tan x) = sec²x

y= łóżeczko x

y’ = -1/tan ² x·(sek ² X)

y’ = – łóżeczko dziecięce ² x·sek ² X

Teraz łóżeczko x = (cos x)/(sin x) i sec x = 1/(cos x). Więc

y’ = -(bos ² x)/(bez ² x) · (1/przysł ² X)

y’ = -1/grzech ² X

Ponieważ odwrotnością grzechu jest cosec. tj. 1/sin x = cosec x. Więc

y’ = -cosec ² X

Stąd udowodnione.

Przeczytaj także,

Różniczkowanie funkcji trygonometrycznej

Wzory różniczkowe

Pochodna pierwiastka x

Rozwiązane przykłady pochodnej łóżeczka x

Oto kilka przykładów związanych z pochodną Cot x:

Przykład 1: Znajdź pochodną łóżeczka ² X.

Rozwiązanie:

Niech f(x) = łóżko dziecięce ² x = (łóżeczko x) ²

Używając reguły potęgi i reguły łańcucha,

f'(x) = 2 łóżko x · d/dx(łóżko x)

Wiemy, że pochodna cot x to -cosec ² X. Więc

f'(x) = -2 łóżko x ·cosec ² X

Przykład 2: Zróżniczkuj tan x względem łóżeczka x.

Rozwiązanie:

Niech v = tan x i u = cot x. Wtedy dv/dx = sek ² x i du/dx = -cosec ² X.

Musimy znaleźć dv/du. Możemy to zapisać jako

dv/du = (dv/dx) / (du/dx)

dv/du = (sek ² x) / (-cosek ² X)

dv/du = (1/cos ² x) / (-1/grzech ² X)

dv/du = (-sin ² x) / (kos ² X)

dv/du = -tan ² X

Przykład 3: Znajdź pochodną cot x · csc2x

Rozwiązanie:

Niech f(x) = łóżko x · cosec ² X

Według reguły produktu,

f'(x) = łóżko x·d/dx (cosec ² x) + cosek ² x·d/dx(łóżeczko x)

f’(x) = łóżko x·(2 cosec x) d/dx (cosec x) + cosec ² x (-cosek ² x) (według reguły łańcucha)

f'(x) = 2 cosec x łóżeczko x (-cosec x łóżeczko x) – cosec ⁴ X

f'(x) = -2 cosek ² x łóżeczko dziecięce ² x – cosek ⁴ X