PROPOZĪCIJAS LOĢIKA

Propozicionālā loģika ir matemātikas nozare, kas pēta loģiskās attiecības starp priekšlikumiem (vai apgalvojumiem, teikumiem, apgalvojumiem) kopumā un savienoti ar loģisku savienojumu palīdzību.

Šajā rakstā mēs esam detalizēti aplūkojuši ierosinājumu loģiku un ar to saistītās tēmas.

Satura rādītājs

Kas ir loģika?
Propozīcijas loģika
Patiesības tabula

1. Noliegums
2. Savienojums
3. Disjunkcija
4. Ekskluzīvs Or
5. Implikācija
6. Divu nosacījumu jeb dubultās nozīmes

Kas ir loģika?

Loģika ir visas matemātiskās spriešanas un visas automatizētās spriešanas pamatā. Loģikas noteikumi nosaka matemātisko apgalvojumu nozīmi. Šie noteikumi palīdz mums saprast un pamatot tādus apgalvojumus kā:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Kas vienkāršā angļu valodā nozīmē Pastāv vesels skaitlis, kas nav divu kvadrātu summa .

Matemātiskās loģikas nozīme

Loģikas noteikumi piešķir precīzu nozīmi matemātiskiem apgalvojumiem. Šie noteikumi tiek izmantoti, lai atšķirtu derīgus un nederīgus matemātiskos argumentus. Papildus nozīmei matemātiskās spriešanas izpratnē, loģikai datorzinātnēs ir daudz pielietojumu, sākot no digitālo shēmu projektēšanas līdz datorprogrammu uzbūvei un programmu pareizības pārbaudei.

Kas ir priekšlikums? Priekšlikums ir loģikas pamatelements. Tas ir definēts kā deklaratīvs teikums, kas ir patiess vai nepatiess, bet ne abi. The Patiesības Vērtība priekšlikuma ir True (apzīmēts kā T), ja tas ir patiess apgalvojums, un False (apzīmēts kā F), ja tas ir nepatiess apgalvojums. Piemēram,

Saule lec austrumos un riet rietumos.
1 + 1 = 2
“b” ir patskanis.

Visi iepriekš minētie teikumi ir priekšlikumi, kur pirmie divi ir Valid (True) un trešais ir Invalid (False). Daži teikumi, kuriem nav patiesības vērtības vai kuriem var būt vairāk nekā viena patiesības vērtība, nav priekšlikumi. Piemēram,

Cik ir pulkstenis?
Ej ārā un Spēlē
x + 1 = 2

Iepriekš minētie teikumi nav priekšlikumi, jo pirmajiem diviem nav patiesības vērtības, bet trešais var būt patiess vai nepatiess. Lai pārstāvētu priekšlikumus, propozicionālie mainīgie tiek izmantoti. Pēc vienošanās šie mainīgie tiek attēloti ar maziem alfabētiem, piemēram, p,:q,:r,:s . Tiek saukta loģikas joma, kas nodarbojas ar priekšlikumiem propozīcijas aprēķins vai propozicionālā loģika . Tas ietver arī jaunu piedāvājumu izstrādi, izmantojot esošos. Tiek saukti priekšlikumi, kas konstruēti, izmantojot vienu vai vairākus priekšlikumus saliktie priekšlikumi . Priekšlikumi tiek apvienoti kopā, izmantojot Loģiskie savienojumi vai Loģiskie operatori .

Propozīcijas loģika

Patiesības tabula

Tā kā mums ir jāzina priekšlikuma patiesuma vērtība visos iespējamos scenārijos, mēs ņemam vērā visas iespējamās priekšlikumu kombinācijas, kuras ir savienotas kopā ar loģiskiem savienojumiem, lai izveidotu doto salikto priekšlikumu. Šo visu iespējamo scenāriju apkopojumu tabulas formātā sauc par a patiesības tabula . Visizplatītākie loģiskie savienojumi -

1. Noliegums

Ja p ir priekšlikums, tad noliegums p ir apzīmēts ar eg p , kas tulkojot vienkāršā angļu valodā nozīmē- Nav tā, ka lpp vai vienkārši nē lpp . Patiesības vērtība -lpp ir pretējs patiesības vērtībai lpp . Patiesības tabula -lpp ir:

lpp	¬p
T	F
F	T

Piemērs, Noliegums šodien līst, ir Nav jau tā, ka šodien līst vai vienkārši Šodien nelīst.

2. Savienojums

Jebkuriem diviem priekšlikumiem p un q , to savienojumu apzīmē ar pwedge q , kas nozīmē p un q . Savienojums pwedge q ir taisnība, ja abi p un q ir patiesi, pretējā gadījumā nepatiesi. Patiesības tabula pwedge q ir:

lpp	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Piemērs, Priekšlikumu konjunkcija p – Šodien ir piektdiena un q -Šodien līst, pwedge q ir Šodien ir piektdiena un šodien līst. Šis priekšlikums ir patiess tikai lietainās piektdienās un ir nepatiess jebkurā citā lietainā dienā vai piektdienās, kad nelīst.

3. Disjunkcija

Jebkuriem diviem priekšlikumiem p un q , to disjunkcija tiek apzīmēta ar pvee q , kas nozīmē p vai q . Disjunkcija pvee q ir Patiess, kad nu p vai q ir Patiess, pretējā gadījumā Nepatiess. Patiesības tabula pvee q ir:

lpp	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Piemērs, Priekšlikumu disjunkcija p – Šodien ir piektdiena un q -Šodien līst, pvee q ir Šodien ir piektdiena vai šodien līst. Šis priekšlikums ir patiess jebkurā piektdienā vai lietainā dienā (tostarp lietainās piektdienās), un tas ir nepatiess jebkurā citā dienā, izņemot piektdienu, kad arī nelīst.

4. Ekskluzīvs Or

Jebkuriem diviem priekšlikumiem p un q , to izņēmuma vai apzīmē ar poplus q , kas nozīmē vai nu p vai q bet ne abi. Ekskluzīvais vai poplus q ir Patiess, kad nu p vai q ir patiess un nepatiess, ja abi ir patiesi vai abi ir nepatiesi. Patiesības tabula poplus q ir:

lpp	q	p ⊕ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Piemērs, Ekskluzīvs vai no piedāvājumiem p – Šodien ir piektdiena un q -Šodien līst, poplus q ir Vai nu šodien ir piektdiena, vai arī šodien līst, bet ne abi. Šis ierosinājums ir patiess jebkurā dienā, kas ir piektdiena vai lietaina diena (izņemot lietainās piektdienas), un ir nepatiess jebkurā citā dienā, izņemot piektdienu, kad nelīst, vai lietainās piektdienās.

5. Implikācija

Jebkuriem diviem priekšlikumiem p un q , paziņojums, ja p tad q sauc par implikāciju un to apzīmē ar p ightarrow q . Ietekmē p ightarrow q , p tiek saukts par hipotēze vai priekštecis vai priekšnoteikums un q tiek saukts par secinājums vai sekas . Sekas ir p ightarrow q tiek saukts arī par a nosacīts paziņojums . Ietekme ir nepatiesa, kad p ir taisnība un q ir nepatiess, pretējā gadījumā tā ir patiesība. Patiesības tabula p ightarrow q ir:

lpp	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Varētu brīnīties, kāpēc tā ir p ightarrow q taisnība, kad p ir nepatiess. Tas ir tāpēc, ka sekas garantē, ka kad p un q ir patiesi, tad norāde ir patiesa. Bet sekas negarantē neko, kad priekšnoteikums p ir nepatiess. Kopš tā laika nav iespējams uzzināt, vai norāde ir nepatiesa p nenotika. Šī situācija ir līdzīga nostājai Nevainīgs, kamēr nav pierādīts, ka vainīgs, kas nozīmē, ka sekas p ightarrow q tiek uzskatīta par patiesu, līdz tiek pierādīta nepatiesa. Tā kā mēs nevaram saukt par implikāciju p ightarrow q viltus kad p ir nepatiess, mūsu vienīgā alternatīva ir saukt to par patiesību.

Tas izriet no Sprādziena princips kurā teikts: nepatiess apgalvojums nozīmē jebko. Nosacījuma apgalvojumiem ir ļoti svarīga loma matemātiskajā spriešanā, tāpēc tiek izmantota dažāda terminoloģija, lai izteiktu p ightarrow q , daži no tiem ir uzskaitīti zemāk.

Ja p, tad qp ir pietiekams qq, kad pa nepieciešamais nosacījums p ir qp tikai tad, ja qq, ja vien ≠pq neizriet no p

Piemērs, Ja ir piektdiena, tad šodien līst, ir tāds priekšlikums p ightarrow q . Iepriekš minētais apgalvojums ir patiess, ja tā nav piektdiena (pieņēmums ir nepatiess) vai ja ir piektdiena un līst, un tas ir nepatiess, ja ir piektdiena, bet nelīst.

6. Divu nosacījumu jeb dubultās nozīmes

Jebkuriem diviem priekšlikumiem p un q , paziņojums p ja un tikai tad (ja) q sauc par divnosacījumu un to apzīmē ar pleftrightarrow q . Paziņojums pleftrightarrow q tiek saukts arī par a divējāda nozīme . pleftrightarrow q ir tāda pati patiesības vērtība kā (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Sekas ir patiesas, kad p un q ir vienādas patiesības vērtības, un citādi tas ir nepatiess. Patiesības tabula pleftrightarrow q ir:

lpp	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Daži citi izplatīti izteiksmes veidi pleftrightarrow q ir:

p ir nepieciešams un pietiekams q, ja p, tad q, un otrādi, ja q

Piemēram, šodien līst tad un tikai tad, ja šodien ir piektdiena. ir priekšlikums, kura forma ir pleftrightarrow q . Iepriekš minētais apgalvojums ir patiess, ja nav piektdiena un nelīst vai ja ir piektdiena un līst, un tas ir nepatiess, ja nav piektdiena vai nelīst. Vingrinājums:

1) Apsveriet šādus apgalvojumus: