Logaritmo taisyklės arba žurnalo taisyklės yra labai svarbios supaprastinant sudėtingas formuluotes, kuriose yra logaritminių funkcijų. Žurnalų taisyklės palengvina logaritmų skaičiavimą ir valdymą įvairiose matematinėse ir mokslinėse programose. Iš visų šių žurnalo taisyklių trys labiausiai paplitusios yra produkto taisyklė, koeficiento taisyklė ir galios taisyklė. Be šių, turime daug logaritmo taisyklių, kurias toliau aptarsime straipsnyje. Šiame straipsnyje išsamiai nagrinėjamos visos žurnalų taisyklės, įskaitant išvestinius ir integralus, kartu su logaritmo taisyklių pavyzdžiais. Taigi, pradėkime mokytis apie visas logaritmų taisykles.

Turinys

• Kas yra žurnalo taisyklės?
• Logaritmų tipai
• Logaritmo taisyklių sąrašas
• Natūralaus rąsto taisyklės
• Logaritmo taikymas
• Produkto logaritmų taisyklė
• Logaritmo galios taisyklė
• Logaritmų koeficiento taisyklė
• Išspręsti žurnalo taisyklių pavyzdžiai
• Praktiniai klausimai apie žurnalo taisykles

Kas yra žurnalo taisyklės?

Logaritmo taisyklės matematikoje yra taisyklės ir dėsniai, naudojami logaritminių funkcijų išraiškoms supaprastinti ir manipuliuoti. Šie principai sukuria ryšius tarp eksponentinių ir logaritminių formų ir suteikia sistemingą metodą sudėtingiems logaritminiams skaičiavimams atlikti.

Pagrindinės taisyklės yra šios: gaminio taisyklė : leidžia padalyti sandaugą pagal logaritmą į atskirų logaritmų sumą; koeficiento taisyklė : leidžia padalyti logaritmo dalinį į logaritmų skirtumą; galios taisyklė: kuri leidžia mums ištraukti eksponentus iš logaritmo; pagrindinio jungiklio taisyklė arba pagrindinės taisyklės pakeitimas : leidžia pakeisti logaritmo bazę.

Šie dėsniai yra labai svarbūs daugelyje matematinių ir mokslinių programų, todėl logaritmai yra vertinga priemonė sprendžiant lygtis, modeliuojant eksponentinį augimą ir analizuojant didelius duomenų kiekius.

Logaritmų tipai

Paprastai dirbame su dviejų tipų logaritmais:

• Bendras logaritmas
• Natūralus logaritmas

Pastaba: Gali būti logaritmas, kurio pagrindas yra bet koks realusis skaičius, tačiau šie du, ty bendrasis ir natūralusis logaritmas, yra labiausiai paplitę ir standartiniai.

Išsamiai aptarkime šias rūšis.

Bendrasis logaritmas

Įprastas logaritmas, dažnai žinomas kaip logaritminė bazė 10 arba tiesiog log, yra matematinė funkcija, nurodanti eksponentą, iki kurio reikia padidinti tam tikrą skaičių, kad būtų pasiektas tam tikras skaičius. Jis apskaičiuoja dešimties galią, reikalingą tam tikram skaičiui gauti.

Pavyzdžiui, žurnalas ₁₀ (100) lygus 2, nes 10 pakeltas iki 2 laipsnio, lygus 100. Bendras 100 logaritmas šiuo atveju yra 2, rodantis, kad 10 ² = 100. Įprasti logaritmai naudojami daugelyje sektorių, įskaitant mokslą, inžineriją ir finansus, siekiant supaprastinti didžiulių skaičių atvaizdavimą ir padėti skaičiavimams, kuriems reikia 10 galių.

Natūralusis logaritmas

Natūralusis logaritmas yra matematinė funkcija, išreiškianti logaritmą iki pagrindo „e“ (Eulerio skaičius, maždaug 2,71828). Tai yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos vertė ir parodo laiką, kurio reikia, kad kiekis padidėtų arba sumažėtų pastoviu koeficientu.

Pavyzdžiui, ln (10) ≈ 2,30259 reiškia, kad e, padaugintas iš 2,30259, yra lygus 10. Natūralusis logaritmas naudojamas daugelyje sričių, įskaitant matematiką, fiziką ir finansus, apibūdinant reiškinius, kurie rodo eksponentinį augimą arba mažėjimą, pvz., populiacijos plėtrą, radioaktyvaus skilimo ir sudėtinių palūkanų skaičiavimai.

Kas yra logaritmo taisyklės?

Logaritminės operacijos gali būti atliekamos pagal konkrečias taisykles. Šios taisyklės žinomos kaip:

• Produkto taisyklė
• Dalinio taisyklė
• Nulinė taisyklė
• Tapatybės taisyklė
• Galios taisyklė arba eksponentinė taisyklė
• Pagrindinės taisyklės pakeitimas
• Abipusė taisyklė

Be šių bendrų taisyklių, galime turėti ir keletą neįprastų taisyklių, pavyzdžiui:

• Logaritmo atvirkštinė savybė
• Log vedinys
• Log integravimas

Produkto žurnalo taisyklė

Pagal sandaugos taisyklę sandaugos logaritmas yra jo elementų logaritmų suma.

Formulė: žurnalas _a (XY) = žurnalas _a X + žurnalas _a IR

Pavyzdys: žurnalas ₂ (3 × 5) = log ₂ (3) + rąstas ₂ (5)

Žurnalo koeficiento taisyklė

Dalinio taisyklė teigia, kad koeficiento logaritmas yra lygus skaitiklio ir vardiklio logaritmų skirtumui.

Formulė: žurnalas _a (X/Y) = log _a X – žurnalas _a IR

Pavyzdys: žurnalas ₃ (9/3) = žurnalas ₃ (9) – žurnalas ₃ (3)

Nulinė žurnalo taisyklė

Pagal nulinę taisyklę 1 logaritmas bet kokiam pagrindui visada yra 0.

Formulė: žurnalas _a (1) = 0

Pavyzdys: žurnalas ₄ (1) = 0

Žurnalo tapatybės taisyklė

Pagal tapatybės taisyklę bazės logaritmas sau visada yra 1.

Formulė: žurnalas _a (a) = 1

Pavyzdys: žurnalas ₇ (7) = 1

Abipusė taisyklė

Pagal logaritmų reciprokinę taisyklę, skaičiaus atvirkštinio logaritmas (1 padalintas iš šio skaičiaus) yra lygus pradinio skaičiaus logaritmo neigiamam. Matematiniu užrašu:

Formulė: žurnalas _a (1/X) = – log _a (X)

Pavyzdys: žurnalas _a (1/2) = – log _a (2)

Galios taisyklė arba eksponentinė žurnalo taisyklė

Pagal laipsnio taisyklę, skaičiaus, pakelto iki laipsnio, logaritmas yra lygus eksponentui, padaugintam iš bazės logaritmo.

Formulė: žurnalas _a (X ⁿ ) = n × log _a X

Pavyzdys: žurnalas ₅ (9 ² ) = 2 × log ₅ (9)

Pagrindinės žurnalo taisyklės pakeitimas

Bazinės taisyklės pakeitimas leidžia apskaičiuoti skaičiaus logaritmą kitoje bazėje naudojant bendrą logaritmą (paprastai 10 arba e). Taip pat vadinamas pagrindinės taisyklės pakeitimas Pagrindinė jungiklio taisyklė.

Formulė: žurnalas _a (X) = logᵦ (X) / logᵦ (a)

Pavyzdys: žurnalas ₃ (7) = rąstas ₁₀ (7) / žurnalas ₁₀ (3)

Logaritmo atvirkštinė savybė

Atvirkštinė logaritmo savybė teigia, kad skaičiuojant eksponentinės reikšmės logaritmą gaunamas pradinis eksponentas.

Formulė: žurnalas _a (a) = n

Pavyzdys: log₄(4²) = 2

Log vedinys

Funkcijos natūraliojo logaritmo išvestinė yra funkcijos atvirkštinė vertė, padauginta iš funkcijos išvestinės.

Formulė: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Pavyzdys: Jei y = ln(x ² ), tada dy/dx = 2x / x ² = 2/x

Log integravimas

Be diferenciacijos, galime apskaičiuoti ir logaritmo integralą. Log funkcijos integralas pateikiamas taip:

Formulė: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Natūralaus rąsto taisyklės

Kadangi natūralūs ir paprasti rąstai turi tik pagrindo skirtumą, todėl natūralių rąstų taisyklės yra tokios pačios kaip ir paprastojo rąsto, kurios jau aptartos. Vienintelis skirtumas yra tas, kad natūralaus rąsto taisyklėse vietoj log (paprasto rąsto simbolis su 10 baze) naudojame ln (natūralaus rąsto pagrindo e simbolis). Šios taisyklės gali būti išdėstytos taip:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• ln m ⁿ = n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• tai yra ^{ln x} = x

Logaritmo taikymas

Pažvelkime į kai kurias žurnalo programas.

• Cheminių tirpalų rūgštingumui ir šarmingumui apskaičiuoti naudojame logaritmus.
• Richterio skalė naudojama žemės drebėjimo intensyvumui apskaičiuoti.
• Triukšmo kiekis matuojamas decibelais (dB) logaritminėje skalėje.
• Logaritmai naudojami eksponentiniams procesams, tokiems kaip aktyvių izotopų santykio nykimas, bakterijų vystymasis, epidemijos plitimas populiacijoje ir mirusio lavono atšalimas, analizuoti.
• Paskolos grąžinimo laikui apskaičiuoti naudojamas logaritmas.
• Skaičiuojant logaritmas naudojamas sudėtingoms lygtims atskirti ir plotui po kreivėmis apskaičiuoti.

Produkto logaritmų taisyklė

Pagal logaritmų sandaugos taisyklę dviejų narių daugybos logaritmas yra toks pat, kaip ir tų atskirų narių logaritmų pridėjimas. Kitaip tariant, ši taisyklė išreiškiama kaip log _b (mn) = log _b (m) + log _b (n). Pereikime prie šios taisyklės išvedimo.

Išvedimo procesas:

Pradėkime nuo žurnalo _b (m) = x ir log _b (n) = y. Konvertuodami abi į jų eksponentinę formą, gauname:

žurnalas _b (m) = x reiškia, kad m = b ^x … (1)

žurnalas _b (n) = y reiškia n = b ^ir … (2)

Kai padauginame (1) ir (2) lygtis kartu,

mn = b ^{x .} b ^ir

Naudojant eksponentų dauginimo taisykles,

mn = b ^{x + y}

Konvertuojant atgal į logaritminę formą, gaunama,

žurnalas _b (mn) = x + y

Pakeitus atgal x ir y,

žurnalas _b (mn) = log _b (m) + log _b (n)

Taigi, mes išvedėme logaritmų sandaugos taisyklę. Ši taisyklė gali būti naudojama įvairiais būdais, pavyzdžiui:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Svarbu pažymėti, kad logaritmų sandaugų taisyklė netaikoma log (m + n), kurių negalima suskaidyti į atskirus logaritmus. Ši taisyklė griežtai taikoma sandaugos logaritmui log(mn).

Logaritmo galios taisyklė

Logaritmo galios taisyklė teigia, kad kai logaritmo argumentas padidinamas iki laipsnio, šis rodiklis gali būti perkeltas į logaritmo priekį. Kitaip tariant, logb mn = n logb m. Panagrinėkime šios taisyklės išvedimą.

Išvedimo procesas:

Pradėkite darydami prielaidą, kad žurnalas _b m lygus x. Pavertę tai į eksponentinę formą, gauname:

b ^x = m

Tada pakelkite abi puses iki laipsnio n, todėl:

(b ^x ) ⁿ = m ⁿ

Taikant eksponento galios taisyklę gaunama:

b ^nx = m ⁿ

Konvertuodami atgal į logaritminę formą, gauname:

žurnalas _b m ⁿ = nx

Pakeitus x į log _b m, atvykstame į:

žurnalas _b m ⁿ = n log _b m

Tai baigia logaritmo galios taisyklės išvedimą. Toliau pateikiami keli šios taisyklės taikymo pavyzdžiai:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Logaritmų koeficiento taisyklė

Pagal logaritmų koeficiento taisyklę, dviejų skaičių padalijimo logaritmas yra kiekvieno skaičiaus logaritmų atėmimas.

Tiksliau, taisyklė nurodo, kad žurnalas _b (m/n) = log _b m – rąstas _b n. Pereikime prie šios taisyklės išvedimo.

Išvedimo procesas:

Tarkime, žurnalas _b m lygus x ir log _b n lygus y. Išreikšime juos eksponentinėmis formomis.

žurnalas _b m = x reiškia m = b ^x … (1)

žurnalas _b n = y reiškia n = b ^ir … (2)

Kai lygtį (1) padaliname iš lygties (2),

m/n = b ^x / b ^ir

Taikant koeficiento taisyklę rodikliams,

m/n = b ^x–y

Konvertavimas atgal į logaritminę formą,

žurnalas _b (m/n) = x – y

Pakeitus atgal x ir y,

žurnalas _b (m/n) = log _b m – rąstas _b n

Taigi, mes išvedėme logaritmų koeficiento taisyklę. Ši taisyklė gali būti naudojama taip:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Svarbu pažymėti, kad koeficiento taisyklė nieko nereiškia log (m – n).

Susijusios temos:

• Antilogų lentelė
• Žurnalo skaičiuoklė
• Natūralus rąstas
• Rąstų lentelė

Išspręsti žurnalo taisyklių pavyzdžiai

1 pavyzdys: supaprastinkite žurnalą ₂ (4 × 8).

Sprendimas:

Naudodami sandaugos taisyklę, padalijame sandaugą į logaritmų sumą:

žurnalas ₂ (4 × 8) = log ₂ (4) + rąstas ₂ (8) = 2 + 3 = 5.

2 pavyzdys: supaprastinkite žurnalą ₄ (16/2).

Sprendimas:

Naudodami koeficiento taisyklę, dalinį padalijame į logaritmų skirtumą:

žurnalas ₄ (16/2) = žurnalas ₄ (16) – žurnalas ₄ (2) = 2 – 0,5 = 1,5.

3 pavyzdys: supaprastinkite žurnalą ₅ (25 ³ ).

Sprendimas:

Naudodamiesi galios taisykle, eksponentą galime sumažinti kaip koeficientą:

žurnalas ₅ (25 ³ ) = 3 × log ₅ (25) = 3 × 2 = 6.

4 pavyzdys: konvertuoti žurnalą ₃ (7) į išraišką su 10 baze.

Sprendimas:

Naudodami bazinio jungiklio taisyklę, padaliname iš naujos bazės logaritmo:

žurnalas ₃ (7) = log₀(7) / log₀₀(3) ≈ 1,7712

5 pavyzdys: Įvertinkite žurnalą ₇ (49) naudojant bazinės taisyklės pakeitimą 2 baze.

Sprendimas:

Naudojant bazinės taisyklės keitimą naudojant 2 bazę:

žurnalas ₇ (49) = žurnalas ₂ (49) / žurnalas ₂ (7) = 5 / 1,807 = 2,77 (apytiksliai).

Praktiniai klausimai apie žurnalo taisykles

1 problema: Supaprastinkite posakį: log ₂ (4) + rąstas ₂ (8).

2 problema: Supaprastinti: žurnalas ₅ (25) – žurnalas ₅ (5).

3 problema: Supaprastinkite posakį: log ₃ (9 ² ).

4 problema: Express žurnalas ₄ (25) pagal bendruosius logaritmus.

5 problema: Supaprastinkite naudodami žurnalo taisykles: žurnalas ₇ (49) + 2 rąstai ₇ (3).

6 problema: Išspręskite x: log ₂ (x) = 3.

7 problema: Išspręskite x: 2 ^3x-1 = 8.

Žurnalo taisyklės – DUK

Kas yra logaritmo taisyklės?

Logaritmo taisyklės yra rekomendacijų, kaip manipuliuoti ir supaprastinti formules naudojant logaritmines funkcijas, rinkinys. Jie siūlo sisteminį metodą sudėtingiems skaičiavimams ir eksponentinių bei logaritmų sąveikai spręsti.

Kiek yra pagrindinių logaritmo taisyklių?

Produkto taisyklė, koeficiento taisyklė, galios taisyklė, bazinio jungiklio taisyklė ir pagrindinės taisyklės keitimas yra pagrindinės logaritmo taisyklės. Šie principai leidžia atlikti logaritmines išraiškos modifikacijas ir skaičiavimus.

Kas yra logaritminė produkto taisyklė?

Pagal sandaugos taisyklę sandaugos logaritmas lygus atskirų faktorių logaritmų sumai: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Kas yra dviejų tipų logaritmai?

Du dažniausiai naudojami logaritmų tipai:

• Bendrasis logaritmas arba 10 bazinis logaritmas
• Natūralusis logaritmas arba bazinis e logaritmas

Kas yra žurnalo bazės keitimo taisyklė?

Pagal rąsto bazinės taisyklės pasikeitimą, rąstą _a (b)=[log _c (b)]/[log _c (a)], kur c yra bet koks teigiamas realusis skaičius.

Kas yra Log 0?

Nulio logaritmas nežinomas. Mes niekada neįgyjame skaičiaus 0, padidindami bet kurią reikšmę iki bet kurios kitos reikšmės laipsnio.

Kas yra 1 žurnalas?

Dėl nulinės taisyklės 1 logaritmas bet kokiam pagrindui visada yra 0, ty logaritmas _a (1) = 0.

Kas yra bet kurio skaičiaus logaritmas sau kaip bazė?

Pagal tapatumo taisyklę bazės logaritmas sau visada yra 1, ty log _a (a) = 1.

Koks yra logaritmų ir eksponentinių santykis?

Logaritmai ir eksponentai yra atvirkštinės operacijos. Logaritmas nurodo eksponentą, kurio reikia tam tikram skaičiui pasiekti, o eksponentas pakelia bazę iki eksponento.

Kokios yra 7 logaritmų taisyklės?

7 logaritmų taisyklės apima

• Produkto taisyklė
• Dalinio taisyklė
• Galios taisyklė
• Bazinių taisyklių pakeitimas
• Nulinė taisyklė
• Tapatybės taisyklė
• Neigiama taisyklė

Šios taisyklės naudojamos logaritminėms išraiškoms supaprastinti.

Kas yra žurnalo eksponento taisyklė?

Žurnalo eksponento taisyklė teigia, kad log bazė b iš a ^x yra lygus x a log bazei b, ty log _b a ^x = x log _b a.

Kuo pagrindinis skirtumas tarp paprastojo ir natūralaus rąsto?

Pagrindinis skirtumas tarp paprastojo ir natūralaus rąsto yra tas, kad įprasti rąstai naudoja 10 bazę, o natūralūs rąstai naudoja matematinę konstantą „e“.

Kas yra žurnalo išvestinė taisyklė?

Išvestinė žurnalo funkcijų taisyklė yra: d/dx[log _b (x)] = 1 / (x ln(b)), kur „b“ yra logaritmo pagrindas.

Kas yra pagrindinė jungiklio taisyklė?

Pagal bazinio perjungimo taisyklę bet kurio logaritmo bazę galima pakeisti į bet kurią kitą norimą bazę, naudojant formulę: loga(X) = logb(X) / logb(a).