Summēšanas formula
Matemātikā summēšana ir jebkuru skaitļu virknes pamata pievienošana, ko sauc par saskaitījumiem vai summām; rezultāts ir to summa vai kopsumma. Matemātikā skaitļus, funkcijas, vektorus, matricas, polinomus un, vispār, jebkura matemātiska objekta elementus var saistīt ar darbību, ko sauc par saskaitīšanu/summēšanu, ko apzīmē kā +.
Skaidras secības summēšana tiek apzīmēta kā papildinājumu secība. Piemēram, (1, 3, 4, 7) summēšana var būt apzīmēta ar 1 + 3 + 4 + 7, un rezultāts iepriekšminētajam apzīmējumam ir 15, tas ir, 1 + 3 + 4 + 7 = 15. saskaitīšanas darbība ir asociatīva, kā arī komutatīva, nav nepieciešamas iekavas, uzskaitot virkni/secību, un rezultāts būs vienāds neatkarīgi no summēšanas secības.
Satura rādītājs
- Kas ir summēšanas formula?
- Kur izmantot summēšanas formulu?
- Summēšanas īpašības
- Standarta summēšanas formulas
- Summēšanas formulas piemērs
- Bieži uzdotie jautājumi par summēšanas formulu
Kas ir summēšanas formula?
Summēšana jeb sigma (∑) ir metode, ko izmanto, lai īsi uzrakstītu garu summu. Šo apzīmējumu var pievienot jebkurai formulai vai funkcijai.
Piemēram, i=1 ∑ 10 (i) ir ierobežotas secības 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 pievienošanas sigma apzīmējums, kur pirmais elements ir 1 un pēdējais elements ir 10.
Summēšanas formulas
Kur izmantot summēšanas formulu?
Summēšanas notāciju var izmantot dažādās matemātikas jomās:
- Secība sērijā
- Integrācija
- Varbūtība
- Permutācija un kombinācija
- Statistika
Piezīme: Summēšana ir īss atkārtotas pievienošanas veids. Mēs varam arī aizstāt summēšanu ar pievienošanas cilpu.
Summēšanas īpašības
1. īpašums
i=1 ∑ n c = c + c + c + …. + c (n) reizes = nc
Piemēram: Atrodiet vērtību i=1 ∑ 4 c.
Izmantojot rekvizītu 1, mēs varam tieši aprēķināt vērtību i=1 ∑ 4 c kā 4 × c = 4c.
2. īpašums
c=1 ∑ n kc = (k × 1) + (k × 2) + (k × 3) + …. + (k × n) …. (n) reizes = k × (1 + … + n) = k c=1 ∑ n c
Piemēram: Atrodiet vērtību i=1 ∑ 4 5i.
Izmantojot rekvizītus 2 un 1, mēs varam tieši aprēķināt vērtību i= 1 ∑ 4 5i kā 5 × i=1 ∑ 4 i = 5 × (1 + 2 + 3 + 4) = 50.
3. īpašums
c=1 ∑ n (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) reizes = (n × k) + (1 + … + n) = nk + c=1 ∑ n c
Piemēram: Atrodiet vērtību i=1 ∑ 4 (5+i).
Izmantojot rekvizītus 2 un 3, mēs varam tieši aprēķināt vērtību i=1 ∑ 4 (5+i) kā 5×4+ i=1 ∑ 4 i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.
4. īpašums
k=1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ n f(k) + k=1 ∑ n g(k)
Piemēram: Atrast vērtību i=1 ∑ 4 (i + i 2 ).
Izmantojot rekvizītu 4, mēs varam tieši aprēķināt vērtību i=1 ∑ 4 (i + i 2 ) kā i=1 ∑ 4 es + i=1 ∑ 4 i 2 = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.
Standarta summēšanas formulas
Ir dažādas summēšanas formulas,
Pirmo n naturālo skaitļu summa: (1+2+3+…+n) = i=1 ∑ n (i) = [n × (n +1)]/2
Pirmo n naturālo skaitļu kvadrātu summa: (1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 ) = i=1 ∑ n (t.i 2 ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6
Pirmo n naturālo skaitļu kuba summa: (1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 ) = i=1 ∑ n (t.i 3 ) = [n 2 ×(n +1) 2 )]/4
Pirmo n pāra naturālo skaitļu summa: (2+4+…+2n) = i=1 ∑ n (2i) = [n × (n +1)]
Pirmo n nepāra naturālu skaitļu summa: (1+3+…+2n-1) = i=1 ∑ n (2i-1) = n 2
Pirmo n pāra naturālo skaitļu kvadrātu summa: (2 2 +4 2 +…+(2n) 2 ) = i=1 ∑ n (2i) 2 = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3
Pirmo n nepāra naturālo skaitļu kvadrātu summa: (1 2 +3 2 +…+(2n-1) 2 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 2 = [n(2n+1)(2n-1)] / 3
Pirmo n pāra naturālo skaitļu kuba summa: (2 3 +4 3 +…+(2n)3) = i=1 ∑ n (2i) 3 = 2[n(n+1)] 2
Pirmo n nepāra naturālo skaitļu kuba summa: (1 3 +3 3 +…+(2n-1) 3 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 3 = n 2 (2n 2 - 1)
Saistītie raksti:
- Dabisko skaitļu summa
- Summa matemātikā
- Aritmētiskās operācijas
- Aritmētiskā progresija un ģeometriskā progresija
Summēšanas formulas piemērs
1. piemērs. Atrodiet pirmo 10 naturālo skaitļu summu, izmantojot summēšanas formulu.
Risinājums:
Izmantojot summēšanas formulu n naturālā skaitļa summai i=1 ∑ n (i) = [n × (n +1)]/2
Mums ir pirmo 10 naturālo skaitļu summa = i=1 ∑ 10 (i) = [10 × (10 +1)]/2 = 55
2. piemērs. Izmantojot summēšanas formulu, atrodiet to 10 pirmo naturālo skaitļu summu, kas ir lielāki par 5.
Risinājums:
Saskaņā ar jautājumu:
10 pirmo naturālo skaitļu summa, kas lielāka par 5 = i=6 ∑ piecpadsmit (i)
= i=1 ∑ piecpadsmit (i) – i=1 ∑ 5 (i)
= [15 × 16] / 2 – [5 × 6]/2
= 120–15
= 105
3. piemērs: atrodiet dotās galīgās secības 1 summu 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 .
Risinājums:
Dotā secība ir 1 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 , to var rakstīt kā i=1 ∑ 8 i 2 izmantojot summēšanas īpašību/ formulu
i=1 ∑ 8 i 2 = [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6
= 204
4. piemērs. Vienkāršojiet c=1 ∑ n kc.
Risinājums:
Dotā summēšanas formula = c=1 ∑ n kc
= (k × 1) + (k × 2) + …… + (k × n) (n vārdi)
= k (1 + 2 + 3 +….. + n)
c=1 ∑ n kc = k c=1 ∑ n c
5. piemērs. Vienkāršojiet un novērtējiet x =1 ∑ n (4+x).
Risinājums:
Dotā summēšana ir x=1 ∑ n (4+x)
Kā mēs to zinām c=1 ∑ n (k+c) = nk + c=1 ∑ n c
Doto summēšanu var vienkāršot kā
4n+ x=1 ∑ n (x)
6. piemērs. Vienkāršojiet x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
Risinājums:
Dotā summēšana ir x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
kā mēs to zinām k=1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ n f(k) + k=1 ∑ n g(k)
doto summēšanu var vienkāršot kā x=1 ∑ n (2x) + x=1 ∑ n (x 2 ).
Bieži uzdotie jautājumi par summēšanas formulu
Kas ir naturālo skaitļu summēšanas formula?
Naturālo skaitļu summa no 1 līdz n tiek atrasta, izmantojot formulu n (n + 1) / 2. Piemēram, pirmo 100 naturālo skaitļu summa ir 100 (100 + 1) / 2 = 5050.
Kas ir vispārējā summēšanas formula?
Vispārīga summēšanas formula, ko izmanto, lai atrastu secības {a 1 , a 2 , a 3 ,…,a n } ir, ∑a i = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
Kā jūs lietojat ∑?
∑ ir summēšanas simbols un tiek izmantots, lai atrastu sēriju summu.
Kas ir n summēšanas formula?
Formula n naturālā skaitļa summai ir, n skaitļu summas formula ir [n(n+1)2]
