자연수의 모든 약수의 약수의 합을 구합니다.
GfG Practice에서 사용해 보세요. 
#practiceLinkDiv { 표시: 없음 !중요; }
#practiceLinkDiv { 표시: 없음 !중요; } 자연수가 주어지면 N 작업은 n의 모든 약수 중 약수의 합을 구하는 것입니다.
예:
Input : n = 54 Output : 232 Divisors of 54 = 1 2 3 6 9 18 27 54. Sum of divisors of 1 2 3 6 9 18 27 54 are 1 3 4 12 13 39 40 120 respectively. Sum of divisors of all the divisors of 54 = 1 + 3 + 4 + 12 + 13 + 39 + 40 + 120 = 232. Input : n = 10 Output : 28 Divisors of 10 are 1 2 5 10 Sums of divisors of divisors are 1 3 6 18. Overall sum = 1 + 3 + 6 + 18 = 28Recommended Practice 제수의 합 찾기 시도해 보세요!
임의의 숫자라는 사실을 이용하여 N 소인수의 곱으로 표현될 수 있다 N =피 1 k1 xp 2 k2 x ... 여기서 p 1 피 2 ...은 소수입니다.
n의 모든 약수는 p로 표현될 수 있습니다. 1 에이 xp 2 비 x ... 여기서 0 <= a <= k1 and 0 <= b <= k2.
이제 제수의 합은 p의 모든 거듭제곱의 합이 됩니다. 1 - 피 1 피 1 1 ....피 1 k1 p의 모든 거듭제곱을 곱한 값 2 - 피 2 피 2 1 ....피 2 k1
n의 제수의 합
= (피 1 xp 2 ) + (p 1 1 xp 2 ) +.....+ (p 1 k1 xp 2 ) +....+ (p 1 xp 2 1 ) + (p 1 1 xp 2 1 ) +.....+ (p 1 k1 xp 2 1 ) +........+
(피 1 xp 2 k2 ) + (p 1 1 xp 2 k2 ) +......+ (p 1 k1 xp 2 k2 ).
= (피 1 + 피 1 1 +...+ 피 1 k1 ) x p 2 + (p 1 + 피 1 1 +...+ 피 1 k1 ) x p 2 1 +......+ (p 1 + 피 1 1 +...+ 피 1 k1 ) x p 2 k2 .
= (피 1 + 피 1 1 +...+ 피 1 k1 ) x (p 2 + 피 2 1 +...+ 피 2 k2 ).
이제 모든 p의 제수는 에이 p의 경우 소수는 p이므로 피 1 ......p 에이 . 그리고 제수의 합은 (p (a+1) - 1)/(p -1) f(p)로 정의하겠습니다.
따라서 모든 제수의 제수의 합은 다음과 같습니다.
= (에프(피 1 ) + f(피 1 1 ) +...+ 에프(피 1 k1 )) x (f(p 2 ) + f(피 2 1 ) +...+ 에프(피 2 k2 )).
따라서 소인수분해를 통해 숫자 n이 주어지면 모든 약수의 약수의 합을 찾을 수 있습니다. 하지만 이 문제에서는 n이 배열 요소의 곱이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 각 요소의 소인수분해를 구하고 다음 사실을 사용하여 비 xa 기음 =a b+c .
다음은 이 접근 방식의 구현입니다.
C++ // C++ program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. #include using namespace std ; // Returns sum of divisors of all the divisors // of n int sumDivisorsOfDivisors ( int n ) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. map < int int > mp ; for ( int j = 2 ; j <= sqrt ( n ); j ++ ) { int count = 0 ; while ( n % j == 0 ) { n /= j ; count ++ ; } if ( count ) mp [ j ] = count ; } // If n is a prime number if ( n != 1 ) mp [ n ] = 1 ; // For each prime factor calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. int ans = 1 ; for ( auto it : mp ) { int pw = 1 ; int sum = 0 ; for ( int i = it . second + 1 ; i >= 1 ; i -- ) { sum += ( i * pw ); pw *= it . first ; } ans *= sum ; } return ans ; } // Driven Program int main () { int n = 10 ; cout < < sumDivisorsOfDivisors ( n ); return 0 ; }
Java // Java program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. import java.util.HashMap ; class GFG { // Returns sum of divisors of all the divisors // of n public static int sumDivisorsOfDivisors ( int n ) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. HashMap < Integer Integer > mp = new HashMap <> (); for ( int j = 2 ; j <= Math . sqrt ( n ); j ++ ) { int count = 0 ; while ( n % j == 0 ) { n /= j ; count ++ ; } if ( count != 0 ) mp . put ( j count ); } // If n is a prime number if ( n != 1 ) mp . put ( n 1 ); // For each prime factor calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. int ans = 1 ; for ( HashMap . Entry < Integer Integer > entry : mp . entrySet ()) { int pw = 1 ; int sum = 0 ; for ( int i = entry . getValue () + 1 ; i >= 1 ; i -- ) { sum += ( i * pw ); pw *= entry . getKey (); } ans *= sum ; } return ans ; } // Driver code public static void main ( String [] args ) { int n = 10 ; System . out . println ( sumDivisorsOfDivisors ( n )); } } // This code is contributed by // sanjeev2552
Python3 # Python3 program to find sum of divisors # of all the divisors of a natural number. import math as mt # Returns sum of divisors of all # the divisors of n def sumDivisorsOfDivisors ( n ): # Calculating powers of prime factors # and storing them in a map mp[]. mp = dict () for j in range ( 2 mt . ceil ( mt . sqrt ( n ))): count = 0 while ( n % j == 0 ): n //= j count += 1 if ( count ): mp [ j ] = count # If n is a prime number if ( n != 1 ): mp [ n ] = 1 # For each prime factor calculating # (p^(a+1)-1)/(p-1) and adding it to answer. ans = 1 for it in mp : pw = 1 summ = 0 for i in range ( mp [ it ] + 1 0 - 1 ): summ += ( i * pw ) pw *= it ans *= summ return ans # Driver Code n = 10 print ( sumDivisorsOfDivisors ( n )) # This code is contributed # by mohit kumar 29
C# // C# program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. using System ; using System.Collections.Generic ; class GFG { // Returns sum of divisors of // all the divisors of n public static int sumDivisorsOfDivisors ( int n ) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. Dictionary < int int > mp = new Dictionary < int int > (); for ( int j = 2 ; j <= Math . Sqrt ( n ); j ++ ) { int count = 0 ; while ( n % j == 0 ) { n /= j ; count ++ ; } if ( count != 0 ) mp . Add ( j count ); } // If n is a prime number if ( n != 1 ) mp . Add ( n 1 ); // For each prime factor // calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. int ans = 1 ; foreach ( KeyValuePair < int int > entry in mp ) { int pw = 1 ; int sum = 0 ; for ( int i = entry . Value + 1 ; i >= 1 ; i -- ) { sum += ( i * pw ); pw = entry . Key ; } ans *= sum ; } return ans ; } // Driver code public static void Main ( String [] args ) { int n = 10 ; Console . WriteLine ( sumDivisorsOfDivisors ( n )); } } // This code is contributed // by Princi Singh
JavaScript < script > // Javascript program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. // Returns sum of divisors of all the divisors // of n function sumDivisorsOfDivisors ( n ) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. let mp = new Map (); for ( let j = 2 ; j <= Math . sqrt ( n ); j ++ ) { let count = 0 ; while ( n % j == 0 ) { n = Math . floor ( n / j ); count ++ ; } if ( count != 0 ) mp . set ( j count ); } // If n is a prime number if ( n != 1 ) mp . set ( n 1 ); // For each prime factor calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. let ans = 1 ; for ( let [ key value ] of mp . entries ()) { let pw = 1 ; let sum = 0 ; for ( let i = value + 1 ; i >= 1 ; i -- ) { sum += ( i * pw ); pw = key ; } ans *= sum ; } return ans ; } // Driver code let n = 10 ; document . write ( sumDivisorsOfDivisors ( n )); // This code is contributed by patel2127 < /script>
산출:
28
시간 복잡도: O(?n 로그 n)
보조 공간: 에)
최적화:
사용할 수 있는 값을 찾아야 하는 입력이 여러 개인 경우 에라토스테네스의 체 에서 논의한 바와 같이 이것 우편.
