Laat L een niet-lege verzameling zijn die gesloten is onder twee binaire operaties genaamd meet and join, aangegeven met ∧ en ∨. Dan wordt L een rooster genoemd als de volgende axioma's gelden waarbij a, b, c elementen in L zijn:

1) Commutatieve wet: -
(a) een ∧ b = b ∧ een (b) een ∨ b = b ∨ een

2) Associatief recht: -
(a) (a ∧ b)∧ c = een ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Absorptiewet: -
(a) een ∧ ( een ∨ b) = een (b) een ∨ ( een ∧ b) = een

Dualiteit:

De duale van elke verklaring in een rooster (L,∧ ,∨ ) wordt gedefinieerd als een verklaring die wordt verkregen door ∧ en ∨ uit te wisselen.

Bijvoorbeeld , de duale van a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a is een ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Begrensde roosters:

Een rooster L wordt een begrensd rooster genoemd als het het grootste element 1 en het kleinste element 0 heeft.

Voorbeeld:

1. De machtsverzameling P(S) van de verzameling S onder de bewerkingen van snijpunt en vereniging is een begrensd rooster aangezien ∅ het kleinste element van P(S) is en de verzameling S het grootste element van P(S).
2. De verzameling van +ve geheel getal I ₊ onder de gebruikelijke volgorde van ≦ is er geen begrensd rooster omdat het het minste element 1 heeft, maar het grootste element niet bestaat.

Eigenschappen van begrensde roosters:

Als L een begrensd rooster is, dan hebben we voor elk element a ∈ L de volgende identiteiten:

1. een ∨ 1 = 1
2. een ∧1= een
3. een ∨0=een
4. een ∧0=0

Stelling: Bewijs dat elk eindig rooster L = {a ₁ ,A ₂ ,A ₃ ....A _N } is begrensd.

Bewijs: We hebben het eindige rooster gegeven:

L = {een ₁ ,A ₂ ,A ₃ ....A _N }

Het grootste element van Lattices L is dus a ₁ ∨ een ₂ ∨ een _{3∨....∨a N .}

Ook is het kleinste element van rooster L a ₁ ∧ een ₂ ∧een ₃ ∧....∧a _N .

Omdat er voor elk eindig rooster de grootste en de kleinste elementen bestaan. Daarom is L begrensd.

Subroosters:

Beschouw een niet-lege deelverzameling L ₁ van een rooster L. Dan L ₁ wordt een subrooster van L genoemd als L ₁ zelf is een rooster, dat wil zeggen de werking van L, dat wil zeggen, a ∨ b ∈ L ₁ en a ∧ b ∈ L ₁ wanneer een ∈ L ₁ en b ∈ L ₁ .

Voorbeeld: Beschouw het rooster van alle +ve gehele getallen I ₊ onder de werking van deelbaarheid. Het rooster D _N van alle delers van n > 1 is een subrooster van I ₊ .

Bepaal alle subroosters van D ₃₀ die ten minste vier elementen bevatten, D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Oplossing: De subroosters van D ₃₀ die ten minste vier elementen bevatten, zijn als volgt:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Isomorfe roosters:

Twee roosters L ₁ en ik ₂ worden isomorfe roosters genoemd als er een bijectie is van L ₁ aan L ₂ d.w.z. f: L ₁ ⟶ L ₂ , zodat f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) en f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Voorbeeld: Bepaal of de in figuur weergegeven roosters isomorf zijn.

Oplossing: De roosters getoond in figuur zijn isomorf. Beschouw de afbeelding f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Bijvoorbeeld f (b ∧ c) = f (a) = 1. Ook hebben f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Distributief rooster:

Een rooster L wordt distributief rooster genoemd als het voor alle elementen a, b en c van L voldoet aan de volgende distributieve eigenschappen:

1. een ∧ (b ∨ c) = (een ∧ b) ∨ (een ∧ c)
2. een ∨ (b ∧ c) = (een ∨ b) ∧ (een ∨ c)

Als het rooster L niet aan de bovenstaande eigenschappen voldoet, wordt het een niet-distributief rooster genoemd.

Voorbeeld:

1. De machtsverzameling P (S) van de verzameling S onder de werking van snijpunt en vereniging is een distributieve functie. Sinds,
   een ∩ (b ∪ c) = (een ∩ b) ∪ (een ∩ c)
   en ook a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) voor alle sets a, b en c van P(S).
2. Het rooster getoond in figuur II is een distributief. Omdat het voldoet aan de distributieve eigenschappen voor alle geordende triples die zijn ontleend aan 1, 2, 3 en 4.

Complementen en aangevulde roosters:

Laat L een begrensd rooster zijn met ondergrens o en bovengrens I. Laat a een element zijn als L. Een element x in L wordt een complement van a genoemd als a ∨ x = I en a ∧ x = 0

Er wordt gezegd dat een rooster L gecomplementeerd is als L begrensd is en elk element in L een complement heeft.

Voorbeeld: Bepaal het complement van a en c in figuur:

Oplossing: Het complement van a is d. Omdat a ∨ d = 1 en a ∧ d = 0

Het complement van c bestaat niet. Omdat er geen enkel element c bestaat zodat c ∨ c'=1 en c ∧ c'= 0.

Modulair rooster:

Een rooster (L, ∧,∨) wordt een modulair rooster genoemd als a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c wanneer a ≦ c.

Direct product van roosters:

Laat (L ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ )en ik ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) twee roosters zijn. Dan is (L, ∧,∨) het directe product van roosters, waarbij L = L ₁ x L ₂ waarin de binaire bewerking ∨(join) en ∧(meet) op L zodanig zijn dat voor elke (a ₁ ,B ₁ )en een ₂ ,B ₂ ) in L.

(A ₁ ,B ₁ )∨( een ₂ ,B ₂ )=(een ₁ ∨ ₁ A ₂ ,B ₁ ∨ ₂ B ₂ )
en een ₁ ,B ₁ ) ∧ (een ₂ ,B ₂ )=(een ₁ ∧ ₁ A ₂ ,B ₁ ∧ ₂ B ₂ ).

Voorbeeld: Beschouw een rooster (L, ≦) zoals getoond in Fig. waarbij L = {1, 2}. Bepaal de roosters (L ² , ≦), waarbij L ² =LxL.

Oplossing: Het rooster (L ² , ≦) wordt getoond in figuur: