Matematikoje sumavimas yra pagrindinis bet kokių skaičių sekos, vadinamos priedais arba suminiais, sudėjimas; rezultatas yra jų suma arba suma. Matematikoje skaičiai, funkcijos, vektoriai, matricos, daugianariai ir, apskritai, bet kurio matematinio objekto elementai gali būti susieti su operacija, vadinama sudėjimu / sumavimu, žymima +.

Aiškios sekos sumavimas žymimas kaip papildymų seka. Pavyzdžiui, (1, 3, 4, 7) sumavimas gali būti pagrįstas 1 + 3 + 4 + 7, o aukščiau pateikto žymėjimo rezultatas yra 15, tai yra 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Sudėjimo operacija yra asociatyvi ir komutacinė, išvardijant eilutes / seką nereikia rašyti skliaustų, o rezultatas bus toks pat, nepaisant suvestinių eilės.

Turinys

• Kas yra Sumavimo formulė?
• Kur naudoti sumavimo formulę?
• Sumavimo savybės
• Standartinės sumavimo formulės
• Sumavimo formulės pavyzdys
• DUK apie sumavimo formulę

Kas yra Sumavimo formulė?

Sumavimas arba sigma (∑) yra metodas, naudojamas glaustai užrašyti ilgą sumą. Šį žymėjimą galima pridėti prie bet kurios formulės ar funkcijos.

Pavyzdžiui, _i=1 ∑ ¹⁰ (i) yra baigtinės sekos 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 pridėjimo sigma žymėjimas, kur pirmasis elementas yra 1, o paskutinis elementas yra 10.

Sumavimo formulės

Kur naudoti sumavimo formulę?

Sumavimo žymėjimas gali būti naudojamas įvairiose matematikos srityse:

• Seka serijoje
• Integracija
• Tikimybė
• Permutacija ir derinimas
• Statistika

Pastaba: Sumavimas yra trumpa pasikartojančio pridėjimo forma. Sumavimą taip pat galime pakeisti pridėjimo kilpa.

Sumavimo savybės

1 nuosavybė

_i=1 ∑ ⁿ c = c + c + c + …. + c (n) kartus = nc

Pavyzdžiui: Raskite vertę _i=1 ∑ ⁴ c.

Naudodami 1 savybę galime tiesiogiai apskaičiuoti vertę _i=1 ∑ ⁴ c kaip 4 × c = 4c.

2 nuosavybė

_c=1 ∑ ⁿ kc = (k × 1) + (k × 2) + (k × 3) + …. + (k × n) …. (n) kartus = k × (1 + … + n) = k _c=1 ∑ ⁿ c

Pavyzdžiui: Raskite vertę _i=1 ∑ ⁴ 5i.

Naudodamiesi 2 ir 1 savybėmis, galime tiesiogiai apskaičiuoti vertę _{i= 1} ∑ ⁴ 5i kaip 5 × _i=1 ∑ ⁴ i = 5 × (1 + 2 + 3 + 4) = 50.

3 nuosavybė

_c=1 ∑ ⁿ (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) kartus = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

Pavyzdžiui: Raskite vertę _i=1 ∑ ⁴ (5+i).

Naudodami 2 ir 3 ypatybes galime tiesiogiai apskaičiuoti vertę _i=1 ∑ ⁴ (5+i) kaip 5×4+ _i=1 ∑ ⁴ i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

4 nuosavybė

_k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

Pavyzdžiui: Raskite vertę _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ).

Naudodami 4 savybę galime tiesiogiai apskaičiuoti vertę _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ) kaip _i=1 ∑ ⁴ aš + _i=1 ∑ ⁴ i ² = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standartinės sumavimo formulės

Įvairios sumavimo formulės yra

Pirmųjų n natūraliųjų skaičių suma: (1+2+3+…+n) = _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n × (n +1)]/2

Pirmųjų n natūraliųjų skaičių kvadratų suma: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (t. y ² ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

Pirmųjų n natūraliųjų skaičių kubo suma: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (t. y ³ ) = [n ² ×(n +1) ² )]/4

Pirmųjų n lyginių natūraliųjų skaičių suma: (2+4+…+2n) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) = [n × (n +1)]

Pirmųjų n nelyginių natūraliųjų skaičių suma: (1+3+…+2n-1) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) = n ²

Pirmųjų n lyginių natūraliųjų skaičių kvadratų suma: (2 ² +4 ² +…+(2n) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ² = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Pirmųjų n nelyginių natūraliųjų skaičių kvadratų suma: (1 ² +3 ² +…+(2n-1) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Pirmųjų n lyginių natūraliųjų skaičių kubo suma: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ³ = 2[n(n+1)] ²

Pirmųjų n nelyginių natūraliųjų skaičių kubo suma: (1 ³ +3 ³ +…+(2n-1) ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ³ = n ² (2n ² -1)

Susiję straipsniai:

• Natūralių skaičių suma
• Suma matematikoje
• Aritmetiniai veiksmai
• Aritmetinė progresija ir geometrinė progresija

Sumavimo formulės pavyzdys

1 pavyzdys: Raskite pirmųjų 10 natūraliųjų skaičių sumą, naudodami sumavimo formulę.

Sprendimas:

Natūralaus skaičiaus n sumos sumavimo formulės naudojimas _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n × (n +1)]/2

Turime pirmųjų 10 natūraliųjų skaičių sumą = _i=1 ∑ ¹⁰ (i) = [10 × (10 +1)]/2 = 55

2 pavyzdys: Raskite 10 pirmųjų natūraliųjų skaičių, didesnių nei 5, sumą, naudodami sumavimo formulę.

Sprendimas:

Pagal klausimą:

10 pirmųjų natūraliųjų skaičių suma, didesnė už 5 = _i=6 ∑ ^penkiolika (i)

= _i=1 ∑ ^penkiolika (i) – _i=1 ∑ ⁵ (i)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120–15

= 105

3 pavyzdys: Raskite duotos baigtinės sekos 1 sumą ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

Sprendimas:

Pateikta seka yra 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² , jis gali būti parašytas kaip _i=1 ∑ ⁸ i ² naudojant sumavimo savybę/ formulę

_i=1 ∑ ⁸ i ² = [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

4 pavyzdys: supaprastinkite _c=1 ∑ ⁿ kc.

Sprendimas:

Duota sumavimo formulė = _c=1 ∑ ⁿ kc

= (k × 1) + (k × 2) + …… + (k × n) (n terminų)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1 ∑ ⁿ kc = k _c=1 ∑ ⁿ c

5 pavyzdys: Supaprastinkite ir įvertinkite x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

Sprendimas:

Pateikta suma yra _x=1 ∑ ⁿ (4+x)

Kaip mes tai žinome _c=1 ∑ ⁿ (k+c) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

Pateiktą sumavimą galima supaprastinti kaip

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (x)

6 pavyzdys: Supaprastinkite _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

Sprendimas:

Pateikta suma yra _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

kaip mes tai žinome _k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

pateiktą sumavimą galima supaprastinti kaip _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (x ² ).

DUK apie sumavimo formulę

Kas yra natūraliųjų skaičių sumavimo formulė?

Natūraliųjų skaičių nuo 1 iki n suma randama naudojant formulę n (n + 1) / 2. Pavyzdžiui, pirmųjų 100 natūraliųjų skaičių suma yra 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Kas yra bendroji sumavimo formulė?

Bendroji sumavimo formulė, naudojama sekos {a sumai rasti ₁ , a ₂ , a ₃ ,…,a _n } yra, ∑a _i = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Kaip naudojate ∑?

∑ yra sumavimo simbolis ir naudojamas serijų sumai rasti.

Kas yra n sumavimo formulė?

n natūraliųjų skaičių sumos formulė yra, n skaičių sumos formulė yra [n(n+1)2]