Kai jau turėsite kvadratinę formulę ir kvadratinių lygčių pagrindus, laikas pereiti į kitą santykio su parabolėmis lygį: sužinoti apie jas. viršūnės forma .

Skaitykite toliau, kad sužinotumėte daugiau apie parabolės viršūnės formą ir kaip konvertuoti kvadratinę lygtį iš standartinės formos į viršūnės formą.

funkcijos vaizdo kreditas: SBA73 /Flickr

Kodėl Vertex forma yra naudinga? Apžvalga

The viršūnės forma lygties yra alternatyvus būdas parašyti parabolės lygtį.

Paprastai matysite kvadratinę lygtį, parašytą kaip $ax^2+bx+c$, kuri, pavaizduota grafike, bus parabolė. Iš šios formos pakankamai lengva rasti lygties šaknis (kur parabolė patenka į $x$ ašį), nustatant lygtį lygią nuliui (arba naudojant kvadratinę formulę).

Tačiau jei jums reikia rasti parabolės viršūnę, standartinė kvadratinė forma yra daug mažiau naudinga. Vietoj to, jūs norite konvertuoti kvadratinę lygtį į viršūnės formą.

Kas yra viršūnių forma?

Nors standartinė kvadratinė forma yra $ax^2+bx+c=y$, kvadratinės lygties viršūnių forma yra $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

Abiejose formose $y$ yra $y$ koordinatė, $x$ yra $x$ koordinatė, o $a$ yra konstanta, nurodanti, ar parabolė nukreipta aukštyn ($+a$) ar žemyn. ($-a$). (Aš galvoju apie tai taip, lyg parabolė būtų obuolių padažo dubenėlis; jei yra $+a$, galiu į dubenį įpilti obuolių; jei yra $-a$, galiu iškratyti obuolių padažą iš dubens.)

Skirtumas tarp standartinės parabolės formos ir viršūnės formos yra tas, kad lygties viršūnių forma taip pat suteikia jums parabolės viršūnę: $(h,k)$.

Pavyzdžiui, pažvelkite į šią puikią parabolę, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Remiantis grafiku, parabolės viršūnė atrodo panaši į (-1,5, -2), tačiau vien iš grafiko sunku tiksliai pasakyti, kur yra viršūnė. Laimei, remiantis lygtimi $y=3(x+4/3)^2-2$, žinome, kad šios parabolės viršūnė yra $(-4/3,-2)$.

Kodėl viršūnė yra $(-4/3,-2)$, o ne $(4/3,-2)$ (išskyrus grafiką, kuris aiškiai parodo $x$- ir $y$-koordinates viršūnės yra neigiamos)?

Prisiminti: viršūnės formos lygtyje $h$ atimama ir $k$ pridedama . Jei turite neigiamą $h$ arba neigiamą $k$, turėsite įsitikinti, kad atėmėte neigiamą $h$ ir pridedate neigiamą $k$.

Šiuo atveju tai reiškia:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

taigi viršūnė yra $(-4/3,-2)$.

Rašydami parabolę viršūnių forma, visada turėtumėte dar kartą patikrinti savo teigiamus ir neigiamus ženklus , ypač jei viršūnė neturi teigiamų $x$ ir $y$ reikšmių (arba jei jos nėra I kvadrantas ). Tai panašu į patikrinimą, kurį atliktumėte, jei spręstumėte kvadratinę formulę ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) ir kad įsitikintumėte, jog išlaikote teigiamą ir neigiamus elementus tiesiai jūsų $a$s, $b$s ir $c$s.

Žemiau yra lentelė su kitais kelių kitų parabolių viršūnių formų lygčių pavyzdžiais ir jų viršūnėmis. Ypač atkreipkite dėmesį į skirtumą $(x-h)^2$ parabolės viršūnės formos lygtyje, kai viršūnės $x$ koordinatė yra neigiama.

Kaip konvertuoti iš standartinės kvadratinės formos į viršūnės formą

Dažniausiai, kai jūsų prašoma konvertuoti kvadratines lygtis tarp skirtingų formų, jūs pereinate nuo standartinės formos ($ax^2+bx+c$) į viršūnės formą ($a(x-h)^2+k$ ).

Lygties konvertavimas iš standartinės kvadratinės į viršūnės formą apima žingsnių rinkinį, vadinamą kvadrato užbaigimu. (Norėdami sužinoti daugiau apie aikštės užbaigimą, būtinai perskaitykite šį straipsnį.)

Peržiūrėkime lygties konvertavimo iš standartinės formos į viršūnės formą pavyzdį. Pradėsime nuo lygties $y=7x^2+42x-3/14$.

Pirmas dalykas, kurį norėsite padaryti, tai perkelti konstantą arba terminą be $x$ arba $x^2$ šalia jo. Šiuo atveju mūsų konstanta yra $-3/14 $. (Mes žinome, kad tai neigiamas $3/14$, nes standartinė kvadratinė lygtis yra $ax^2+bx+c$, o ne $ax^2+bx-c$.)

Pirmiausia paimsime tuos $-3/14 $ ir perkelsime į kairę lygties pusę:

$y+3/14=7x^2+42x$

Kitas žingsnis yra 7 (lygties $a$ vertės) atskyrimas iš dešinės pusės, pavyzdžiui:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Puiku! Ši lygtis atrodo daug panašiau į viršūnės formą, $y=a(x-h)^2+k$.

Šiuo metu galite galvoti: „Viskas, ką dabar turiu padaryti, tai perkelti 3/14 USD atgal į dešinę lygties pusę, tiesa?“ Deja, ne taip greitai.

Jei pažvelgsite į dalį skliausteliuose esančios lygties, pastebėsite problemą: ji nėra $(x-h)^2$ forma. Yra per daug $x$s! Taigi mes dar nebaigėme.

Tai, ką turime padaryti dabar, yra sunkiausia dalis – užbaigti aikštę.

Pažvelkime atidžiau į lygties dalį $x^2+6x$. Norėdami įtraukti $(x^2+6x)$ į kažką panašaus į $(x-h)^2$, skliausteliuose turėsime pridėti konstantą ir atsiminti pridėti tą konstantą ir į kitą lygties pusę (nes lygtis turi išlikti subalansuota).

Norėdami tai nustatyti (ir įsitikinti, kad nepamiršime pridėti konstantos į kitą lygties pusę), sukursime tuščią vietą, kurioje konstanta eis abiejose lygties pusėse:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Atkreipkite dėmesį, kad kairėje lygties pusėje mes įsitikinome, kad įtraukėme savo $a$ reikšmę 7 prieš tarpą, kuriame bus mūsų konstanta; Taip yra todėl, kad mes ne tik pridedame konstantą dešinėje lygties pusėje, bet ir padauginame konstantą iš to, kas yra skliausteliuose. (Jei jūsų $a$ vertė yra 1, jums nereikia dėl to jaudintis.)

Kitas žingsnis yra aikštės užbaigimas. Šiuo atveju užpildomas kvadratas yra lygtis skliausteliuose – pridėję konstantą paverčiate ją lygtimi, kurią galima parašyti kaip kvadratą.

Norėdami apskaičiuoti šią naują konstantą, paimkite reikšmę šalia $x$ (šiuo atveju 6), padalinkite ją iš 2 ir kvadratu.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konstanta yra 9.

Priežastis, kodėl 6 padalijame per pusę ir kvadratu, yra ta, kad žinome, kad lygtyje $(x+p)(x+p)$ (tai yra tai, ką mes bandome pasiekti), $px+px= 6x$, taigi $p=6/2$; Norėdami gauti pastovų $p^2$, turime paimti $6/2$ (mūsų $p$) ir jį kvadratuoti.

Dabar pakeiskite tuščią vietą abiejose mūsų lygties pusėse konstanta 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Tada išlyginkite skliausteliuose esančią lygtį. Kadangi užbaigėme kvadratą, galėsite jį apskaičiuoti kaip $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Paskutinis veiksmas: perkelkite ne $y$ reikšmę iš kairės lygties pusės atgal į dešinę:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Sveikiname! Sėkmingai konvertavote lygtį iš standartinės kvadratinės į viršūnės formą.

Dabar dauguma problemų ne tik paprašys jūsų lygtis konvertuoti iš standartinės formos į viršūnių formą; jie norės, kad iš tikrųjų nurodytumėte parabolės viršūnės koordinates.

Kad neapgautume dėl ženklų keitimo, užrašykite bendrąją viršūnių formos lygtį tiesiai virš viršūnės formos lygties, kurią ką tik apskaičiavome:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Tada galime lengvai rasti $h$ ir $k$:

$-h = 3 $

$h = -3 $

$+k=-{885/14}$

Šios parabolės viršūnė yra koordinatėse $(-3,-{885/14})$.

Oho, tai buvo daugybė skaičių maišymo! Laimei, lygčių konvertavimas kita kryptimi (iš viršūnės į standartinę formą) yra daug paprastesnis.

Kaip konvertuoti iš viršūnės formos į standartinę formą

Lygčių konvertavimas iš jų viršūnės formos į įprastą kvadratinę formą yra daug paprastesnis procesas: viskas, ką jums reikia padaryti, tai padauginti viršūnės formą.

Paimkime pavyzdinę lygtį iš ankstesnės, $y=3(x+4/3)^2-2$. Norėdami tai paversti standartine forma, tiesiog išplečiame dešinę lygties pusę:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}–{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Sėkmingai konvertavote $y=3(x+4/3)^2-2$ į $ax^2+bx+c$ formą.

Parabolės viršūnės formos praktika: pavyzdiniai klausimai

Norėdami užbaigti šį viršūnių formos tyrimą, turime keturis pavyzdžius problemas ir paaiškinimus. Prieš skaitydami paaiškinimus, pažiūrėkite, ar galite patys išspręsti problemas!

1: Kokia yra kvadratinės lygties $x^2+ 2.6x+1.2$ viršūnių forma?

#2: Konvertuokite lygtį $7y=91x^2-112$ į viršūnės formą. Kas yra viršūnė?

#3: Atsižvelgiant į lygtį $y=2(x-3/2)^2-9$, kokios yra $x$-koordinatės, kur ši lygtis kertasi su $x$ ašimi?

#4: Raskite parabolės $y=({1/9}x-6)(x+4)$ viršūnę.

Parabolės viršūnių formų praktika: sprendimai

1: kokia yra kvadratinės lygties ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$ viršūnių forma?

Pradėkite atskirdami ne $x$ kintamąjį iš kitos lygties pusės:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Kadangi mūsų $a$ (kaip $ax^2+bx+c$) pradinėje lygtyje yra lygus 1, mums nereikia jo čia išskirti iš dešinės pusės (nors jei norite, galite parašyti $y-1.2=1(x^2+2.6x)$).

Tada padalykite $x$ koeficientą (2,6) iš 2 ir padėkite jį kvadratu, tada pridėkite gautą skaičių prie abiejų lygties pusių:

$(2.6/2)^2=(1.3)^2=1.69$

$y-1.2+1(1.69)=1(x^2+2.6x+1.69)$

Skliausteliuose esančios lygties dešinės pusės koeficientas:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Galiausiai sujunkite konstantas kairėje lygties pusėje, tada perkelkite jas į dešinę.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Mūsų atsakymas yra $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: Konvertuokite lygtį $7i y=91i x^2-112$ į viršūnės formą. Kas yra viršūnė?

Konvertuodami lygtį į viršūnės formą, norite, kad $y$ būtų koeficientas 1, todėl pirmas dalykas, kurį ketiname padaryti, yra padalyti abi šios lygties puses iš 7:

7 USD = 91 x ^ 2–112 USD

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Tada perkelkite konstantą į kairę lygties pusę:

$y+16=13x^2$

Išskaičiuokite $x^2$ skaičiaus koeficientą ($a$) iš dešinės lygties pusės

$y+16=13(x^2)$

Dabar paprastai turėtumėte užpildyti kvadratą dešinėje lygties pusėje skliausteliuose. Tačiau $x^2$ jau yra kvadratas, todėl jums nereikia nieko daryti, išskyrus konstantos perkėlimą iš kairės lygties pusės atgal į dešinę:

$y=13(x^2)-16$.

Dabar norėdami rasti viršūnę:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, taigi $h=0$

$+k=-16$, taigi $k=-16$

Parabolės viršūnė yra $(0, -16)$.

#3: Atsižvelgiant į lygtį $i y=2(i x-3/2)^2-9$, kas yra $i x$-koordinatė (-ės), kur ši lygtis kertasi su $i x$ ašis?

Kadangi klausime prašoma rasti lygties $x$-interceptą (-as), pirmiausia reikia nustatyti $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Dabar čia yra keli būdai. Slaptas būdas yra pasinaudoti faktu, kad į viršūnės formos lygtį jau yra įrašytas kvadratas, kad galėtume padėti.

Pirmiausia perkelsime konstantą į kairę lygties pusę:

0 USD = 2 (x-3/2)^ 2–9 USD

9 USD = 2 (x-3/2)^ 2 USD

Tada abi lygties puses padalinsime iš 2:

9 USD/2=(x-3/2)^2 USD

Dabar slaptoji dalis. Paimkite kvadratinę šaknį iš abiejų lygties pusių:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3 / {√2}=(x-3/2) $

$±