Eilera ceļš ir ceļš grafikā, kas katru malu apmeklē tieši vienu reizi. Eilera ķēde ir Eilera ceļš, kas sākas un beidzas vienā virsotnē.

Kā uzzināt, vai dotais grafiks ir eilera grafiks vai nav?

Problēma ir tāda pati kā nākamajā jautājumā. Vai ir iespējams uzzīmēt doto grafiku, nepaceļot zīmuli no papīra un neizsekojot nevienai no malām vairāk nekā vienu reizi.
Grafu sauc par Eilerianu, ja tam ir Eilera cikls, un par puseileriānu, ja tam ir Eilera ceļš. Šķiet, ka problēma ir līdzīga Hamiltona ceļam, kas ir NP pilnīga problēma vispārīgam grafikam. Par laimi, mēs varam noskaidrot, vai dotajam grafikam ir Eilera ceļš vai nav polinoma laikā. Faktiski mēs to varam atrast O(V+E) laikā.
Tālāk ir norādītas dažas interesantas nevirzītu grafiku īpašības ar Eilera ceļu un ciklu. Mēs varam izmantot šos rekvizītus, lai noskaidrotu, vai grafiks ir Eilerians vai nav.

Eilera cikls: Nevirzītam grafikam ir Eilera cikls, ja ir patiesi šādi divi nosacījumi.

1. Visas virsotnes, kuru grāds nav nulle, ir savienotas. Mums nerūp virsotnes ar nulles pakāpi, jo tās nepieder pie Eilera cikla vai ceļa (mēs ņemam vērā tikai visas malas).
2. Visām virsotnēm ir pāra pakāpe.

Eilera ceļš: Nevirzītam grafikam ir Eilera ceļš, ja ir patiesi šādi divi nosacījumi.

1. Tas pats, kas nosacījums (a) Eilerija ciklam.
2. Ja nullei vai divām virsotnēm ir nepāra pakāpe un visām pārējām virsotnēm ir pāra pakāpe. Ņemiet vērā, ka nevirzītā grafā nav iespējama tikai viena virsotne ar nepāra pakāpi (nevirzītā grafā visu pakāpju summa vienmēr ir pāra)

Ņemiet vērā, ka grafs bez malām tiek uzskatīts par Eileri, jo nav malu, ko šķērsot.

Kā tas darbojas?
Eilera ceļā katru reizi, kad mēs apmeklējam virsotni v, mēs ejam cauri divām neapmeklētām malām ar vienu gala punktu kā v. Tāpēc visām Eilera ceļa vidus virsotnēm ir jābūt pāra pakāpei. Eilerija ciklam jebkura virsotne var būt vidējā virsotne, tāpēc visām virsotnēm jābūt pāra pakāpei.

Ieteicamā prakse Eilera ķēde un ceļš Izmēģiniet to!

Īstenošana:

C++

// A C++ program to check if a given graph is Eulerian or not> #include> #include> using> namespace> std;> // A class that represents an undirected graph> class> Graph> {> > int> V;> // No. of vertices> > list <> int> >*adj;>>

Java

// A Java program to check if a given graph is Eulerian or not> import> java.io.*;> import> java.util.*;> import> java.util.LinkedList;> // This class represents an undirected graph using adjacency list> // representation> class> Graph> {> > private> int> V;> // No. of vertices> > // Array of lists for Adjacency List Representation> > private> LinkedList adj[];> > // Constructor> > Graph(> int> v)> > {> > V = v;> > adj => new> LinkedList[v];> > for> (> int> i=> 0> ; i adj[i] = new LinkedList(); } //Function to add an edge into the graph void addEdge(int v, int w) { adj[v].add(w);// Add w to v's list. adj[w].add(v); //The graph is undirected } // A function used by DFS void DFSUtil(int v,boolean visited[]) { // Mark the current node as visited visited[v] = true; // Recur for all the vertices adjacent to this vertex Iterator i = adj[v].listIterator(); while (i.hasNext()) { int n = i.next(); if (!visited[n]) DFSUtil(n, visited); } } // Method to check if all non-zero degree vertices are // connected. It mainly does DFS traversal starting from boolean isConnected() { // Mark all the vertices as not visited boolean visited[] = new boolean[V]; int i; for (i = 0; i visited[i] = false; // Find a vertex with non-zero degree for (i = 0; i if (adj[i].size() != 0) break; // If there are no edges in the graph, return true if (i == V) return true; // Start DFS traversal from a vertex with non-zero degree DFSUtil(i, visited); // Check if all non-zero degree vertices are visited for (i = 0; i if (visited[i] == false && adj[i].size()>0) return false; atgriezt patiesu; } /* Funkcija atgriež vienu no šādām vērtībām 0 --> Ja grafs nav Eilera 1 --> Ja grafam ir Eilera ceļš (puseilerāns) 2 --> Ja grafam ir Eilera ķēde (Eilera shēma) */ int isEulerian() { // Pārbaudiet, vai visas virsotnes, kas nav nulles pakāpes, ir savienotas if (isConnected() == false) return 0; // Skaitīt virsotnes ar nepāra pakāpi int nepāra = 0; for (int i = 0; i if (adj[i].size()%2!=0) nepāra++; // Ja skaits ir lielāks par 2, tad grafiks nav Eilerija if (nepāra> 2) atgriež 0; / / Ja nepāra skaitlis ir 2, tad semi-eulerian // Ja nepāra skaits ir 0, tad eulerian // Ņemiet vērā, ka nepāra skaitlis nekad nevar būt 1 nevirzītai grafa atgriešanai (nepāra = 2) } // Funkcija, lai palaistu testa gadījumus void test() { int res = isEulerian() if (res == 0) System.out.println('graph nav Eulerian' else if (res == 1) System). out.println('grafam ir Eilera ceļš'); else System.out.println('grafikā ir Eilera cikls' } // Draiveris: public static void main(String args[]) { / / Izveidosim un pārbaudīsim grafikus, kas parādīti iepriekš attēlos. Graph(5) g1.addEdge(0, 2); (0, 3); addEdge(2, 1) g2.addEdge(4, 0). .addEdge(1, 0); g3.pievienotEdge(0, 2); g3.pievienotEdge(2, 1); g3.pievienotEdge(0, 3); g3.pievienotEdge(3, 4); g3.pievienotEdge(1, 3); g3.test(); // Izveidosim grafiku ar 3 virsotnēm // savienojam cikla formā Graph g4 = new Graph(3); g4.pievienotEdge(0, 1); g4.pievienotEdge(1, 2); g4.pievienotEdge(2, 0); g4.test(); // Izveidosim grafiku ar visām virsotnēm // ar nulles grādu Graph g5 = new Graph(3); g5.test(); } } // Šo kodu ir sagatavojis Aakash Hasija>

Python3

# Python program to check if a given graph is Eulerian or not> #Complexity : O(V+E)> from> collections> import> defaultdict> # This class represents a undirected graph using adjacency list representation> class> Graph:> > def> __init__(> self> , vertices):> > self> .V> => vertices> # No. of vertices> > self> .graph> => defaultdict(> list> )> # default dictionary to store graph> > # function to add an edge to graph> > def> addEdge(> self> , u, v):> > self> .graph[u].append(v)> > self> .graph[v].append(u)> > # A function used by isConnected> > def> DFSUtil(> self> , v, visited):> > # Mark the current node as visited> > visited[v]> => True> > # Recur for all the vertices adjacent to this vertex> > for> i> in> self> .graph[v]:> > if> visited[i]> => => False> :> > self> .DFSUtil(i, visited)> > '''Method to check if all non-zero degree vertices are> > connected. It mainly does DFS traversal starting from> > node with non-zero degree'''> > def> isConnected(> self> ):> > # Mark all the vertices as not visited> > visited> => [> False> ]> *> (> self> .V)> > # Find a vertex with non-zero degree> > for> i> in> range> (> self> .V):> > if> len> (> self> .graph[i]) !> => 0> :> > break> > # If there are no edges in the graph, return true> > if> i> => => self> .V> -> 1> :> > return> True> > # Start DFS traversal from a vertex with non-zero degree> > self> .DFSUtil(i, visited)> > # Check if all non-zero degree vertices are visited> > for> i> in> range> (> self> .V):> > if> visited[i]> => => False> and> len> (> self> .graph[i])>>> > 0 -->Ja grafiks nav Eilerija> > 1 -->Ja grafam ir Eilera ceļš (puseilerian)> > 2 -->Ja grafikā ir Eilera ķēde (Eulera ķēde) '''> > def> isEulerian(> self> ):> > # Check if all non-zero degree vertices are connected> > if> self> .isConnected()> => => False> :> > return> 0> > else> :> > # Count vertices with odd degree> > odd> => 0> > for> i> in> range> (> self> .V):> > if> len> (> self> .graph[i])> %> 2> !> => 0> :> > odd> +> => 1> > '''If odd count is 2, then semi-eulerian.> > If odd count is 0, then eulerian> > If count is more than 2, then graph is not Eulerian> > Note that odd count can never be 1 for undirected graph'''> > if> odd> => => 0> :> > return> 2> > elif> odd> => => 2> :> > return> 1> > elif> odd>>> )> > elif> res> => => 1> :> > print> (> 'graph has a Euler path'> )> > else> :> > print> (> 'graph has a Euler cycle'> )> # Let us create and test graphs shown in above figures> g1> => Graph(> 5> )> g1.addEdge(> 1> ,> 0> )> g1.addEdge(> 0> ,> 2> )> g1.addEdge(> 2> ,> 1> )> g1.addEdge(> 0> ,> 3> )> g1.addEdge(> 3> ,> 4> )> g1.test()> g2> => Graph(> 5> )> g2.addEdge(> 1> ,> 0> )> g2.addEdge(> 0> ,> 2> )> g2.addEdge(> 2> ,> 1> )> g2.addEdge(> 0> ,> 3> )> g2.addEdge(> 3> ,> 4> )> g2.addEdge(> 4> ,> 0> )> g2.test()> g3> => Graph(> 5> )> g3.addEdge(> 1> ,> 0> )> g3.addEdge(> 0> ,> 2> )> g3.addEdge(> 2> ,> 1> )> g3.addEdge(> 0> ,> 3> )> g3.addEdge(> 3> ,> 4> )> g3.addEdge(> 1> ,> 3> )> g3.test()> # Let us create a graph with 3 vertices> # connected in the form of cycle> g4> => Graph(> 3> )> g4.addEdge(> 0> ,> 1> )> g4.addEdge(> 1> ,> 2> )> g4.addEdge(> 2> ,> 0> )> g4.test()> # Let us create a graph with all vertices> # with zero degree> g5> => Graph(> 3> )> g5.test()> # This code is contributed by Neelam Yadav>

C#

// A C# program to check if a given graph is Eulerian or not> using> System;> using> System.Collections.Generic;> > // This class represents an undirected graph using adjacency list> // representation> public> class> Graph> {> > private> int> V;> // No. of vertices> > > // Array of lists for Adjacency List Representation> > private> List <> int> >[]adj;> > > // Constructor> > Graph(> int> v)> > {> > V = v;> > adj => new> List <> int> >[in];> > for> (> int> i=0; i adj[i] = new List (); } //Funkcija malas pievienošanai grafikam void addEdge(int v, int w) { adj[v].Add(w);// Pievienot w v's sarakstam. adj[w].Pievienot(v); //Grafs ir nevirzīts } // DFS izmantotā funkcija void DFSUtil(int v,bool []visited) { // Atzīmēt pašreizējo mezglu kā apmeklētu apmeklēts[v] = true; // Atkārtot visām virsotnēm, kas atrodas blakus šai virsotnei foreach(int i in adj[v]){ int n = i; if (!apmeklēts[n]) DFSUtil(n, apmeklēts); } } // Metode, lai pārbaudītu, vai visas virsotnes, kas nav nulles grādu virsotnes, ir // savienotas. Tas galvenokārt veic DFS šķērsošanu, sākot no bool isConnected() { // Atzīmēt visas virsotnes kā neapmeklētas bool []visited = new bool[V]; int i; for (i = 0; es apmeklēju[i] = false; // Atrodiet virsotni ar nulles pakāpi, lai (i = 0; i if (adj[i].Count != 0) pārtraukums; // Ja ir grafikā nav malu, atgriež patiesu, ja (i == V) atgriež patiesu // Sākt DFS šķērsošanu no virsotnes ar nulles grādu DFSUtil(i, apmeklēja) // Pārbauda, ​​vai ir apmeklētas visas virsotnes, kas nav nulles pakāpes; for (i = 0; i if (visited[i] == false && adj[i].Count> 0) return false; return true; } /* Funkcija atgriež vienu no šīm vērtībām 0 --> Ja grafiks ir nav Eilera 1 --> Ja grafam ir Eilera ceļš (puseilerāns) 2 --> Ja grafam ir Eilera ķēde (Eilera) */ int isEulerian() { // Pārbaudiet, vai visas virsotnes, kas nav nulles pakāpes, ir savienotas, ja (isConnected() == false) return 0 // Skaitīt virsotnes ar nepāra pakāpi int odd = 0 for (int i = 0; i if (adj[i].Count%2!=0) odd++; // If; skaits ir lielāks par 2, tad grafiks nav Eilerians, ja (nepāra> 2) atgriež 0 // Ja nepāra skaitlis ir 2, tad puseilerians // Ja nepāra skaitlis ir 0, tad eulerian // Ņemiet vērā, ka nepāra skaits var nekad nedrīkst būt 1 nevirzītai grafika atdevei (nepāra ==2)? 1:2; } // Funkcija testa gadījumu palaišanai void test() { int res = isEulerian(); if (res == 0) Console.WriteLine('grafiks nav Eilerian'); else if (res == 1) Console.WriteLine('grafam ir Eilera ceļš'); else Console.WriteLine('grafam ir Eilera cikls'); } // Draivera metode public static void Main(String []args) { // Izveidosim un pārbaudīsim grafikus, kas parādīti augstākajos attēlos Graph g1 = new Graph(5); g1.pievienotEdge(1, 0); g1.pievienotEdge(0, 2); g1.pievienotEdge(2, 1); g1.pievienotEdge(0, 3); g1.pievienotEdge(3, 4); g1.tests(); Grafs g2 = new Graph(5); g2.pievienotEdge(1, 0); g2.pievienotEdge(0, 2); g2.pievienotEdge(2, 1); g2.pievienotEdge(0, 3); g2.pievienotEdge(3, 4); g2.pievienotEdge(4, 0); g2.test(); Grafs g3 = new Graph(5); g3.pievienotEdge(1, 0); g3.pievienotEdge(0, 2); g3.pievienotEdge(2, 1); g3.pievienotEdge(0, 3); g3.pievienotEdge(3, 4); g3.pievienotEdge(1, 3); g3.test(); // Izveidosim grafiku ar 3 virsotnēm // savienojam cikla formā Graph g4 = new Graph(3); g4.pievienotEdge(0, 1); g4.pievienotEdge(1, 2); g4.pievienotEdge(2, 0); g4.test(); // Izveidosim grafiku ar visām virsotnēm // ar nulles pakāpi Graph g5 = new Graph(3); g5.test(); } } // Šo kodu sniedza PrinciRaj1992>

Javascript

> // A Javascript program to check if a given graph is Eulerian or not> // This class represents an undirected graph using adjacency list> // representation> class Graph> {> > // Constructor> > constructor(v)> > {> > this> .V = v;> > this> .adj => new> Array(v);> > for> (let i = 0; i this.adj[i] = []; } // Function to add an edge into the graph addEdge(v,w) { this.adj[v].push(w);// Add w to v's list. this.adj[w].push(v); //The graph is undirected } // A function used by DFS DFSUtil(v,visited) { // Mark the current node as visited visited[v] = true; // Recur for all the vertices adjacent to this vertex for(let i of this.adj[v]) { let n = i; if (!visited[n]) this.DFSUtil(n, visited); } } // Method to check if all non-zero degree vertices are // connected. It mainly does DFS traversal starting from isConnected() { // Mark all the vertices as not visited let visited = new Array(this.V); let i; for (i = 0; i 0) return false; atgriezt patiesu; } /* Funkcija atgriež vienu no šādām vērtībām 0 --> Ja grafs nav Eilera 1 --> Ja grafam ir Eilera ceļš (puseilerāns) 2 --> Ja grafam ir Eilera ķēde (Eilera shēma) */ isEulerian() { // Pārbaudiet, vai visas virsotnes, kas nav nulles pakāpes, ir savienotas, ja (this.isConnected() == false) atgriež 0; // Skaitīt virsotnes ar nepāra pakāpi let odd = 0; for (lai i = 0; i 2) atgriešanās 0; // Ja nepāra skaits ir 2, tad semi-eulerian. // Ja nepāra skaits ir 0, tad eulerian // Ņemiet vērā, ka nepāra skaits nekad nevar būt 1 nevirzītai grafika atgriešanai (nepāra ==2)? 1:2; } // Funkcija testa gadījumu palaišanai test() { let res = this.isEulerian(); if (res == 0) document.write('grafiks nav Eilera '); else if (res == 1) document.write('grafam ir Eilera ceļš '); else document.write('grafam ir Eilera cikls '); } } // Draivera metode // Izveidosim un pārbaudīsim grafikus, kas parādīti augstākajos attēlos, lai g1 = new Graph(5); g1.pievienotEdge(1, 0); g1.pievienotEdge(0, 2); g1.pievienotEdge(2, 1); g1.pievienotEdge(0, 3); g1.pievienotEdge(3, 4); g1.tests(); lai g2 = new Graph(5); g2.pievienotEdge(1, 0); g2.pievienotEdge(0, 2); g2.pievienotEdge(2, 1); g2.pievienotEdge(0, 3); g2.pievienotEdge(3, 4); g2.pievienotEdge(4, 0); g2.test(); lai g3 = new Graph(5); g3.pievienotEdge(1, 0); g3.pievienotEdge(0, 2); g3.pievienotEdge(2, 1); g3.pievienotEdge(0, 3); g3.pievienotEdge(3, 4); g3.pievienotEdge(1, 3); g3.test(); // Izveidosim grafiku ar 3 virsotnēm // kas savienotas cikla formā let g4 = new Graph(3); g4.pievienotEdge(0, 1); g4.pievienotEdge(1, 2); g4.pievienotEdge(2, 0); g4.test(); // Izveidosim grafiku ar visām virsotnēm // ar nulles pakāpi lai g5 = new Graph(3); g5.test(); // Šo kodu ir sagatavojis avanitrachhadiya2155>>

>   
 
     
 
  
                              
                              

                                 Kas ir PS/2?