logo

TechCodeview

Matemātiskā

Trīsstūru skaita atrašana starp horizontālajiem un vertikālajiem līniju segmentiem

Priekšnosacījumi: BIT  Dotos 'n' līnijas segmentos katrs no tiem ir vai nu horizontāls, vai vertikāls, atrodiet maksimālo trīsstūru skaitu (ieskaitot trijstūrus ar nulles laukumu), ko var izveidot, savienojot līniju segmentu krustpunktus. Divi horizontālie līniju segmenti nepārklājas, kā arī divi vertikāli līniju segmenti. Līnija tiek attēlota, izmantojot divus punktus (četri veseli skaitļi, pirmie divi ir attiecīgi pirmā punkta x un y koordinātas, bet pārējie divi ir otrā punkta x un y koordinātas) Piemēri: 

 | ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be    4C   3     triangles.

Ideja ir balstīta uz Slaucīšanas līnijas algoritms . Risinājuma izveide soļos:

  1. Saglabājiet vektorā abus visu līniju segmentu punktus ar atbilstošo notikumu (aprakstīts tālāk) un kārtojiet visus punktus to x koordinātu secībā, kas nesamazinās.
  2. Tagad iedomāsimies vertikālu līniju, ko velkam pa visiem šiem punktiem, un aprakstīsim 3 notikumus, pamatojoties uz to, kurā punktā mēs šobrīd atrodamies:
      iekšā - horizontālas līnijas segmenta galējais kreisais punkts ārā - horizontālas līnijas segmenta galējais labais punkts
    • a vertikāla līnija
  3. Mēs saucam reģionu 'aktīvs' vai horizontālās līnijas 'aktīvs' kuriem ir bijis pirmais pasākums, bet ne otrais. Mums būs BIT (binārais indeksēts koks), lai saglabātu visu aktīvo līniju "y" koordinātas.
  4. Kad rinda kļūst neaktīva, mēs noņemam tās “y” no BIT.
  5. Kad notiek trešā tipa notikums, tas ir, kad mēs atrodamies pie vertikālās līnijas, mēs vaicājam koku tā 'y' koordinātu diapazonā un pievienojam rezultātu līdzšinējo krustošanās punktu skaitam.
  6. Beidzot mums būs jāsaka krustošanās punktu skaits m tad trīsstūru skaits (ieskaitot nulles laukumu) būs m C 3 .

Piezīme: Mums ir rūpīgi jāsakārto punkti apskatīt cmp() funkciju ieviešanā skaidrības labad. 

CPP 
   // A C++ implementation of the above idea   #include     #define maxy 1000005   #define maxn 10005   using     namespace     std  ;   // structure to store point   struct     point   {      int     x       y  ;      point  (  int     a       int     b  )      {      x     =     a       y     =     b  ;      }   };   // Note: Global arrays are initially zero   // array to store BIT and vector to store   // the points and their corresponding event number   // in the second field of the pair   int     bit  [  maxy  ];   vector  &  lt  ;  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  gt  ;     events  ;   // compare function to sort in order of non-decreasing   // x coordinate and if x coordinates are same then   // order on the basis of events on the points   bool     cmp  (  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  a       pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  b  )   {      if     (     a  .  first  .  x     !=     b  .  first  .  x     )      return     a  .  first  .  x     &  lt  ;     b  .  first  .  x  ;      //if the x coordinates are same      else      {      // both points are of the same vertical line      if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if an 'in' event occurs before 'vertical'      // line event for the same x coordinate      else     if     (  a  .  second     ==     1     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if a 'vertical' line comes before an 'in'      // event for the same x coordinate swap them      else     if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     1  )      {      return     false  ;      }      // if an 'out' event occurs before a 'vertical'      // line event for the same x coordinate swap.      else     if     (  a  .  second     ==     2     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     false  ;      }      //in all other situations      return     true  ;      }   }   // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate   // in an active region while update(y -1) removes it   void     update  (  int     idx       int     val  )   {      while     (  idx     &  lt  ;     maxn  )      {      bit  [  idx  ]     +=     val  ;      idx     +=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }   }   // returns the number of lines in active region whose y   // coordinate is between 1 and idx   int     query  (  int     idx  )   {      int     res     =     0  ;      while     (  idx     &  gt  ;     0  )      {      res     +=     bit  [  idx  ];      idx     -=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }      return     res  ;   }   // inserts a line segment   void     insertLine  (  point     a       point     b  )   {      // if it is a horizontal line      if     (  a  .  y     ==     b  .  y  )      {      int     beg     =     min  (  a  .  x       b  .  x  );      int     end     =     max  (  a  .  x       b  .  x  );      // the second field in the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  beg       a  .  y  )     1  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  end       a  .  y  )     2  ));      }      //if it is a vertical line      else      {      int     up     =     max  (  b  .  y       a  .  y  );      int     low     =     min  (  b  .  y       a  .  y  );      //the second field of the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       up  )     3  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       low  )     3  ));      }   }   // returns the number of intersection points between all   // the lines vertical and horizontal to be run after the   // points have been sorted using the cmp() function   int     findIntersectionPoints  ()   {      int     intersection_pts     =     0  ;      for     (  int     i     =     0     ;     i     &  lt  ;     events  .  size  ()     ;     i  ++  )      {      //if the current point is on an 'in' event      if     (  events  [  i  ].  second     ==     1  )      {      //insert the 'y' coordinate in the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       1  );      }      // if current point is on an 'out' event      else     if     (  events  [  i  ].  second     ==     2  )      {      // remove the 'y' coordinate from the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       -1  );      }      // if the current point is on a 'vertical' line      else      {      // find the range to be queried      int     low     =     events  [  i  ++  ].  first  .  y  ;      int     up     =     events  [  i  ].  first  .  y  ;      intersection_pts     +=     query  (  up  )     -     query  (  low  );      }      }      return     intersection_pts  ;   }   // returns (intersection_pts)C3   int     findNumberOfTriangles  ()   {      int     pts     =     findIntersectionPoints  ();      if     (     pts     &  gt  ;  =     3     )      return     (     pts     *     (  pts     -     1  )     *     (  pts     -     2  )     )     /     6  ;      else      return     0  ;   }   // driver code   int     main  ()   {      insertLine  (  point  (  2       1  )     point  (  2       9  ));      insertLine  (  point  (  1       7  )     point  (  6       7  ));      insertLine  (  point  (  5       2  )     point  (  5       8  ));      insertLine  (  point  (  3       4  )     point  (  6       4  ));      insertLine  (  point  (  4       3  )     point  (  4       5  ));      insertLine  (  point  (  7       6  )     point  (  9       6  ));      insertLine  (  point  (  8       2  )     point  (  8       5  ));      // sort the points based on x coordinate      // and event they are on      sort  (  events  .  begin  ()     events  .  end  ()     cmp  );      cout     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;  Number     of     triangles     are  :     &  quot  ;     &  lt  ;  &  lt  ;      findNumberOfTriangles  ()     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;    n  &  quot  ;;      return     0  ;   }

Izvade: 

Number of triangles are: 4 
Time Complexity:   O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )

Palīgtelpa: O(maksimālais), kur max = 1000005


Kopīgot

Jums Varētu Patikt

INDEX un MATCH funkcija programmā Excel

INDEX un MATCH funkcija programmā Excel

Cik ilgs ir SAT ar pārtraukumiem?

Cik ilgs ir SAT ar pārtraukumiem?

Top Raksti

Kategorija

Emuārs Java Konvertēšana Matemātika Java Kolekcijas Atšķirības Java Virkne

Interesanti Raksti