Integrācija ir funkcijas mazu vērtību summēšanas process robežvērtību apgabalā. Tas ir tieši pretējs diferenciācijai. Integrācija ir pazīstama arī kā anti-atvasinājums. Šajā rakstā mēs esam izskaidrojuši trigonometrisko funkciju integrāciju.

Zemāk ir dotas funkcijas integrācijas piemērs.

piem., Apsveriet funkciju, f(y) = y ² .

Šo funkciju var integrēt kā:

∫y ² tu = frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Tomēr an nenoteikts integrālis ir funkcija, kas ņem citas funkcijas antiatvasinājumu. Tas tiek attēlots kā integrāls simbols (∫), funkcija un funkcijas atvasinājums beigās. Nenoteiktais integrālis ir vienkāršāks veids, kā simbolizēt antiatvasinājumu.

Apgūsim, kas matemātiski ir integrācija, funkcijas f(x) integrāciju uzrāda F(x) un to attēlo:

∫f(x)dx = F(x) + C

Šeit R.H.S. vienādojuma daļa nozīmē f(x) integrāli attiecībā pret x, F(x) sauc par antiatvasinājumu vai primitīvu, f(x) sauc par integrandu, dx sauc par integrējošo aģentu, C sauc par integrācijas konstanti vai patvaļīga konstante un x ir integrācijas mainīgais.

Daži svarīgi trigonometrisko funkciju integrāļi

Tālāk ir sniegts dažu svarīgu pamata nenoteiktu integrāļu formulu saraksts trigonometriskās funkcijas jāatceras šādi:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sek ² x dx = iedegums x + C
• ∫ cosec ² x dx = -gultiņa x + C
• ∫ sek x iedegums x dx = sek x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ iedegums x dx = ln | sek x | +C
• ∫ gultiņa x dx = ln | grēks x | + C
• ∫ sek x dx = ln | sek x + iedegums x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – gultiņa x | + C

Kur dx ir x, C atvasinājums ir integrācijas konstante un ln apzīmē logaritms funkcijas modulī (| |).

Parasti uz trigonometriskām funkcijām balstītu nenoteiktu integrāļu problēmas risina ar aizstāšanas metodi. Tātad, apspriedīsim vairāk par integrāciju ar aizstāšanas metodi šādi:

Integrācija ar aizstāšanu

Šajā metodē integrācija ar aizstāšanu , jebkurš dots integrālis tiek pārveidots par vienkāršu integrāļa formu, aizstājot neatkarīgo mainīgo ar citiem. Apskatīsim piemēru labākai izpratnei.

Piemērs: vienkāršot ∫ 3x ² grēks (x ³ ) dx.

Atbilde:

Ļaujiet I = ∫ 3x ² grēks (x ³ ) dx.

Lai novērtētu doto integrāli, jebkuru mainīgo var aizstāt ar jaunu mainīgo kā:

Ļaujiet x ³ ir t dotajam integrālim.

Tad dt = 3x ² dx

Tāpēc

I = ∫ 3x ² grēks (x ³ ) dx = ∫ sin (x ³ ) (3x ² dx)

Tagad aizstājiet x ar t ³ un dt 3x ² dx iepriekš minētajā integrālī.

I = ∫ sin (t) (dt)

Kā ∫ sin x dx = -cos x + C, tātad

I = -cos t + C

Atkal, aizstājiet atpakaļ x ³ t izteiksmē kā:

I = ∫ 3x ² grēks (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Kas ir nepieciešamais integrālis.

Tādējādi vispārējā integrācijas ar aizstāšanu forma ir:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

kur t = g(x)

Parasti integrācijas metode ar aizstāšanu ir ļoti noderīga, ja veicam funkcijas aizstāšanu, kuras atvasinājums ir arī integrandā. Šādi rīkojoties, funkcija tiek vienkāršota, un pēc tam funkcijas integrēšanai var izmantot integrācijas pamatformulas.

Aprēķinos integrācija ar aizstāšanas metodi ir pazīstama arī kā reversās ķēdes noteikums vai U-aizvietošanas metode. Mēs varam izmantot šo metodi, lai atrastu integrālo vērtību, kad tā ir iestatīta īpašā formā. Tas nozīmē, ka dotais integrālis ir šādā formā:

Lasīt vairāk,

• Aprēķini matemātikā
• Integrāļi
• Integrālais aprēķins
• Trigu funkciju diferencēšana
• Trigonometriskie vienādojumi

Trigonometrisko funkciju integrācijas uzdevumu paraugi

1. uzdevums: nosakiet šādas funkcijas integrāli: f(x) = cos ³ x.

Risinājums:

Apskatīsim dotās funkcijas integrāli kā,

I = ∫ cos ³ x dx

To var pārrakstīt šādi:

I = ∫ (cos x) (cos ² x) dx

Izmantojot trigonometrijas identitāti; cos ² x = 1 – grēks ² x, mēs saņemam

I = ∫ (cos x) (1 – sin ² x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin ² x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin ² x dx

Kā ∫ cos x dx = sin x + C,

Tādējādi I = sin x – ∫ sin ² x cos x dx . . . (1)

Ļaujiet, grēks x = t

⇒ cos x dx = dt.

Iepriekš minētā integrāļa otrajā daļā aizstājiet sin x ar t un cos x dx dt.

I = sin x – ∫ t ² dt

⇒ I = sin x – t ³ /3 + C

Atkal izteiksmē t aizstājiet ar sin x.

Tādējādi ∫ cos ³ x dx = sin x – grēks ³ x / 3 + C.

2. uzdevums: ja f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) tad nosaka ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Risinājums:

Apskatīsim dotās funkcijas integrāli kā,

I = ∫ grēks ² (x) cos ³ (x) dx

Izmantojot trigonometrijas identitāti; cos ² x = 1 – grēks ² x, mēs saņemam

I = ∫ grēks ² x (1 – grēks ² x) cos x dx

Lai grēks x = t, tad

⇒ dt = cos x dx

Aizstājiet tos iepriekš minētajā integrālī kā

I = ∫ t ² (1-t ² ) dt

⇒ I = ∫ t ² – t ⁴ dt

⇒ I = t ³ / 3 – t ⁵ / 5 + C

Aizstājiet t vērtību iepriekš minētajā integrālī kā,

Tādējādi es = grēks ³ x / 3 – bez ⁵ x / 5 + C.

3. uzdevums: lai f(x) = sin ⁴ (x) pēc tam atrodiet ∫ f(x)dx. i., ∫ grēks ⁴ (x) dx.

Risinājums:

Apskatīsim dotās funkcijas integrāli kā,

I = ∫ grēks ⁴ (x) dx

⇒ I = ∫ (bez ² (x)) ² dx

Izmantoting trigonometrijas identitāti; grēks ² (x) = (1 – cos (2x)) / 2, mēs iegūstam

I = ∫ {(1 — cos (2x)) / 2} ² dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos ² (2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos ² (2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 - sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + grēks 4x / 32 - grēks 2x / 4 + C

Tātad, ∫ grēks ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 - sin 2x / 4 + C

4. problēma: atrodiet integrāciju old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Risinājums:

Apskatīsim dotās funkcijas integrāli kā,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Lai t = iedegums ^-1 x . . . (1)

Tagad atšķiriet abas puses attiecībā pret x:

dt = 1 / (1+x ² ) dx

Tāpēc dotais integrālis kļūst:

I = ∫ e ^t dt

⇒ I = e ^t + C. . . (2)

Aizvietojiet (1) vērtību (2) kā:

⇒ I = e^{tan^{-1}x} + C

Kura ir dotajai funkcijai nepieciešamā integrācija.

5. uzdevums: atrodiet funkcijas f (x) integrāli, kas definēts kā,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Risinājums:

Apskatīsim dotās funkcijas integrāli kā,

I = ∫ 2x cos (x ² – 5) dx

Ļaujiet (x ² – 5) = t . . . (1)

Tagad atšķiriet abas puses attiecībā pret x kā,

2x dx = dt

Aizstājot šīs vērtības iepriekš minētajā integrālī,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Aizstāt vērtības vienādojumu (1) vienādojumā (2) kā,

⇒ I = grēks (x ² – 5) + C

Šī ir dotajai funkcijai nepieciešamā integrācija.

6. uzdevums: Nosakiet dotā nenoteiktā integrāļa vērtību, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Risinājums:

Doto integrāli var uzrakstīt kā,

I = ∫ gultiņa (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Ļaujiet, t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Tādējādi

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1/3) ln | t | + C

Iepriekš minētajā izteiksmē aizstājiet t ar sin (3x+5).

I = (1/3) ln | grēks (3x+5) | + C

Šī ir dotajai funkcijai nepieciešamā integrācija.

Trigonometrisko funkciju integrācija – FAQ

Kas ir trigonometriskās funkcijas integrācija?

Trigonometrisko funkciju integrācija, kā norāda nosaukums, ir trigonometrisko funkciju integrācijas vai antiatvasinājuma aprēķināšanas process. Tas ir apgriezts trigonometrisko funkciju diferenciācijas process.

Kas ir trigonometriskās pamatfunkcijas?

Galvenās trigonometriskās funkcijas ir:

• sinusa (bez),
• kosinuss (cos),
• tangenss (iedegums),
• kotangenss (elkonis),
• secant (sec), un
• kosekants (csc).

Kā jūs integrējat sinusa (sin) un kosinusa (cos) funkcijas?

Lai integrētu sinusa un kosinusa funkcijas, mēs varam izmantot šādas formulas:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Kur C ir integrācijas konstante.

Kāda ir pieskares (iedeguma) trigonometriskās funkcijas integrācija?

Pieskares funkcijas integrālis ir norādīts šādi:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

kur,

• ln apzīmē naturālo logaritmu un
• C ir integrācijas konstante.

Kā atrast sekanta (sec) trigonometriskās funkcijas integrāli?

Sekanta funkcijas integrālis ir norādīts šādi:

∫ sek(x) dx = ln|sek(x) + tan(x)| + C

kur,

• ln apzīmē naturālo logaritmu un
• C ir integrācijas konstante.

Kāda ir kotangensas (gultiņas) trigonometriskās funkcijas integrācija?

Kotangences funkcijas integrāli var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C

kur,

• ln apzīmē naturālo logaritmu un
• C ir integrācijas konstante.

Kā atrast kosekanta (cosec) funkcijas integrāli?

Kosekanta funkcijas integrālis ir norādīts šādi:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – gultiņa x | + C

kur,

• ln apzīmē naturālo logaritmu un
• C ir integrācijas konstante.