La L være et ikke-tomt sett lukket under to binære operasjoner kalt møte og bli med, betegnet med ∧ og ∨. Da kalles L et gitter hvis følgende aksiomer gjelder der a, b, c er elementer i L:

1) Kommutativ lov: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Assosiasjonsrett:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Absorpsjonslov: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Dualitet:

Dualen til ethvert utsagn i et gitter (L,∧ ,∨ ) er definert til å være et utsagn som oppnås ved å bytte ut ∧ og ∨.

For eksempel , dualen av a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a er a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Avgrensede gitter:

Et gitter L kalles et avgrenset gitter hvis det har største element 1 og minste element 0.

Eksempel:

1. Potensmengden P(S) til settet S under operasjonene av skjæring og forening er et avgrenset gitter siden ∅ er det minste elementet av P(S) og settet S er det største elementet av P(S).
2. Settet med +ve heltall I ₊ under den vanlige rekkefølgen ≦ er ikke et avgrenset gitter siden det har et minste element 1, men det største elementet eksisterer ikke.

Egenskaper til avgrensede gitter:

Hvis L er et avgrenset gitter, så for ethvert element a ∈ L, har vi følgende identiteter:

1. a ∨ 1 = 1
2. a ∧1= a
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

Teorem: Bevis at hvert endelig gitter L = {a ₁ ,en ₂ ,en ₃ ....en _n } er avgrenset.

Bevis: Vi har gitt det endelige gitteret:

L = {a ₁ ,en ₂ ,en ₃ ....en _n }

Dermed er det største elementet i gitter L a ₁ ∨ a ₂ ∨ a _{3∨....∨a n .}

Dessuten er det minste elementet i gitter L a ₁ ∧ a ₂ ∧a ₃ ∧....∧a _n .

Siden eksisterer de største og minste elementene for hvert begrenset gitter. Derfor er L avgrenset.

Undergitter:

Vurder en ikke-tom delmengde L ₁ av et gitter L. Så L ₁ kalles et undergitter av L hvis L ₁ i seg selv er et gitter, dvs. operasjonen til L, dvs. a ∨ b ∈ L ₁ og a ∧ b ∈ L ₁ når en ∈ L ₁ og b ∈ L ₁ .

Eksempel: Tenk på gitteret til alle +ve heltall I ₊ under drift av delbarhet. Gitteret D _n av alle divisorer av n > 1 er et undergitter av I ₊ .

Bestem alle undergittrene til D ₃₀ som inneholder minst fire elementer, D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Løsning: Undergitteret til D ₃₀ som inneholder minst fire elementer er som følger:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Isomorfe gitter:

To gitter L ₁ og jeg ₂ kalles isomorfe gitter hvis det er en bijeksjon fra L ₁ til L ₂ dvs. f: L ₁ ⟶ L ₂ , slik at f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) og f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Eksempel: Bestem om gitterne vist i fig er isomorfe.

Løsning: Gitteret vist på fig er isomorfe. Tenk på tilordningen f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. For eksempel f (b ∧ c) = f (a) = 1. Vi har f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Fordelingsgitter:

Et gitter L kalles distributivt gitter hvis det for noen av elementene a, b og c i L tilfredsstiller følgende distributive egenskaper:

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Hvis gitteret L ikke tilfredsstiller egenskapene ovenfor, kalles det et ikke-fordelingsgitter.

Eksempel:

1. Kraftsettet P (S) til settet S under drift av kryss og forening er en fordelingsfunksjon. Siden,
   a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
   og også a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) for alle settene a, b og c av P(S).
2. Gitteret vist i fig II er et distributivt. Siden tilfredsstiller den fordelingsegenskapene for alle bestilte tripler som er tatt fra 1, 2, 3 og 4.

Komplementer og komplementerte gitter:

La L være et avgrenset gitter med nedre grense o og øvre grense I. La a være et element hvis L. Et element x i L kalles et komplement til a hvis a ∨ x = I og a ∧ x = 0

Et gitter L sies å være komplementert hvis L er avgrenset og hvert element i L har et komplement.

Eksempel: Bestem komplementet til a og c i fig.

Løsning: Komplementet til a er d. Siden a ∨ d = 1 og a ∧ d = 0

Komplementet til c eksisterer ikke. Siden det ikke eksisterer noe element c slik at c ∨ c'=1 og c ∧ c'= 0.

Modulært gitter:

Et gitter (L, ∧,∨) kalles et modulært gitter hvis a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c når a ≦ c.

Direkte produkt av gitter:

La (L ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ )og jeg ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) være to gitter. Da (L, ∧,∨) er det direkte produktet av gitter, der L = L ₁ x L ₂ der den binære operasjonen ∨(join) og ∧(møter) på L er slik at for enhver (a ₁ ,b ₁ ) og (a ₂ ,b ₂ ) i L.

(en ₁ ,b ₁ )∨( en ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∨ ₁ en ₂ ,b ₁ ∨ ₂ b ₂ )
og (a ₁ ,b ₁ ) ∧ ( en ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∧ ₁ en ₂ ,b ₁ ∧ ₂ b ₂ ).

Eksempel: Betrakt et gitter (L, ≦) som vist i fig. hvor L = {1, 2}. Bestem gitterne (L ² , ≦), hvor L ² =L x L.

Løsning: Gitteret (L ² , ≦) er vist i fig: