Tegul A, B ir C yra aibės, o R yra santykis nuo A iki B, o S yra santykis nuo B iki C. Tai reiškia, kad R yra A × B poaibis, o S yra B × poaibis C. Tada R ir S sukuria ryšį nuo A iki C, pažymėtą R◦S ir apibrėžtą taip:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S  

Ryšys R◦S yra žinomas R ir S sudėtis; kartais jis žymimas tiesiog RS.

Tegu R yra aibės A santykis, tai yra, R yra aibės A santykis su savimi. Tada visada vaizduojama R◦R, R sudėtis su savimi. Be to, R◦R kartais žymimas R ² . Panašiai ir R ³ = R ² ◦R = R◦R◦R ir pan. Taigi R ⁿ yra apibrėžtas visiems teigiamiems n.

1 pavyzdys: Tegu X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} ir Z = {l, m, n}. Apsvarstykite santykį R ₁ nuo X iki Y ir R ₂ nuo Y iki Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)}  

Raskite santykio sudėtį (i) R ₁ R ₂ (ii) R ₁ R ₁ ^-1

Sprendimas:

i) sudėties santykis R ₁ R ₂ kaip parodyta pav:

R ₁ R ₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

ii) sudėties santykis R ₁ R ₁ ^-1 kaip parodyta pav:

R ₁ R ₁ ^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Santykių ir matricų sudėtis

Yra ir kitas būdas rasti R◦S. Tegul M _R ir M _S atitinkamai žymime santykių R ir S matricinius vaizdus. Tada

Pavyzdys

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR  

Sprendimas: Ryšio R ir S matricos parodytos pav.

(i) Norėdami gauti santykio R ir S sudėtį. Pirmiausia padauginkite M _R su M _S gauti matricą M _R x M _S kaip parodyta pav:

Ne nuliniai įrašai matricoje M _R x M _S pasakoja apie RoS susijusius elementus. Taigi,

Vadinasi, santykio R ir S sudėtis R o S yra

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.  

(ii) Pirma, padauginkite matricą M _R savaime, kaip parodyta pav

Vadinasi, santykio R ir S sudėtis R o R yra

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}  

(iii) Padauginkite matricą M _S su M _R gauti matricą M _S x M _R kaip parodyta pav:

Ne nuliniai įrašai matricoje M _S x M _R pasakoja elementus, susijusius su S o R.

Vadinasi, santykio S ir R kompozicija S o R yra

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.