I matematikk er summeringen den grunnleggende addisjonen av en sekvens av alle tall, kalt addends eller summeringer; resultatet er summen eller totalen deres. I matematikk kan tall, funksjoner, vektorer, matriser, polynomer og generelt elementer i et matematisk objekt assosieres med en operasjon kalt addisjon/summering, betegnet som +.

Summering av en eksplisitt sekvens betegnes som en rekke tillegg. For eksempel kan summeringen av (1, 3, 4, 7) base betegnes 1 + 3 + 4 + 7, og resultatet for notasjonen ovenfor er 15, det vil si 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Fordi addisjonsoperasjonen er assosiativ så vel som kommutativ, det er ikke behov for parenteser når du noterer serien/sekvensen, og resultatet kommer til å bli det samme uavhengig av rekkefølgen på summene.

Innholdsfortegnelse

• Hva er summeringsformel?
• Hvor skal man bruke oppsummeringsformel?
• Egenskaper for oppsummering
• Standard summeringsformler
• Eksempel på summeringsformel
• Vanlige spørsmål om oppsummeringsformel

Hva er summeringsformel?

Summasjon eller sigma (∑) notasjon er en metode som brukes til å skrive ut en lang sum på en kortfattet måte. Denne notasjonen kan knyttes til enhver formel eller funksjon.

For eksempel, _i=1 ∑ ¹⁰ (i) er en sigma-notasjon for addisjon av endelig sekvens 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 der det første elementet er 1 og det siste elementet er 10.

Oppsummeringsformler

Hvor skal man bruke oppsummeringsformel?

Summasjonsnotasjon kan brukes i forskjellige felt av matematikk:

• Sekvens i serie
• Integrering
• Sannsynlighet
• Permutasjon og kombinasjon
• Statistikk

Merk: En summering er en kort form for repeterende addisjon. Vi kan også erstatte summering med en addisjonsløkke.

Egenskaper for oppsummering

Eiendom 1

_i=1 ∑ ⁿ c = c + c + c + …. + c (n) ganger = nc

For eksempel: Finn verdien av _i=1 ∑ ⁴ c.

Ved å bruke egenskap 1 kan vi direkte beregne verdien av _i=1 ∑ ⁴ c som 4×c = 4c.

Eiendom 2

_c=1 ∑ ⁿ kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) ganger = k × (1 + … + n) = k _c=1 ∑ ⁿ c

For eksempel: Finn verdien av _i=1 ∑ ⁴ 5i.

Ved å bruke egenskap 2 og 1 kan vi direkte beregne verdien av _{i= 1} ∑ ⁴ 5i som 5 × _i=1 ∑ ⁴ i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Eiendom 3

_c=1 ∑ ⁿ (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) ganger = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

For eksempel: Finn verdien av _i=1 ∑ ⁴ (5+i).

Ved å bruke egenskap 2 og 3 kan vi direkte beregne verdien av _i=1 ∑ ⁴ (5+i) som 5×4+ _i=1 ∑ ⁴ i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Eiendom 4

_k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

For eksempel: Finn verdien av _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ).

Ved å bruke egenskap 4 kan vi direkte beregne verdien av _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ) som _i=1 ∑ ⁴ jeg + _i=1 ∑ ⁴ Jeg ² = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standard summeringsformler

Ulike summeringsformler er,

Sum av første n naturlige tall: (1+2+3+…+n) = _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n +1)]/2

Summen av kvadratet av de første n naturlige tallene: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (Jeg ² ) = [n × (n+1) × (2n+1)]/6

Summen av terningen av de første n naturlige tallene: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (Jeg ³ ) = [n ² ×(n +1) ² )]/4

Sum av første n partall naturlige tall: (2+4+…+2n) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) = [n ×(n +1)]

Summen av første n odde naturlige tall: (1+3+…+2n-1) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) = n ²

Summen av kvadratet av første n partall naturlige tall: (2 ² +4 ² +…+(2n) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ² = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Summen av kvadratet av første n odde naturlige tall: (1 ² +3 ² +…+(2n-1) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Summen av kube av første n partall naturlige tall: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ³ = 2[n(n+1)] ²

Summen av terningen av første n odde naturlige tall: (1 ³ +3 ³ +…+(2n-1) ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ³ = n ² (2n ² - 1)

Relaterte artikler:

• Summen av naturlige tall
• Sum i matte
• Aritmetiske operasjoner
• Aritmetisk progresjon og geometrisk progresjon

Eksempel på summeringsformel

Eksempel 1: Finn summen av de første 10 naturlige tallene ved å bruke summeringsformelen.

Løsning:

Bruke summeringsformelen for summen av n naturlig tall _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n +1)]/2

Vi har summen av de første 10 naturlige tallene = _i=1 ∑ ¹⁰ (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Eksempel 2: Finn summen av 10 første naturlige tall større enn 5, ved å bruke summeringsformelen.

Løsning:

I følge spørsmålet:

Summen av 10 første naturlige tall større enn 5 = _i=6 ∑ ^femten (Jeg)

= _i=1 ∑ ^femten (Jeg) - _i=1 ∑ ⁵ (Jeg)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Eksempel 3: Finn summen av gitt endelig rekkefølge 1 ² + 2 ² + 3 ² +...8 ² .

Løsning:

Den gitte rekkefølgen er 1 ² + 2 ² + 3 ² +...8 ² , kan det skrives som _i=1 ∑ ⁸ Jeg ² ved å bruke egenskapen/formelen for summering

_i=1 ∑ ⁸ Jeg ² = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Eksempel 4: Forenkle _c=1 ∑ ⁿ kc.

Løsning:

Gitt summeringsformel = _c=1 ∑ ⁿ kc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n ledd)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1 ∑ ⁿ kc = k _c=1 ∑ ⁿ c

Eksempel 5: Forenkle og evaluer x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

Løsning:

Gitt summering er _x=1 ∑ ⁿ (4+x)

Som vi vet det _c=1 ∑ ⁿ (k+c) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

Gitt summering kan forenkles som,

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (x)

Eksempel 6: Forenkle _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

Løsning:

Gitt summering er _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

slik vi vet det _k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

gitt summering kan forenkles som _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (x ² ).

Vanlige spørsmål om oppsummeringsformel

Hva er summeringsformelen for naturlige tall?

Summen av de naturlige tallene fra 1 til n, er funnet ved hjelp av formelen n (n + 1) / 2. For eksempel er summen av de første 100 naturlige tallene 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Hva er generell summeringsformel?

Generell summeringsformel som brukes til å finne summen av en sekvens {a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…,en _n } er, ∑a _Jeg = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Hvordan bruker du ∑?

∑ er symbolet på summering og brukes til å finne summen av serier.

Hva er formelen for n summering?

Formel for summen av n naturlig tall er, Summen av n talls formel er [n(n+1)2]