LOIS DES LOGARITHMES

Le logarithme est l'exposant ou la puissance à laquelle une base est élevée pour obtenir un nombre particulier. Par exemple, « a » est le logarithme de « m » à la base de « x » si x ^m = a, alors nous pouvons l'écrire sous la forme m = log _X un. Les logarithmes ont été inventés pour accélérer les calculs et le temps sera réduit lorsque nous multiplierons plusieurs chiffres à l'aide de logarithmes. Discutons maintenant des lois des logarithmes ci-dessous.

Il existe trois lois des logarithmes dérivées des règles de base des exposants. Les lois sont la loi des règles du produit, la loi des règles du quotient, la loi des règles de la puissance. Examinons les lois en détail.

Première loi du logarithme ou loi des règles du produit

Soit a = x ⁿ et b = x ^m où la base x doit être supérieure à zéro et x n'est pas égal à zéro. c'est-à-dire x> 0 et x ≠ 0. à partir de là, nous pouvons les écrire comme

n = journal _X a et m = journal _X b ⇢ (1)

En utilisant la première loi des exposants on sait que x ⁿ ×x ^m =x ^{n + m} ⇢ (2)

Maintenant, nous multiplions a et b, nous obtenons ainsi,

ab = x ⁿ ×x ^m

ab = x ^{n + m} (De l'équation 2)

Appliquez maintenant le logarithme à l'équation ci-dessus, nous obtenons comme ci-dessous,

enregistrer _X ab = n + m

À partir de l'équation 1, nous pouvons écrire sous forme de log _X ab = journal _X un + journal _X b

Donc, si nous voulons multiplier deux nombres et trouver le logarithme du produit, additionnons les logarithmes individuels des deux nombres. Il s’agit de la première loi des logarithmes/règles de produits.

enregistrer _X ab = journal _X un + journal _X b

Nous pouvons appliquer cette loi à plus de deux nombres, c'est-à-dire

enregistrer _X abc = journal _X un + journal _X b + journal _X c.

Deuxième loi du logarithme ou loi de la règle du quotient

Soit a = x ⁿ et b = x ^m où la base x doit être supérieure à zéro et x n'est pas égal à zéro. c'est-à-dire x> 0 et x ≠ 0. à partir de là, nous pouvons les écrire comme suit :

n = journal _X a et m = journal _X b ⇢ (1)

En utilisant la première loi des exposants on sait que x ⁿ / X ^m =x ^n-m ⇢ (2)

Maintenant, nous multiplions a et b, nous obtenons la forme suivante :

a/b = x ⁿ / X ^m

a/b = x ^n-m ⇢ (De l'équation 2)

Appliquez maintenant le logarithme à l'équation ci-dessus, nous obtenons comme ci-dessous,

enregistrer _X (une/b) = n – m

À partir de l'équation 1, nous pouvons écrire sous forme de log _X (a/b) = journal _X un journal _X b

Ainsi, si nous voulons diviser deux nombres et trouver le logarithme de la division, nous pouvons alors soustraire les logarithmes individuels des deux nombres. Il s’agit de la deuxième loi de la loi des règles des logarithmes/quotients.

enregistrer _X (a/b) = journal _X un journal _X b

Troisième loi du logarithme ou loi des règles de puissance

Soit a = x ⁿ ⇢ (je),

Où la base x doit être supérieure à zéro et x n'est pas égal à zéro. c'est-à-dire x> 0 et x ≠ 0. à partir de là, nous pouvons les écrire comme suit :

n = journal _X une ⇢ (1)

Si nous élevons les deux côtés de l’équation (i) avec la puissance de « m », nous obtenons la formule suivante :

un ^m = (x ⁿ ) ^m =x ^nm

Laissez un ^m être une quantité unique et appliquer le logarithme à l'équation ci-dessus alors,

enregistrer _X un ^m = nm

enregistrer _X un ^m = m.log _X un

C'est la troisième loi des logarithmes. Il indique que le logarithme d’un nombre puissance peut être obtenu en multipliant le logarithme du nombre par ce nombre.

Exemples de problèmes

Problème 1 : développez le journal 21.

Solution:

Comme nous le savons, ce journal _X ab = journal _X un + journal _X b (De la première loi du logarithme)

Donc, log 21 = log (3 × 7)

= journal 3 + journal 7

Problème 2 : développez le journal (125/64).

Solution:

Comme nous le savons, ce journal _X( a/b) = journal _X un journal _X b (De la deuxième loi du logarithme)

Donc, log (125/64) = log 125 – log 64

= journal 5 ³ – journal 4 ³

enregistrer _X un ^m = m.log _X a (De la troisième loi du logarithme), nous pouvons l'écrire comme suit :

= 3 bûches 5 – 3 bûches 4

= 3 (journal 5 – journal 4)

Problème 3 : Écrivez 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 sous forme de logarithme unique.

Solution:

3log 2 + 5 log3 – 5log 2

= journal 2 ³ + journal 3 ⁵ – journal 2 ⁵

= journal 8 + journal 243 – journal 32

= journal (8 × 243) – journal 32

= journal 1944 – journal 32

= journal (1944/32)