Tegu L yra netuščia aibė, uždaryta pagal dvi dvejetaines operacijas, vadinamas susitikti ir sujungti, pažymėtas ∧ ir ∨. Tada L vadinama gardelė, jei galioja šios aksiomos, kur a, b, c yra L elementai:

1) Komutacinė teisė: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Asociacinė teisė:
(a) (a ∧ b) ∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Absorbcijos dėsnis: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Dvilypumas:

Bet kurio gardelės teiginio dualas (L,∧ ,∨ ) apibrėžiamas kaip teiginys, gaunamas pakeitus ∧ ir ∨.

Pavyzdžiui , a dualis ∧ (b ∨ a) = a ∨ a yra a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Apribotos grotelės:

Gardelė L vadinama ribotąja gardele, jei jos didžiausias elementas yra 1 ir mažiausias elementas 0.

Pavyzdys:

1. Aibės S galių aibė P(S) pagal susikirtimo ir jungties operacijas yra apribota gardelė, nes ∅ yra mažiausias P(S) elementas, o aibė S yra didžiausias P(S) elementas.
2. +ve sveikojo skaičiaus I rinkinys ₊ įprasta tvarka ≦ nėra apribota gardelė, nes ji turi mažiausią elementą 1, bet didžiausio elemento neegzistuoja.

Apribotų grotelių savybės:

Jei L yra apribota gardelė, tai bet kurio elemento a ∈ L tapatybės yra tokios:

1. a ∨ 1 = 1
2. a ∧1= a
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

Teorema: Įrodykite, kad kiekviena baigtinė gardelė L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ ....a _n } yra ribojamas.

Įrodymas: Pateikėme baigtinę gardelę:

L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ ....a _n }

Taigi didžiausias gardelių L elementas yra a ₁ ∨ a ₂ ∨ a _{3∨.....∨a n .}

Taip pat mažiausias gardelės L elementas yra a ₁ ∧ a ₂ ∧a ₃ ∧....∧a _n .

Kadangi didžiausi ir mažiausi elementai egzistuoja kiekvienoje baigtinėje gardelėje. Vadinasi, L yra ribojamas.

Subgardelės:

Apsvarstykite netuščią poaibį L ₁ iš grotelių L. Tada L ₁ vadinama L subgardele, jei L ₁ pati yra gardelė, ty L operacija, ty a ∨ b ∈ L ₁ ir a ∧ b ∈ L ₁ kai tik ∈ L ₁ ir b ∈ L ₁ .

Pavyzdys: Apsvarstykite visų +ve sveikųjų skaičių I gardelę ₊ veikiant dalijamumui. Grotelės D _n visų n > 1 daliklių yra I pogardelė ₊ .

Nustatykite visas D subgardeles ₃₀ kuriuose yra bent keturi elementai, D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Sprendimas: Pogardelės D ₃₀ kuriuose yra bent keturi elementai, yra šie:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Izomorfinės gardelės:

Dvi grotelės L ₁ ir L ₂ Jie vadinami izomorfinėmis gardelėmis, jei yra bijekcija iš L ₁ pas L ₂ y., f: L ₁ ⟶ L ₂ , kad f (a ∧ b) = f(a) ∧ f(b) ir f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Pavyzdys: Nustatykite, ar gardelės, parodytos fig., yra izomorfinės.

Sprendimas: Fig. parodytos gardelės yra izomorfinės. Apsvarstykite atvaizdavimą f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Pavyzdžiui, f (b ∧ c) = f (a) = 1. Be to, mes turi f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Paskirstymo tinklelis:

Gardelė L vadinama paskirstymo gardelėmis, jei bet kokiems L elementams a, b ir c ji atitinka šias paskirstymo savybes:

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Jei gardelė L neatitinka minėtų savybių, ji vadinama neskirstomąją gardelę.

Pavyzdys:

1. Aibės S galios rinkinys P (S) veikiant sankirtai ir jungčiai yra skirstomoji funkcija. Nuo,
   a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
   taip pat a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) bet kurioms P(S) aibėms a, b ir c.
2. II pav. parodyta gardelė yra skirstomoji. Kadangi jis atitinka visų užsakytų trigubų, paimtų iš 1, 2, 3 ir 4, paskirstymo savybes.

Papildymai ir papildytos gardelės:

Tegu L yra apribota gardelė su apatine ribine o ir viršutine riba I. Tegu a yra elementas, jei L. Elementas x L vadinamas a papildiniu, jei a ∨ x = I ir a ∧ x = 0

Gardelė L yra papildyta, jei L yra ribojama ir kiekvienas L elementas turi papildinį.

Pavyzdys: Nustatykite a ir c komplementą pav.

Sprendimas: a papildinys yra d. Kadangi a ∨ d = 1 ir a ∧ d = 0

c papildinio nėra. Kadangi nėra tokio elemento c, kad c ∨ c'=1 ir c ∧ c'= 0.

Modulinė gardelė:

Tinklelė (L, ∧,∨) vadinama moduline gardele, jei a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c, kai a ≦ c.

Tiesioginis grotelių produktas:

Tegul (L ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ ) ir (L ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) būti dvi gardelės. Tada (L, ∧, ∨) yra tiesioginė gardelių sandauga, kur L = L ₁ x L ₂ kurioje dvejetainė operacija ∨(susijungti) ir ∧(susitikti) L yra tokia, kad bet kuriam (a ₁ ,b ₁ ) ir (a ₂ ,b ₂ ) L.

(a ₁ ,b ₁ )∨( a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∨ ₁ a ₂ ,b ₁ ∨ ₂ b ₂ )
ir (a ₁ ,b ₁ ) ∧ ( a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∧ ₁ a ₂ ,b ₁ ∧ ₂ b ₂ ).

Pavyzdys: Apsvarstykite gardelę (L, ≦), kaip parodyta fig. kur L = {1, 2}. Nustatykite groteles (L ² , ≦), kur L ² = L x L.

Sprendimas: Grotelės (L ² , ≦) parodyta pav.