PROPOSISJONELL LOGIKK

Proposisjonell logikk er en gren av matematikk som studerer de logiske relasjonene mellom proposisjoner (eller utsagn, setninger, påstander) tatt som en helhet, og koblet sammen via logiske koblinger.

I denne artikkelen har vi dekket i detalj om proposisjonell logikk og relaterte emner.

Innholdsfortegnelse

Hva er logikk?
Proposisjonell logikk
Sannhetstabell

1. Negasjon
2. Konjunksjon
3. Disjunksjon
4. Eksklusiv eller
5. Implikasjon
6. Bibetinget eller dobbel implikasjon

Hva er logikk?

Logikk er grunnlaget for all matematisk resonnement og all automatisert resonnering. Logikkens regler spesifiserer betydningen av matematiske utsagn. Disse reglene hjelper oss å forstå og resonnere med utsagn som –

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Som på enkel engelsk betyr Det finnes et heltall som ikke er summen av to kvadrater .

Viktigheten av matematisk logikk

Logikkens regler gir nøyaktig mening til matematiske utsagn. Disse reglene brukes til å skille mellom gyldige og ugyldige matematiske argumenter. Bortsett fra dens betydning for å forstå matematisk resonnement, har logikk mange bruksområder innen informatikk, som varierer fra design av digitale kretser til konstruksjon av dataprogrammer og verifisering av programmers riktighet.

Hva er et forslag? Et forslag er logikkens grunnleggende byggestein. Det er definert som en deklarativ setning som enten er sann eller usann, men ikke begge deler. De Sannhetsverdi av en proposisjon er True (betegnet som T) hvis det er en sann uttalelse, og False (betegnet som F) hvis det er en usant utsagn. For eksempel,

Solen står opp i øst og går ned i vest.
1 + 1 = 2
'b' er en vokal.

Alle setningene ovenfor er forslag, der de to første er gyldige (sann) og den tredje er ugyldige (falske). Noen setninger som ikke har en sannhetsverdi eller kan ha mer enn én sannhetsverdi, er ikke proposisjoner. For eksempel,

Hva er klokka?
Gå ut og lek
x + 1 = 2

Setningene ovenfor er ikke påstander da de to første ikke har en sannhetsverdi, og den tredje kan være sann eller usann. For å representere forslag, proposisjonelle variabler er brukt. Ved konvensjon er disse variablene representert med små alfabeter som f.eks p,:q,:r,:s . Området for logikk som omhandler proposisjoner kalles proposisjonskalkyle eller proposisjonell logikk . Det inkluderer også å produsere nye forslag ved å bruke eksisterende. Proposisjoner konstruert ved hjelp av en eller flere proposisjoner kalles sammensatte forslag . Forslagene er kombinert sammen vha Logiske koblinger eller Logiske operatører .

Proposisjonell logikk

Sannhetstabell

Siden vi trenger å vite sannhetsverdien til en proposisjon i alle mulige scenarier, vurderer vi alle mulige kombinasjoner av proposisjonene som er slått sammen av logiske forbindelser for å danne den gitte sammensatte proposisjonen. Denne samlingen av alle mulige scenarier i et tabellformat kalles en sannhetstabell . Mest vanlige logiske koblinger-

1. Negasjon

Hvis p er et forslag, så negasjonen av p er betegnet med eg p , som når oversatt til enkelt engelsk betyr- Det er ikke slik at s eller rett og slett ikke s . Sannhetsverdien av -s er det motsatte av sannhetsverdien av s . Sannhetstabellen til -s er:

s	¬s
T	F
F	T

Eksempel, Negasjon av Det regner i dag, er Det er ikke slik det regner i dag eller rett og slett Det regner ikke i dag.

2. Konjunksjon

For to forslag p og q , deres konjunksjon er betegnet med pwedge q , som betyr p og q . Konjunksjonen pwedge q er sant når begge deler p og q er sanne, ellers usanne. Sannhetstabellen til pwedge q er:

s	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Eksempel, Sammenheng av proposisjonene p – I dag er det fredag og q - Det regner i dag, pwedge q er i dag er det fredag og det regner i dag. Dette forslaget gjelder bare på regnfulle fredager og er feil på alle andre regnværsdager eller på fredager når det ikke regner.

3. Disjunksjon

For to forslag p og q , deres disjunksjon er betegnet med pvee q , som betyr p eller q . Disjunksjonen pvee q er sant når enten p eller q er sant, ellers usant. Sannhetstabellen til pvee q er:

s	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Eksempel, Disjunksjon av proposisjonene p – I dag er det fredag og q - Det regner i dag, pvee q er i dag er det fredag eller det regner i dag. Dette forslaget er sant på alle dager som er en fredag eller en regnværsdag (inkludert regnfulle fredager) og er feil på alle andre dager enn fredag når det heller ikke regner.

4. Eksklusiv Or

For to forslag p og q , deres eksklusive eller er betegnet med poplus q , som betyr enten p eller q men ikke begge deler. Den eksklusive eller poplus q er sant når enten p eller q er sant, og usant når begge er sanne eller begge er usanne. Sannhetstabellen til poplus q er:

s	q	p ⊕ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Eksempel, Eksklusivt eller av forslagene p – I dag er det fredag og q - Det regner i dag, poplus q er enten fredag i dag eller så regner det i dag, men ikke begge deler. Dette forslaget er sant på alle dager som er en fredag eller en regnfull dag (ikke inkludert regnfulle fredager) og er feil på alle andre dager enn fredager når det ikke regner eller regner fredager.

5. Implikasjon

For to forslag p og q , erklæringen if p deretter q kalles en implikasjon og er betegnet med p ightarrow q . I implikasjonen p ightarrow q , p kalles hypotese eller forutgående eller premiss og q kalles konklusjon eller konsekvens . Implikasjonen er p ightarrow q kalles også a betinget uttalelse . Implikasjonen er falsk når p er sant og q er usann ellers er det sant. Sannhetstabellen til p ightarrow q er:

s	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Man kan lure på hvorfor p ightarrow q sant når p er falsk. Dette er fordi implikasjonen garanterer at når p og q er sanne, så er implikasjonen sann. Men implikasjonen garanterer ikke noe når premisset p er falsk. Det er ingen måte å vite om implikasjonen er falsk eller ikke p skjedde ikke. Denne situasjonen er lik den uskyldige inntil bevist skyldig holdning, noe som betyr at implikasjonen p ightarrow q anses som sant inntil det er bevist usant. Siden vi ikke kan kalle implikasjonen p ightarrow q falsk når p er falsk, er vårt eneste alternativ å kalle det sant.

Dette følger av Eksplosjonsprinsipp som sier: En falsk utsagn innebærer alt Betingede utsagn spiller en svært viktig rolle i matematisk resonnement, og derfor brukes en rekke terminologier for å uttrykke p ightarrow q , hvorav noen er oppført nedenfor.

Hvis p, så er qp tilstrekkelig for qq når pa nødvendig betingelse for p er qp bare hvis qq med mindre ≠pq følger av p

Eksempel, Hvis det er fredag så regner det i dag er et forslag som er av formen p ightarrow q . Forslaget ovenfor er sant hvis det ikke er fredag (premisset er usant) eller hvis det er fredag og det regner, og det er usant når det er fredag, men det regner ikke.

6. Bibetinget eller dobbel implikasjon

For to forslag p og q , uttalelsen p hvis og bare hvis (iff) q kalles en bibetinget og den er betegnet med pleftrightarrow q . Uttalelsen pleftrightarrow q kalles også a bi-implikasjon . pleftrightarrow q har samme sannhetsverdi som (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Implikasjonen er sann når p og q har samme sannhetsverdier, og er usann ellers. Sannhetstabellen til pleftrightarrow q er:

s	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Noen andre vanlige måter å uttrykke seg på pleftrightarrow q er:

p er nødvendig og tilstrekkelig for qif p deretter q, og omvendt p hvis q

Eksempel: Det regner i dag hvis og bare hvis det er fredag i dag. er et forslag som er av formen pleftrightarrow q . Forslaget ovenfor er sant hvis det ikke er fredag og det ikke regner eller hvis det er fredag og det regner, og det er usant når det ikke er fredag eller det ikke regner. Trening:

1) Tenk på følgende utsagn: