Integracija yra mažų funkcijos verčių sumavimo procesas ribų srityje. Tai tiesiog priešinga diferenciacijai. Integracija taip pat žinoma kaip antiderivatinė priemonė. Šiame straipsnyje mes paaiškinome trigonometrinių funkcijų integravimą.

Žemiau pateikiamas nurodytos funkcijos integravimo pavyzdys.

pvz., Apsvarstykite funkciją, f(y) = y ² .

Šią funkciją galima integruoti kaip:

∫y ² tu = frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Tačiau an neapibrėžtas integralas yra funkcija, kuri paima kitos funkcijos antidarinį. Jis vaizduojamas kaip vientisas simbolis (∫), funkcija ir funkcijos išvestinė pabaigoje. Neapibrėžtas integralas yra lengvesnis būdas simbolizuoti antidarinį.

Sužinokime, kas yra integracija matematiškai, funkcijos f(x) integracija pateikiama kaip F(x) ir ji pavaizduota taip:

∫f(x)dx = F(x) + C

Čia R.H.S. lygtis reiškia f(x) integralą x atžvilgiu, F(x) vadinamas antidariniu arba primityvu, f(x) vadinamas integrandu, dx vadinamas integruojančiu veiksniu, C vadinamas integravimo konstanta arba savavališka konstanta, o x yra integracijos kintamasis.

Kai kurie svarbūs trigonometrinių funkcijų integralai

Toliau pateikiamas kai kurių svarbių bazinių neapibrėžtų integralų formulių sąrašas trigonometrinės funkcijos reikia atsiminti taip:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sek ² x dx = įdegis x + C
• ∫ kosek ² x dx = -lova x + C
• ∫ sek x tan x dx = sek x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | sek x | +C
• ∫ vaikiška lovelė x dx = ln | nuodėmė x | + C
• ∫ sek x dx = ln | sek x + tan x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – vaikiška lovelė x | + C

Kur dx yra x, C išvestinė yra integracijos konstanta, o ln reiškia logaritmas funkcijos modulio viduje (| |).

Paprastai trigonometrinėmis funkcijomis pagrįstų neapibrėžtinių integralų problemos sprendžiamos pakeitimo metodu. Taigi aptarkime daugiau apie integravimą pakeitimo metodu taip:

Integracija pakeitimu

Šiuo metodu integracija pakeičiant , bet kuris duotas integralas paverčiamas paprasta integralo forma, pakeičiant nepriklausomą kintamąjį kitais. Panagrinėkime pavyzdį, kad geriau suprastume.

Pavyzdys: Supaprastinti ∫ 3x ² nuodėmė (x ³ ) dx.

Atsakymas:

Tegu I = ∫ 3x ² nuodėmė (x ³ ) dx.

Norėdami įvertinti pateiktą integralą, bet kurį kintamąjį pakeisime nauju kintamuoju:

Leiskite x ³ būti t duotam integralui.

Tada dt = 3x ² dx

Todėl,

I = ∫ 3x ² nuodėmė (x ³ ) dx = ∫ sin (x ³ ) (3x ² dx)

Dabar x pakeiskite t ³ ir dt 3x ² dx aukščiau esančiame integrale.

I = ∫ sin (t) (dt)

Kaip ∫ sin x dx = -cos x + C, taigi

I = -cos t + C

Vėlgi, pakeiskite atgal x ³ t išraiškoje kaip:

I = ∫ 3x ² nuodėmė (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Kuris yra būtinas integralas.

Taigi bendroji integracijos pakeitimo forma yra:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

kur t = g(x)

Paprastai integravimo pakeitimu metodas yra labai naudingas, kai keičiame funkciją, kurios išvestinė yra ir integrande. Taip funkcija supaprastėja, o pagrindinės integravimo formulės gali būti naudojamos funkcijai integruoti.

Skaičiuojant integravimas pakeitimo metodu taip pat žinomas kaip atvirkštinės grandinės taisyklė arba U-pakeitimo metodas. Šį metodą galime naudoti norėdami rasti integralią reikšmę, kai ji nustatyta specialioje formoje. Tai reiškia, kad pateiktas integralas yra tokios formos:

Skaityti daugiau,

• Skaičiavimas matematikoje
• Integralai
• Integralinis skaičiavimas
• Trigo funkcijų diferencijavimas
• Trigonometrinės lygtys

Trigonometrinių funkcijų integravimo uždavinių pavyzdžiai

1 uždavinys. Nustatykite šios funkcijos integralą: f(x) = cos ³ x.

Sprendimas:

Pateiktos funkcijos integralą laikykime kaip

I = ∫ cos ³ x dx

Jį galima perrašyti taip:

I = ∫ (cos x) (cos ² x) dx

Naudojant trigonometrijos tapatybę; cos ² x = 1 – nuodėmė ² x, gauname

I = ∫ (cos x) (1 – sin ² x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin ² x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin ² x dx

Kaip ∫ cos x dx = sin x + C,

Taigi I = sin x – ∫ sin ² x cos x dx . . . (1)

Tegu, sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Pakeiskite t sin x ir dt cos x dx antrojo aukščiau pateikto integralo naryje.

I = sin x – ∫ t ² dt

⇒ I = sin x – t ³ /3 + C

Vėlgi, išraiškoje t pakeiskite atgal sin x.

Vadinasi, ∫ cos ³ x dx = sin x – nuodėmė ³ x / 3 + C.

2 uždavinys: jei f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) tada nustatykite ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Sprendimas:

Pateiktos funkcijos integralą laikykime kaip

I = ∫ nuodėmė ² (x) cos ³ (x) dx

Naudojant trigonometrijos tapatybę; cos ² x = 1 – nuodėmė ² x, gauname

I = ∫ nuodėmė ² x (1 – nuodėmė ² x) cos x dx

Tegul sin x = t tada,

⇒ dt = cos x dx

Pakeiskite juos aukščiau esančiu integralu kaip

I = ∫ t ² (1-t ² ) dt

⇒ I = ∫ t ² – t ⁴ dt

⇒ I = t ³ / 3 – t ⁵ / 5 + C

Pakeiskite t reikšmę aukščiau pateiktame integrale kaip

Vadinasi, aš = nuodėmė ³ x / 3 – be ⁵ x / 5 + C.

3 uždavinys: tegul f(x) = sin ⁴ (x) tada raskite ∫ f(x)dx. y. ∫ nuodėmė ⁴ (x) dx.

Sprendimas:

Pateiktos funkcijos integralą laikykime kaip

I = ∫ nuodėmė ⁴ (x) dx

⇒ I = ∫ (be ² (x)) ² dx

Naudokiteing trigonometrijos tapatybę; nuodėmė ² (x) = (1 – cos (2x)) / 2, gauname

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2} ² dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos ² (2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos ² (2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 - sin 2x / 4 + C

Vadinasi, ∫ nuodėmė ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 - sin 2x / 4 + C

4 problema: Raskite integraciją old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Sprendimas:

Pateiktos funkcijos integralą laikykime kaip

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Tegul t = įdegis ^-1 x . . . (1)

Dabar atskirkite abi puses x atžvilgiu:

dt = 1 / (1 + x ² ) dx

Todėl duotasis integralas tampa:

I = ∫ e ^t dt

⇒ I = e ^t + C. . . (2)

Pakeiskite (1) reikšmę (2) taip:

⇒ I = e^{tan^{-1}x} + C

Kuri yra reikalinga integracija duotai funkcijai.

5 uždavinys: Raskite funkcijos f (x) integralą, apibrėžtą kaip

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Sprendimas:

Pateiktos funkcijos integralą laikykime kaip

I = ∫ 2x cos (x ² – 5) dx

Leiskite (x ² – 5) = t . . . (1)

Dabar atskirkite abi puses x atžvilgiu kaip,

2x dx = dt

Pakeičiant šias reikšmes aukščiau esančiu integralu,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Pakeiskite reikšmės lygtį (1) lygtyje (2) kaip

⇒ I = nuodėmė (x ² – 5) + C

Tai yra būtina integracija duotai funkcijai.

6 uždavinys: Nustatykite duoto neapibrėžto integralo reikšmę, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Sprendimas:

Duotas integralas gali būti parašytas taip,

I = ∫ vaikiška lovelė (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Tegu, t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Taigi,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1/3) ln | t | + C

Aukščiau pateiktoje išraiškoje t pakeiskite sin (3x+5).

I = (1/3) ln | nuodėmė (3x+5) | + C

Tai yra būtina integracija duotai funkcijai.

Trigonometrinių funkcijų integravimas – DUK

Kas yra trigonometrinės funkcijos integravimas?

Trigonometrinių funkcijų integravimas, kaip rodo pavadinimas, yra trigonometrinių funkcijų integracijos arba antidarinės skaičiavimo procesas. Tai atvirkštinis trigonometrinių funkcijų diferenciacijos procesas.

Kas yra pagrindinės trigonometrinės funkcijos?

Pagrindinės trigonometrinės funkcijos yra šios:

• sinusas (be),
• kosinusas (cos),
• tangentas (įdegis),
• kotangentas (alkūnė),
• sekantas (sek.), ir
• kosekantas (csc).

Kaip integruojate sinuso (sin) ir kosinuso (cos) funkcijas?

Norėdami integruoti sinuso ir kosinuso funkcijas, galime naudoti šias formules:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Kur C yra integracijos konstanta.

Kas yra tangentinės (rusvos spalvos) trigonometrinės funkcijos integravimas?

Tangentinės funkcijos integralas pateikiamas taip:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

kur,

• ln reiškia natūralųjį logaritmą ir
• C yra integracijos konstanta.

Kaip rasti sekantinės (sek.) trigonometrinės funkcijos integralą?

Sekantinės funkcijos integralas pateikiamas taip:

∫ sek(x) dx = ln|sek(x) + tan(x)| + C

kur,

• ln reiškia natūralųjį logaritmą ir
• C yra integracijos konstanta.

Kas yra kotangento (lovytės) trigonometrinės funkcijos integravimas?

Kotangentinės funkcijos integralas gali būti apskaičiuotas naudojant šią formulę:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C

kur,

• ln reiškia natūralųjį logaritmą ir
• C yra integracijos konstanta.

Kaip rasti kosekanto (cosec) funkcijos integralą?

Kosekantinės funkcijos integralas pateikiamas taip:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – vaikiška lovelė x | + C

kur,

• ln reiškia natūralųjį logaritmą ir
• C yra integracijos konstanta.